중심 주파수와 복소 기저대역

2.4 GHz로 진동하는 신호를, 그보다 천 배쯤 느린 초당 수백만 개의 표본으로 어떻게 받을 수 있을까?

반송파 둘레만 내려받기

4장에서 본 대로 변조된 신호의 정보는 반송파 둘레의 좁은 대역에 있다. 2.44 GHz 둘레 몇 MHz에 정보가 있다면, 그 좁은 대역만 0 Hz 둘레로 끌어내린 뒤 표본화하면 된다. 그러면 표본화율은 반송파가 아니라 그 대역의 폭만큼만 있으면 된다.

전통적인 수신기는 이 일을 두 번에 나눈다. 먼저 RF를 고정된 중간 주파수(intermediate frequency, IF), 예를 들어 수십 MHz로 내려 그 주파수에 맞춘 좋은 필터로 거른 뒤, 다시 0 Hz로 내린다. Pluto의 AD9363은 이 일을 한 번에 한다. 중간 주파수를 거치지 않고 LO 주파수 자리를 곧바로 0 Hz로 내리므로 이 구조를 zero-IF 또는 직접 변환(direct conversion)이라고 부른다. LO 주파수 $f_{\mathrm{LO}}$가 받는 대역의 가운데, 곧 중심 주파수이다.

아래 그림은 주파수를 내리는 순서를 견준다. 먼저 (가)의 두 곱셈 사이에 놓인 IF 필터를 보고, 그다음 (나)에서 RF가 곧바로 0 Hz로 내려오는 길을 본다.

직교 혼합

4장 '주파수 변환' 절에서 본 두 갈래 하향 변환을 AD9363은 그대로 회로로 만든다. 받은 RF 신호 $r(t)=I(t)\cos(2\pi f_{\mathrm{LO}}t)-Q(t)\sin(2\pi f_{\mathrm{LO}}t)=\mathrm{Re}\{z(t)e^{j2\pi f_{\mathrm{LO}}t}\}$를 두 갈래로 나눠, 한쪽에는 $2\cos(2\pi f_{\mathrm{LO}}t)$를, 다른 쪽에는 $-2\sin(2\pi f_{\mathrm{LO}}t)$를 곱하고 LPF로 거른다. 두 갈래를 복소수 하나로 묶으면

이고, 위 갈래에 $I(t)$, 아래 갈래에 $Q(t)$가 남는다. 곱셈 하나하나의 계산은 4장에 있다.

두 갈래의 LO는 90° 차이가 나므로 이 방식을 직교 혼합(quadrature mixing)이라고 한다. 4장의 직교 하향 변환을 회로 쪽에서 부르는 이름이다. I와 Q는 각자의 ADC로 표본화된다.

아래 그림에서 위 갈래가 I, 아래 갈래가 Q를 만든다. 먼저 LO에서 아래 갈래로 가는 길의 90° 블록을 보고, 그다음 두 갈래가 같은 필터와 ADC를 지나 복소 표본 하나가 되는 것을 본다.

LO보다 높은 톤과 낮은 톤

$f_{\mathrm{LO}}$보다 $\Delta$만큼 높은 톤 $r(t)=A\cos(2\pi(f_{\mathrm{LO}}+\Delta)t+\phi)$를 넣어 보자. $2r(t)e^{-j2\pi f_{\mathrm{LO}}t}$는 $Ae^{j(2\pi\Delta t+\phi)}$와 $2f_{\mathrm{LO}}+\Delta$에서 도는 항의 합이고, LPF가 뒤의 항을 지운다.

$z(t)$는 초당 $\Delta$바퀴 반시계 방향으로 도는 회전이라, 스펙트럼에서 $+\Delta$에 선다. $f_{\mathrm{LO}}-\Delta$의 톤은 같은 계산으로 $Ae^{j(-2\pi\Delta t+\phi)}$가 되어 $-\Delta$에 선다. RF에서 LO와의 거리와 위아래가 복소 기저대역에서 주파수의 크기와 부호가 된다. RX LO를 2440 MHz에 두면 2443 MHz의 톤은 +3 MHz에, 2437 MHz의 톤은 −3 MHz에 선다.

I만 받으면 이 부호를 알 수 없다. $\phi=0$이면 두 톤의 I는 $A\cos(2\pi\Delta t)$와 $A\cos(-2\pi\Delta t)$로 같은 파형이고, 다른 것은 Q의 부호뿐이다. 그래서 zero-IF 수신기는 ADC를 두 개 두어 I와 Q를 함께 받는다.

아래 그림은 신호및시스템 4장에서 본 그림이다. 복소평면의 점 $z$가 LO보다 $f$만큼 높은 톤을 내린 결과라면, 켤레 $\bar z$는 같은 거리만큼 낮은 톤을 내린 결과이다($\phi=0$일 때). 먼저 두 점이 서로 반대 방향으로 도는 것을 보고, 곡선 그래프에서 공통인 I와 부호만 다른 Q를 확인한다.

신호및시스템 교재의 그림을 그대로 쓴다. 이 장의 말로 옮기면 f는 LO와의 거리 Δ이고, z와 z̄의 가로 좌표 I는 같고 세로 좌표 Q는 부호만 다르다.

LO를 옮기면

LO를 옮기면 어느 톤이 0 Hz로 올까? 그림의 ③과 ④는 다음 절에서 자세히 다룰 두 단계를 미리 보여 준다. ③은 ADC 앞의 아날로그 저역 통과 필터로, 0 Hz 둘레의 정해진 폭만 남긴다(5장 '수신기 앞단'). ④ 솎음(decimation)은 빠르게 얻은 표본에서 M개마다 하나만 남겨 표본화율을 낮추는 일이고, 그 결과 표본에는 $-f_s/2\ldots f_s/2$만 담긴다. ▶로 한 단계씩 넘기며 먼저 RF 톤이 LO만큼 내려오는 것을 보고, 그다음 필터와 솎음을 지난 자리를 본다. LO를 바꾸면 같은 네 톤이 다른 기저대역 주파수로 옮겨 온다.

톤 A–D(2431, 2437, 2443, 2449 MHz)는 합성한 것이다. ②는 RF의 양의 주파수 쪽을 복소 기저대역으로 옮기는 과정이며, 먼저 같은 축에서 왼쪽으로 옮긴 뒤 0 Hz 둘레를 확대한다. ③의 띠는 아날로그 필터, ④의 점선은 ±fₛ/2이다. 필터는 이상적인 모양으로 그렸다.