복소수

주파수가 정해진 정현파 하나는 진폭과 위상, 두 수로 정해진다. 이 두 수를 한 수에 담고, 곱셈 한 번으로 크기를 바꾸면서 회전시키는 수가 복소수이다. 복소 지수가 서로 직교하는 조건까지 가면 5장의 푸리에 해석을 시작할 수 있다.

신호를 복소수로 쓰는 이유

정현파 하나를 적는 데 수가 몇 개 필요하고, 그 수들을 왜 복소수 하나로 묶을까?

전기 신호를 기술하는 세 양은 진폭(amplitude), 주파수(frequency), 위상(phase)이다. 주파수를 알고 있으면 정현파 $A\cos(2\pi ft+\phi)$는 진폭 $A$와 위상 $\phi$ 두 수로 정해진다. 복소수 $Ae^{j\phi}$ 하나가 이 두 수를 함께 담는다. $Ae^{j\phi}$는 복소평면에서 원점과의 거리가 $A$이고 각이 $\phi$인 점이며, 이 표기는 다음 절에서 정의한다.

통신 신호에서는 이 양들이 시간에 따라 바뀌면서 정보를 나른다. FSK(frequency shift keying)는 비트 1과 0을 서로 다른 두 주파수의 톤으로 보낸다.

비트 열 개를 비트마다 0.1 s씩 보낸 FSK 신호는 복소평면에서 도는 점 하나로 나타낼 수 있다. 점은 비트 1 동안 1초에 60바퀴, 비트 0 동안 30바퀴의 빠르기로 반시계 방향으로 돌고, 수신기는 1 ms마다 이 점의 가로 좌표 $I$와 세로 좌표 $Q$를 기록한다. 그래서 $I$, $Q$ 기록은 비트 1 구간이 비트 0 구간보다 두 배 촘촘하다. 샘플링 주파수가 1 kHz이므로 샘플 사이에 점이 도는 각은 $360^\circ\times f/1000$, 곧 30 Hz에서 10.8°, 60 Hz에서 21.6°이다. 비트가 바뀌어도 위상이 이어지므로 점은 튀지 않는다.

처음 상태는 비트열 1011001101의 둘째 비트(0, 30 Hz) 안인 $t=0.155$ s이다. 점은 첫 비트에서 여섯 바퀴(2160°), 둘째 비트에서 55샘플 동안 594°를 돌아 위상이 2754°, 한 바퀴의 정수배를 빼면 −126°이고, 이 샘플은 $I=-0.59$, $Q=-0.81$, 곧 $z[155]=-0.59-j0.81$이다.

이런 신호를 받는 I/Q 수신기는 샘플마다 동상(in-phase) 성분 $I$와 직교(quadrature) 성분 $Q$를 얻어 복소수 $I+jQ$ 하나로 기록한다. 1장의 수신기가 내놓던 I, Q 두 출력이 이것이다. 이 복소수의 크기와 각이 그 순간의 진폭과 위상이다. 그래서 통신 신호는 복소수의 열(sequence)이다.

직교형식과 극형식

복소수 하나를 평면의 한 점으로 보면, 그 점은 가로·세로 좌표로도, 원점에서의 거리와 방향으로도 부를 수 있다. 두 이름은 어떻게 서로 바뀌고, 바꿀 때 무엇을 조심해야 할까?

복소수 하나는 실수 두 개를 담는다.

복소수 $z$는 복소평면(complex plane)의 한 점이다. 가로 좌표 $x=\operatorname{Re}z$가 실수부(real part), 세로 좌표 $y=\operatorname{Im}z$가 허수부(imaginary part)이고, 허수 단위 $j$는 $j^2=-1$을 만족한다. $x+jy$ 꼴을 직교형식(rectangular form)이라고 한다. 수학 교재는 허수 단위를 $i$로 쓰지만, 전기·전자공학에서는 전류 기호 $i$와 겹치지 않게 $j$를 쓴다. 이 과목은 처음부터 끝까지 $j$를 쓴다.

같은 점을 원점에서의 거리 $r$와, 양의 실수축에서 반시계 방향으로 잰 각 $\theta$로도 나타낼 수 있다. 이것이 극형식(polar form)이다.

$re^{j\theta}$는 $r(\cos\theta+j\sin\theta)$를 줄여 쓴 것이다. 이 등식이 Euler 공식이고, 뒤의 '극형식과 Euler 공식' 절에서 여러 방법으로 유도한다.

각 $\theta$를 편각(argument) $\arg z$라고 한다. 편각에 $2\pi$의 정수배를 더해도 같은 점이므로 $\arg z$는 값이 하나로 정해지지 않는다. 하나를 골라야 할 때는 $-\pi<\theta\le\pi$ 범위의 값을 쓰고, 이것을 주값(principal value) $\operatorname{Arg}z$라고 한다. $z=0$에는 방향이 없어 편각을 정의하지 않는다.

직교형식에서 극형식으로 바꿀 때는 사분면을 먼저 본다. $\arctan(y/x)$는 $-\pi/2$와 $\pi/2$ 사이의 값만 주므로, $x<0$인 점(2·3사분면)에서는 여기에 $\pi$를 더하거나 빼야 한다. 예를 들어 $z=-1+j\sqrt3$은 $r=2$이고, 점이 2사분면에 있으므로 $\theta$는 $\arctan(-\sqrt3)=-\pi/3$이 아니라 $2\pi/3$이다.

$y/x=-\sqrt3$은 원점을 지나는 직선의 기울기이므로 원점 반대쪽의 점 $1-j\sqrt3$도 같은 값을 준다. $\arctan(y/x)$는 그 가운데 오른쪽 반평면의 방향 $-60^\circ$를 돌려주고, 그 방향에는 $z$가 아니라 $1-j\sqrt3$이 있다. 그래서 2사분면의 점에서는 $180^\circ$를 더해 $120^\circ$를 얻는다.

켤레 복소수

$z=x+jy$의 켤레(complex conjugate)는 허수부의 부호를 바꾼 수이다.

복소평면에서 켤레는 실수축에 대한 반사이다. 크기는 같고 편각의 부호만 바뀐다. 자기 켤레와 곱하면 허수부가 사라지고 크기의 제곱이 남는다.

전기장처럼 복소수로 적은 양에서 전력(power)을 계산할 때 이 식을 쓴다. 전력은 크기의 제곱에 비례하고, 크기의 제곱은 켤레를 곱해 얻는다.

예를 들어 자유 공간을 지나는 평면파의 전기장을 복소수 $E$(크기는 최댓값 V/m, 편각은 위상)로 적으면 평균 전력 밀도는 $S=E\overline E/(2\eta_0)=|E|^2/(2\eta_0)$ W/m²이다. $\eta_0\approx377\ \Omega$는 자유 공간의 파동 임피던스이다. 2로 나누는 것은 $|E|$가 최댓값이기 때문이다. 실제 전기장 $|E|\cos(\omega t+\phi)$의 제곱을 한 주기 동안 평균하면 $\cos^2$의 평균이 $\tfrac12$이라 $|E|^2/2$가 남는다. 위상이 어떻든 $E\overline E$는 음이 아닌 실수이고, $|E|=1$ V/m이면 $S\approx1.33$ mW/m²이다. 저항 $R$에 걸린 전압 $V$의 평균 전력 $|V|^2/(2R)$도 같은 계산이다.

실수부와 허수부도 켤레로 꺼낼 수 있다.

나눗셈은 분모의 켤레를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수로 만든 뒤 계산한다.