디지털 신호와 표본화

Pluto가 컴퓨터에 넘겨주는 것은 정해진 간격으로 잰 표본 N개이고, 표본 하나는 12비트 정수 두 개(I와 Q)이다. 시간에서는 N개로 끊겼고, 진폭에서는 2¹²단계로 끊겼다. 이 장에서는 두 가지 유한함이 스펙트럼에 무엇을 남기는지 본다. 시간의 유한함은 주파수 간격, 누설, 창 함수의 문제이고, 진폭의 유한함은 양자화 잡음과 SNR의 문제이다.

표본 수와 주파수 간격

표본 $N$개를 표본화율 $f_s$로 모으면 어느 주파수까지, 얼마나 촘촘하게 볼 수 있을까?

DFT는 표본 $N$개와 회전 $N$개의 내적이다.

$k=0,1,\ldots,N-1$ 하나마다 내적이 하나이므로 모두 모으면 $N\times N$ 행렬 곱 $\mathbf X=W\mathbf x$가 된다. 행 $k$는 표본마다 $-2\pi k/N$씩 도는 회전이다. 이 식의 유도와 행렬 그림은 신호및시스템 교재의 DFT: 회전과의 내적과 DFT 행렬과 직교에 있다.

칸 $k$는 물리 주파수 $f_k=k\,f_s/N$에 해당하고, 칸 간격은

이다. $T_{\mathrm{obs}}$는 표본 $N$개를 모으는 데 걸린 관측 시간이다. 복소(I/Q) 표본이면 $-f_s/2\le f<f_s/2$를 모두 구별하고, 실수 표본이면 $0\ldots f_s/2$만 구별한다(2장).

강의 자료의 두 문장이 이 식에서 나온다(강의 자료 WE3 5쪽).

• $f_s$를 고정하고 $N$을 늘리면 $T_{\mathrm{obs}}$가 길어져 $\Delta f$가 작아진다. 가까운 두 주파수를 더 잘 가른다.
• 관측 시간을 고정하고 $f_s$를 올리면 $N$도 같은 비율로 늘어 $\Delta f$는 그대로이다. 볼 수 있는 가장 높은 주파수 $f_s/2$만 올라간다.

주파수 간격을 정하는 것은 표본화율이 아니라 관측 시간이다. 예를 들어 Pluto로 $f_s=4$ MS/s에서 $N=2^{16}=65{,}536$개를 한 번에 받으면 $T_{\mathrm{obs}}=16.4$ ms, $\Delta f=61.0$ Hz이고, 복소 I/Q라 $-2\ldots2$ MHz를 본다. 표본 하나가 I, Q 각 16비트 정수이면 이 캡처는 256 KiB이다.

아래 그림은 강의 자료의 화면과 같은 20 Hz 복소 톤($N=35$, $f_s=615$ Hz)이다(강의 자료 WE3 5쪽). 붉은 점이 DFT 값이고 초록 곡선은 같은 기록의 DTFT이다. 먼저 $N$만 늘려 점 사이 간격이 좁아지는지 보고, 그다음 $N$과 $f_s$를 함께 두 배로 해 점 간격은 그대로이고 가로축 범위만 넓어지는지 본다.

복소 톤 하나를 fₛ로 N개 모은 기록의 스펙트럼이다. 세로축은 |X[k]|(곱의 합, 정규화하지 않음)이고, 가로축은 −fₛ/2…fₛ/2이다. 아래 줄에 Δf와 T_obs가 표시된다.