실수 표본과 복소 표본

SDR은 왜 표본마다 실수 하나가 아니라 I와 Q 두 값을 넘겨줄까?

ADC 하나로 받은 실수 표본에서는 $+f$와 $-f$가 같은 수열이다. $\cos(2\pi fn/f_s)=\cos(-2\pi fn/f_s)$이기 때문이다. 그래서 DFT의 선이 $\pm f$ 두 칸에 절반씩 서고, $X[N-k]=\overline{X[k]}$라서 $-f_s/2\ldots0$은 $0\ldots f_s/2$를 비춘 거울상이다. 표본화율 $f_s$로 구별하는 범위는 $0\le f\le f_s/2$, 폭 $f_s/2$이다.

ADC 두 개로 I와 Q를 함께 받은 복소 표본 $z[n]=I[n]+jQ[n]$에서는 $e^{j2\pi fn/f_s}$와 $e^{-j2\pi fn/f_s}$가 다른 수열이다. 도는 방향이 반대이기 때문이다. 선은 $f$ 한 칸에만 서고, $-f_s/2\le f<f_s/2$ 전체, 폭 $f_s$를 구별한다. 같은 $f_s$에서 구별하는 대역폭이 두 배이다.

어느 쪽이든 $f$와 $f+mf_s$는 같은 표본을 만든다. 복소 표본이 더 구별하는 것은 부호뿐이다. $|f|=f_s/2$에서는 복소 표본도 $e^{j\pi n}=e^{-j\pi n}=(-1)^n$이 되어 $+f_s/2$와 $-f_s/2$를 가르지 못한다. 구간의 한쪽 끝만 들어가는 까닭이다.

아래 그림은 실수 cos 표본을 서로 반대로 도는 두 벡터의 합으로 그린다. ▶로 한 단계씩 넘기며 먼저 두 허수 성분이 상쇄되는 것을 보고, 그다음 그 합이 시간축에 표본으로 찍히는 것을 본다. 복소 톤으로 바꾸어 벡터 하나의 회전과 마지막 DFT의 선을 비교한다.

합성 데이터이다. fₛ = 1 MHz, N = 20이고 f는 DFT 칸 간격 50 kHz의 정수배이다. 실수 cos는 길이 ½인 두 반대 회전의 합, 복소 톤은 길이 1인 회전 하나이다. 마지막 표본에서 그리는 스펙트럼의 세로축은 |X[k]|/N이다. 아래 numpy 예제의 원래 DFT 크기는 이 값의 N배이다. 직류와 Nyquist 주파수에서는 실수 신호의 두 선이 같은 칸에 겹쳐 높이가 1이 된다.

같은 계산을 numpy로 하면 다음과 같다. fftshift는 칸을 $-f_s/2$부터 늘어놓는다.

fs, N = 1e6, 20
n = np.arange(N)
x = np.cos(2 * np.pi * 200e3 * n / fs)           # 실수 표본
z = np.exp(2j * np.pi * 200e3 * n / fs)          # 복소 표본 I + jQ
f = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, 1 / fs))   # −500 kHz … 450 kHz
X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x))               # ±200 kHz에 10씩
Z = np.fft.fftshift(np.fft.fft(z))               # +200 kHz에 20 하나

실수 표본이 $+f$와 $-f$를 가르지 못한다는 이 성질이, 수신기가 I와 Q 두 값을 함께 받는 까닭이다. 수신기 안에서 I와 Q가 어떻게 만들어지는지는 4장 '주파수 변환' 절에서 본다.