신호와 LTI 시스템

필터, 복조기처럼 표본을 받아 표본을 내놓는 처리 블록을 한 가지 방식으로 적을 수 있을까?

신호와 시스템

신호는 물리량을 시간의 함수로 적은 것이다. 연속시간 신호는 $x(t)$, 이산시간 신호는 $x[n]$으로 쓴다. 흑백 영상은 두 좌표 $(x,y)$마다 값이 하나 있는 신호이고, 동영상은 여기에 시간 좌표가 하나 더 붙는다. 시스템은 함수를 받아 함수를 내놓는 사상이다. 입력 $\sin t$에서 출력 $\sin t^2$를 만드는 시스템은 $y(t)=x(t^2)$이다(신호 및 시스템 2장 신호와 시스템의 정의).

선형성과 시불변성

선형 시스템은 입력을 배율해 더한 결과가 출력을 배율해 더한 것과 같다. $x_1\to y_1$, $x_2\to y_2$이면 $\alpha x_1+\beta x_2\to\alpha y_1+\beta y_2$이다. 신호가 벡터처럼 더해지고 배율된다는 뜻이다. 시불변 시스템은 입력을 $t_0$ 늦추면 출력도 $t_0$ 늦을 뿐이다. 늦추고 시스템을 거치든, 시스템을 거치고 늦추든 결과가 같다. 위의 $y(t)=x(t^2)$는 선형이지만 시불변이 아니다. 입력을 $t_0$ 늦추면 출력은 $x(t^2-t_0)$인데, 출력을 $t_0$ 늦춘 것은 $x((t-t_0)^2)$이기 때문이다(선형성, 시불변성).

컨볼루션

선형이고 시불변인 LTI 시스템은 임펄스 응답 $h$ 하나로 정해진다. 입력을 늦춘 임펄스의 가중합으로 쓰면, 출력은 늦춘 임펄스 응답의 같은 가중합이다.

광자 검출기가 그 예이다. 광자 하나가 들어올 때마다 같은 모양의 펄스가 나오고, 출력은 광자가 들어온 시각마다 놓인 펄스의 합이다. 이산시간에서는 적분 대신 합 $y[n]=\sum_k x[k]\,h[n-k]$를 쓴다(신호 및 시스템 3장 임펄스 응답과 컨볼루션).

행렬로 쓴 LTI 시스템

표본 $N$개는 길이 $N$인 벡터이고, 선형 시스템은 $N\times N$ 행렬 $H$ 하나로 $\mathbf y=H\mathbf x$가 된다. 현재 표본에서 바로 전 표본을 빼는 차분 시스템 $y[n]=x[n]-x[n-1]$($x[-1]=0$)을 $N=4$로 쓰면 다음과 같다.

시불변이므로 모든 행이 같은 무늬 $[-1,\ 1]$을 한 칸씩 옮긴 모양이다. $y[n]=x[n]^2$처럼 비선형인 시스템은 행렬로 쓸 수 없다. 실습 코드에서 np.convolve(x, h)로 거는 FIR 필터는 모두 이런 행렬 곱이다. np.convolve는 마지막 입력이 남기는 꼬리까지 담아 $N+L-1$개($L$은 $h$의 길이)를 내놓는다.

x = np.array([1, 1.5, 1.5, 0.5])
H = np.eye(4) - np.eye(4, k=-1)      # 대각선 1, 바로 아래 −1
H @ x                                # [1, 0.5, 0, -1]
np.convolve(x, [1, -1])              # [1, 0.5, 0, -1, -0.5]: 꼬리 한 칸이 더 있다

행렬 그림으로 행과 열을 따라가 보려면 신호 및 시스템 3장 행렬과 가역성을 본다.

신호 공간

벡터가 기저 벡터의 선형 결합으로 쓰이듯, 신호도 서로 직교하는 신호들의 선형 결합으로 쓸 수 있다. 기저로는 정현파와 복소 지수 말고도 $[-1,1]$에서 서로 직교하는 Legendre 다항식 같은 함수가 쓰인다. 기저가 정규직교(서로 직교하고 크기가 1)이면 결합의 계수는 신호와 각 기저의 내적이다. 직교이기만 하면 그 내적을 기저의 크기 제곱으로 나눈다. DFT의 복소 지수는 크기 제곱이 $N$이므로, $X[k]$는 신호와 기저의 내적이고 결합의 계수는 $X[k]/N$이다. 신호를 다른 기저의 계수로 바꿔 적는 것이 변환(transform)이고, DFT는 표본 $N$개를 복소 지수 $N$개와의 내적 $N$개로 바꾸고, 여기에 $1/N$을 곱한 값이 계수이다(신호 및 시스템 5장 직교 기저).