표본화와 aliasing

연속 신호를 $f_s$로 표본화하면 스펙트럼에 무슨 일이 생기고, 어떤 신호까지 표본에서 되살릴 수 있을까?

표본화는 신호에 간격 $T_s=1/f_s$인 임펄스열을 곱하는 일이다. 임펄스열의 푸리에 변환은 간격 $f_s$인 임펄스열이고, 시간에서의 곱은 주파수에서의 컨볼루션이다. 그래서 표본의 스펙트럼은 원래 스펙트럼을 $f_s$마다 복제하고 $1/T_s$배 한 합이다.

유도는 신호 및 시스템 6장 임펄스와 정현파의 변환과 7장 표본화에 있다.

실수 신호가 $|f|<B$에만 성분을 가지면 $f_s>2B$일 때 복제가 서로 닿지 않고, 표본에서 원래 신호를 되살릴 수 있다. 입력 주파수로 쓰면 $f_{\mathrm{in}}<f_s/2$이다(Nyquist 조건). 주파수 $f$의 성분은 언제나 $f-mf_s$($m$은 정수)의 성분과 같은 표본을 만든다. $f_s<2B$이면 복제가 겹쳐, 대역 안에서 이런 두 성분이 섞인다. 이것이 aliasing이다. 섞인 뒤에는 표본만으로 둘을 가를 수 없으므로, ADC 앞의 아날로그 저역통과 필터가 $f_s/2$ 밖의 성분을 먼저 줄여야 한다. Pluto에서 이 필터가 어디에 있는지는 6장에서 본다.

아래 그림은 대역 $B=3$ Hz인 스펙트럼을 표본화한 결과이다. 먼저 $f_s=8$ Hz에서 복제 사이의 빈틈을 보고, $f_s$를 줄여 복제가 닿기 시작하는 값을 찾는다.

원본(대역 B = 3 Hz)을 fₛ마다 1/Tₛ배 해서 복제한 것(점선)과 그 합 S(f)(초록)이다. 신호 및 시스템 7장의 그림을 마지막 단계로 열었다.

aliasing을 일부러 쓰는 경우도 있다. 신호가 좁은 대역 하나에만 있고 그 대역이 $mf_s/2\ldots(m+1)f_s/2$ 꼴의 구간 하나 안에 들어가면, $f_s$가 신호의 주파수보다 낮아도 표본에서 신호를 되살린다. 전제는 그 대역 밖의 신호와 잡음을 표본화 전에 걸러 내는 것이다. 걸러 내지 않으면 모든 구간의 신호와 잡음이 같은 자리로 접혀 섞인다.

DFT는 시간과 주파수를 모두 표본화한다. 시간을 표본화했으므로 스펙트럼이 $f_s$마다 되풀이되고, 주파수를 $N$개 점으로 표본화했으므로 표본 $N$개도 한 주기로 되풀이된다고 보는 셈이다.