신호와 시스템을 배우는 이유

스마트폰 앱으로 에어컨을 켜면 터치가 숫자와 비트열을 거쳐 전파가 되고, 에어컨은 그 전파를 다시 비트열로 되돌려 명령을 실행한다. 이 모든 단계가 신호를 주고받고 가공하는 일이다. 그 과정을 계산하려면 신호를 수학으로 나타내고, 시스템이 신호를 어떻게 바꾸는지 셈할 수 있어야 한다.

과목의 흐름

이 과목에서는 무엇을 어떤 순서로 배울까? 주제는 일곱 가지이고, 장 번호가 그 순서이다.

신호와 시스템을 배우는 이유: 신호가 쓰이는 곳, 회로와 계산이 신호를 바꾸는 방식, 샘플링(표본화).
신호의 표현: 신호를 분류하고, 시간축과 값을 바꾸고, 계단과 임펄스로 나타낸다.
연속시간 시스템과 컨볼루션: 선형·시불변 시스템과 컨볼루션.
복소수: 진폭과 위상을 한 수에 담는 도구.
푸리에 급수: 주기 신호를 정현파의 합으로 나타내기.
푸리에 변환: 주기가 없는 신호의 주파수 성분.
이산시간 시스템의 푸리에 해석: 샘플링한 신호와 DFT.

1~3장은 신호와 시스템을 시간축에서 다룬다. 5~7장은 4장의 복소수를 도구로 삼아 같은 신호를 주파수축에서 다룬다.

신호로 소통하는 기기

기기와 기기, 기기와 사람은 무엇을 주고받을까? 첫 예는 IoT(Internet of Things)이다. IoT는 무언가를 재거나 움직이는 기기들이 네트워크로 연결되어 데이터를 주고받는 체계이다. 공장 설비, 가전, 교통 신호, 선박과 기차, 데이터센터처럼 쓰이는 곳은 저마다 다르다. 그래도 각 기기는 무언가를 재고, 판단하고, 그 결과를 다른 기기와 주고받는다. 기기마다 더 큰 기계·전자 장치의 일부로서 정해진 기능만 맡는 작은 컴퓨터가 들어 있다. 이것을 임베디드 시스템(embedded system)이라고 한다.

기기와 사람이 주고받는 것은 모두 신호이다. 무선 전파, 유선의 전압, 말소리, 비트와 바이트, 숫자, 그림이 모두 여기에 들어간다. 스마트폰 앱으로 집 안의 에어컨과 가전을 켜고 끄는 스마트홈이 한 예이다. 같은 명령이 터치, 앱 안의 숫자, 비트열, 전파로 모습을 바꾸어 가며 전달된다. 모습은 바뀌어도 싣고 있는 정보는 같다. 신호의 정확한 정의는 2장에서 내린다.

다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. "스마트폰에서 에어컨으로 가는 명령이 터치, 숫자, 비트열, 전파로 모습을 바꾸면, 싣고 있는 정보도 단계마다 달라진다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 달라지는 것은 모습뿐이다. 에어컨이 전파를 비트열로 되돌려 같은 명령을 실행할 수 있는 것은 정보가 그대로이기 때문이다.

터치, 앱 안의 숫자, 비트열, 전파는 같은 명령을 서로 다른 모습으로 나타낸 신호이다. 모습은 바뀌어도 싣고 있는 정보는 같다.

무선통신에 쓰는 신호

무선으로 데이터를 보내는 신호를 재면 계측기 화면에는 무엇이 나오고, 그 화면을 읽으려면 무엇을 알아야 할까? 벡터 신호 분석기(vector signal analyzer)로 28 GHz 반송파에 16QAM 방식으로 데이터를 실은 신호를 재면, 화면에 세 가지가 함께 나온다. 수신한 심볼을 평면 위의 점으로 찍은 성상도(constellation), 심볼 크기의 시간 기록, 오차 지표(이 측정에서는 EVM 0.56 % 등)이다. 성상도의 16개 점은 각각 진폭과 위상의 한 조합이고, 점 하나가 $\log_2 16=4$ 비트를 나른다.

이 화면을 읽는 데 필요한 도구가 이 과목에 있다. 성상도의 점은 4장에서 다룰 복소수이다. 반송파 주파수와 심볼률(화면의 SR 450 MHz)은 5·6장에서 다룰 주파수축의 개념이다. 분석기는 받은 신호를 샘플링해 계산하고, 샘플링은 7장의 주제이다. 변조 방식 자체는 무선임베디드시스템 과목에서 다룬다.

성상도의 가로·세로 좌표가 $I,Q$ 이면 진폭은 원점에서 점까지의 거리 $A=\sqrt{I^2+Q^2}$ 이고, 위상은 양의 $I$ 축에서 잰 각도 $\varphi=\operatorname{atan2}(Q,I)$ 이다. $\operatorname{atan2}$ 는 두 좌표의 부호로 사분면까지 구분하는 역탄젠트이며, $I>0$ 일 때는 $\arctan(Q/I)$ 와 같다.

$I$ 와 $Q$ 는 각각 −3, −1, 1, 3 가운데 하나이다. 앞 두 비트가 $I$ 를, 뒤 두 비트가 $Q$ 를 Gray 코드(00, 01, 11, 10 순서)로 정하므로, 이웃한 준위는 한 비트만 다르다. 이 규칙에 따라 4비트 1011은 다섯 단계를 거쳐 반송파 버스트가 된다. 비트가 두 쌍으로 나뉘고(②), 각 쌍이 Gray 코드표에서 준위 $I=3$ 과 $Q=1$ 이 되고(③), 두 준위가 성상도의 점 $3+j1$ 이 되고(④), 그 점의 진폭 $A=\sqrt{10}$ 과 위상 $\varphi=18.43^\circ$ 가 반송파를 정한다(⑤).

성상도의 축 아래와 옆에 준위마다 그 Gray 코드를 적었다. 반송파는 네 주기만 그렸고, 실제 28 GHz 반송파는 심볼률 450 MHz에서 한 심볼 동안 약 62번 진동한다(28 GHz ÷ 450 MHz).

해 보기

원점에 가장 가까운 네 점 가운데 오른쪽 위의 심볼 1111에서 반송파의 진폭과 위상을 확인하라.
관찰
앞 두 비트 11과 뒤 두 비트 11이 모두 준위 1이 되어 $s=1+j1$ 이다. 진폭은 $\sqrt2\approx1.414$ 로 가장 작아 반송파도 가장 작게 흔들리고, 위상은 45°이다.
1111에서 마지막 비트만 0인 심볼은 성상도의 어디에 있는지, 반송파의 진폭과 위상이 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
뒤 두 비트가 11에서 10이 되며 $Q$ 가 1에서 3으로 한 단계 올라간다. $I$ 는 그대로 1이다. 이웃한 두 점은 한 비트만 다르다. 반송파의 진폭은 $\sqrt{10}\approx3.162$ , 위상은 71.57°가 된다.
왼쪽 아래 모서리의 심볼 0000을 오른쪽 위 모서리의 1010과 진폭과 위상으로 비교하라.
관찰
$-3-j3$ 이라 진폭이 $\sqrt{18}\approx4.243$ 으로 오른쪽 위 모서리의 1010( $3+j3$ )과 같다. 위상은 −135°로 1010의 45°와 180° 다르므로, 반송파가 1010의 반송파를 뒤집은 모양이다. 진폭이 같아도 위상이 다르면 다른 심볼이다.

실제로 받은 점은 이 자리에 정확히 떨어지지 않고, 잡음이 더해져 제자리 둘레에 흩어진다. EVM(error vector magnitude)은 받은 점이 벗어난 정도를 이상적인 점의 크기에 대한 비율(%)로 나타낸다. 측정 화면의 EVM 0.56 %에서는 받은 점들이 제자리에 거의 겹치고, 잡음이 커지면 점선 직선(결정 경계)을 넘는 점이 생긴다. 수신기는 받은 점을 가장 가까운 심볼로 읽으므로, 결정 경계를 넘은 점은 이웃 심볼로 잘못 읽힌다.

그림에서 EVM을 키우면 결정 경계를 넘은 점에 고리가 생기고, 그중 가장 멀리 간 점 하나에는 보낸 심볼 $s$ 에서 받은 점 $r$ 까지의 오차 벡터 $r-s$ 가 화살표로 그려진다.

그림은 심볼마다 수신 점 24개에 잡음을 더해 그리고, EVM은 그린 점 384개에서 √(Σ|r − s|²/Σ|s|²)로 계산한다. r은 받은 점, s는 그 점으로 보낸 심볼이다.

해 보기

EVM이 측정 화면의 0.56 %일 때 받은 점이 얼마나 퍼지는지, 결정 경계를 넘는 점이 있는지 확인하라.
관찰
심볼마다 받은 점 24개가 제자리에 거의 겹친다. 축마다 σ = 0.013이고, 결정 경계를 넘은 점은 0개이다.
EVM이 8 %이면 받은 점이 결정 경계를 넘는지 확인하라.
관찰
받은 점이 제자리 둘레로 퍼지지만 모두 결정 경계 안에 남는다. 넘은 점은 0개이다.
EVM이 20 %이면 결정 경계를 넘는 점이 몇 개인지 보고, 그 점에서 비트가 몇 개 틀리는지 생각해 보라.
관찰
퍼진 점이 결정 경계까지 닿아 384개 가운데 19개가 경계를 넘는다. 이 점들은 이웃 심볼로 읽힌다. 이웃한 점은 한 비트만 다르므로, 경계 하나를 넘은 점은 비트 하나만 틀린다.

16QAM 성상도의 점 하나가 나타내는 것을 고르라.

(가) 비트 하나
(나) 잡음의 세기
(다) 반송파의 진폭과 위상의 한 조합, 곧 복소수 $I+jQ$ 하나
(라) 반송파의 주파수 하나

풀이

답 (다) 반송파의 진폭과 위상의 한 조합, 곧 복소수 $I+jQ$ 하나

(가) 서로 다른 점이 16개라서 점 하나가 $\log_2 16=4$ 비트를 나른다.
(나) 잡음은 받은 점이 제자리 둘레로 흩어진 정도로 보이고, EVM이 그것을 잰다. 점의 자리는 보낸 심볼이 정한다.
(라) 16개 점은 모두 같은 28 GHz 반송파에 실린다. 점마다 다른 것은 그 반송파의 진폭과 위상이다.

점 하나는 복소수 $s=I+jQ$ 하나이고, 진폭 $A=\sqrt{I^2+Q^2}$ 와 위상 $\varphi$ 의 한 쌍으로도 쓴다. 16QAM은 서로 다른 점 16개를 쓰므로 점 하나가 $\log_2 16=4$ 비트를 나른다. 복소수는 4장에서 다룬다.

그림에서 점 1011과 진폭은 같고 위상은 다른 점을 하나 고르라.

풀이

답 0001, 0011, 0100, 0110, 1001, 1100, 1110 가운데 하나. 원점에서 거리가 $\sqrt{10}$ 인 점이다.

진폭은 원점에서 점까지의 거리 $A=\sqrt{I^2+Q^2}$ 이다. 1011은 $3+j1$ 이라 $A=\sqrt{10}$ 이다. $I$ 와 $Q$ 가 ±3과 ±1로 짝지어진 점 여덟 개가 모두 진폭 $\sqrt{10}$ 이고, 그림의 가운데 점선 원 위에 있다. 이 여덟 점은 위상이 저마다 달라 서로 다른 심볼이 된다.