연속시간 시스템과 컨볼루션

시스템에 임펄스 하나를 넣어 얻은 응답만으로 아무 입력의 출력이나 계산할 수 있을까? 시스템이 선형이고 시불변이면 그렇다. 그 계산이 컨볼루션이다.

시스템의 성질

입력과 출력만 보고 시스템을 어떤 기준으로 나눌 수 있을까?

2장에서 정의한 대로 시스템은 입력 신호를 받아 출력 신호를 내놓는다. 증폭기, 필터, 센서, 신호를 처리하는 프로그램이 모두 시스템이다. 입력 $x(t)$라는 함수 전체가 출력 $y(t)$라는 함수 전체로 바뀌므로, 시스템은 신호에서 신호로 가는 함수이다. 시스템은 $\mathcal H$로 쓴다.

시스템은 여섯 쌍의 성질로 나눈다.

• 선형·비선형(linear / nonlinear): 입력을 더하고 배율을 곱한 효과가 출력에 그대로 옮겨 가는가. 다음 절에서 다룬다.
• 인과·비인과(causal / non-causal): 시각 $t$의 출력이 $t$까지의 입력에만 의존하면 인과이다. 실시간으로 동작하는 장치는 인과이다. 녹음해 둔 데이터를 나중에 처리할 때는 비인과 처리도 쓴다. 2장의 인과 신호는 신호의 성질이고, 여기서 말하는 인과는 시스템의 성질이다.
• 시변·시불변(time-varying / time-invariant): 입력을 늦게 넣었을 때 출력이 같은 모양으로 늦게 나오는가. 뒤에서 다룬다.
• 가역·비가역(invertible / non-invertible): 출력에서 입력을 되찾을 수 있는가. 뒤에서 다룬다.
• 기억·무기억(memory / memoryless): $y(t)$가 같은 시각의 입력 $x(t)$만으로 정해지면 무기억이다. $y(t)=2x(t)$는 무기억이고, $y(t)=x(t-1)$은 1초 전 입력을 기억해야 한다.
• 안정·불안정(stable / unstable): 크기가 유한한 입력($|x(t)|\le M$)을 넣으면 출력도 늘 유한할 때 BIBO 안정이라고 한다.

이 가운데 선형성과 시불변성이 특히 중요하다. 두 성질이 함께 있으면 출력이 컨볼루션 하나로 정해지기 때문이다.

선형성

입력을 두 배로 키우면 출력도 두 배가 될까? 두 입력을 더해 넣으면 출력도 두 출력의 합이 될까?

선형성의 정의

선형 시스템에서는 입력의 더하기와 배율이 출력까지 그대로 통과한다. 함수 $f$가 두 조건을 만족하면 선형이다.

시스템에서도 같다. 두 조건을 한 식으로 묶은 것이 중첩(superposition)이다.

2장에서 본 것처럼, 흔히 "1차 함수"라고 부르는 $y=ax+b$는 그래프가 직선이지만 $b\neq0$이면 이 뜻의 선형이 아니다. 입력을 두 배로 하면 $f(2x)=2ax+b$인데 $2f(x)=2ax+2b$이기 때문이다. homogeneity에 $\alpha=0$을 넣으면 $f(0)=0$이 나온다. 따라서 입력이 0인데 출력이 0이 아니면 비선형이다. 원점을 지나지 않는 직선 $y=-x+5$, $y=\tfrac12x+2$는 모두 비선형이고, 선형인 직선은 $y=ax$뿐이다. 반대로 $f(0)=0$이라고 해서 반드시 선형인 것은 아니다.

직접 판정해 보기. 세 함수 $f(x)=\sin x$, $f(x)=x^2+2x+9$, $f(x)=-0.87x+1.12$가 선형인지 판단하라.

실제 시스템의 선형 범위

실제 증폭기에 입력을 얼마든지 키워 넣어도 출력이 입력에 비례할까?

실제 장치는 입력이 어느 크기를 넘으면 비선형이 된다. 증폭기의 출력은 전원 전압 같은 한계를 넘을 수 없어서, 입력 정현파가 커지면 출력의 피크가 눌리거나 잘린다. 이것을 포화(saturation)라고 한다. 포화가 시작된 뒤에는 입력을 두 배로 해도 출력의 최댓값이 거의 늘지 않으므로 homogeneity가 깨진다.

동작점 가까이에서 입력이 조금만 변하는 범위에서는 특성 곡선을 동작점의 접선으로 바꾸어 선형으로 계산한다. 이것이 선형화(linearization)이다. $y=x^2$를 동작점 $(1,1)$에서 선형화하면 접선은 $y\approx2x-1$이다. 동작점에서 벗어난 양 $\Delta x=x-1$, $\Delta y=y-1$로 쓰면 $\Delta y\approx2\,\Delta x$가 되어 선형이다. 오차는 $(x-1)^2$이라 $x=1.1$에서는 $0.01$이지만 $x=1.5$에서는 $0.25$로 커진다. 선형화는 동작점 가까이에서만 믿을 수 있다.

RF 증폭기에서 이득이 선형 구간보다 1 dB 줄어드는 전력, 곧 1 dB compression point(입력 전력이나 출력 전력으로 적는다)는 이 선형 범위의 끝을 나타내는 지표이다.

증폭기가 어느 입력 크기까지 선형인지는 homogeneity로 잰다. 정현파 입력을 진폭 $A$와 $2A$로 넣고, 한 주기 동안 두 출력이 동작점에서 변한 양을 비교한다. 선형이면 $2A$ 입력의 출력(붉은 선)은 $A$ 입력의 출력을 2배 한 점선과 겹치고, 두 출력의 피크 비는 2이다. $A$를 키워 $2A$ 입력이 지나는 구간이 특성 곡선의 휘어진 곳에 닿으면 붉은 선과 점선 사이에 틈이 벌어진다.

특성 곡선 g(x) = 2x/(1 + |2x/V|^p)^1/p인 증폭기(x ≥ 0에서 V = 3 V, p = 3, x < 0에서 V = 2 V, p = 10)에 x(t) = x₀ + A sin(2πt/T)와 그 2배 진폭의 입력을 넣은 그림이다. ② 그림의 세로축은 출력이 동작점에서 변한 양 Δy = y − g(x₀)이고, 표의 비는 2A 입력의 피크를 A 입력의 피크로 나눈 값이며, 처음 상태 x₀ = 0, A = 0.5 V에서 위 피크의 비는 1.86, 아래 피크의 비는 1.87이다.