푸리에 급수

반복되는 신호는 모두 정현파의 합으로 쓸 수 있을까? 조건을 갖춘 주기 신호는 그렇게 쓸 수 있고, 각 정현파의 크기와 위상은 벡터의 좌표처럼 구한다.

푸리에 해석을 배우는 이유

신호를 주파수 성분으로 나누면 무엇이 보이고, 그 성분의 크기는 어떻게 구할까?

주기 신호를 정현파로 나누는 방법이 푸리에 급수(Fourier series)이다. 계수를 구하는 원리는 벡터의 좌표를 구할 때와 같다. 서로 직교하는 기저를 준비하고, 신호를 각 기저에 투영한다. 기저가 될 정현파와 복소 지수가 직교한다는 것은 4장에서 보였다.

4장 'LTI 시스템과 복소 지수'에서 보았듯이 실수 임펄스 응답을 갖는 LTI 시스템은 정현파의 주파수를 그대로 두고 크기와 위상만 바꾼다. 그래서 입력을 이런 성분으로 나누면 컨볼루션 적분을 계산하지 않고, 성분마다 복소 계수에 그 주파수의 주파수 응답을 곱해 출력을 구한다.

영상 압축, 무선통신, 회로 해석, 전자기, 미분방정식, 양자물리, 신호처리는 모두 신호나 함수를 주파수 성분으로 나눠서 다룬다. 예를 들어 주파수가 다른 정현파 두 개를 더한 파형은 시간축에서는 성분을 가려내기 어렵다. 같은 신호를 주파수축에 그리면 두 주파수 자리에 선이 하나씩 서서, 무엇이 얼마나 섞였는지 바로 보인다.

악기 소리도 같다. 2장에서 본 것처럼 같은 음높이라도 파형이 다르면 음색이 다른데, 그 차이는 기본 주파수 $f_0$의 정수배 성분인 고조파(harmonic)를 얼마나 섞었는지에서 온다.

그림은 기본 주파수 $f_0=440$ Hz로 만든 소리의 파형과, 고조파 $h$마다의 진폭 $\lvert b_h\rvert$이다. 사인은 $h=1$ 성분 하나뿐이고, 사각파와 톱니파는 같은 음높이에서 더 높은 $h$에도 성분이 있어 음색이 다르다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 고조파 하나가 더해져 그 스템이 켜지고, 파형과 소리가 그 성분을 받아 함께 바뀐다.

같은 고조파 가중치로 파형 그림과 소리를 함께 만들고, 파형 그림은 기본 주기 세 번(6.82 ms)이다. 굵은 띠가 목표 파형, 점선 파형과 색이 다른 스템이 방금 더한 고조파이고, 스템 위의 수는 진폭 |bₕ|를 소수 둘째 자리로 반올림한 값이다.

주기 $T$인 신호를 구성하는 복소 지수도 $T$ 뒤에 같은 값으로 돌아와야 하므로 $e^{j2\pi fT}=1$, 곧 $fT=k$($k$는 정수)여야 한다. 그래서 급수에는 $f=k/T$인 정수배 주파수만 쓴다.

푸리에 해석은 시간축이 이산인지 연속인지, 신호 길이가 유한(또는 한 주기)인지 무한인지에 따라 네 가지로 나뉜다. 한 주기만 보면 되는 신호와 유한 길이 신호는 정수 $k$마다 계수가 하나씩 나오므로 주파수가 이산이고, 무한히 이어지는 비주기 신호는 주파수가 연속이다.

여기서 다루는 것은 연속 시간 주기 신호의 급수(FS)이다. 푸리에 변환(CTFT)은 6장, DTFT와 DFT는 7장에서 다룬다. 네 식 모두 신호에 음의 지수 $e^{-j(\cdot)}$를 곱해 더하거나 적분하는 같은 모양이다.