푸리에 변환

5장의 푸리에 급수는 주기 신호를 기본 주파수의 정수배 성분으로 나눈다. 한 번 나타나고 사라지는 펄스에는 주기가 없다. 주기를 끝없이 늘리면 이런 신호의 주파수 성분을 구할 수 있을까?

급수에서 변환으로

주기 $T$ 를 끝없이 늘리면 급수 계수 $c_k$ 는 무엇이 될까?

주기를 늘린 극한

5장에서 본 대로 주기 $T$ 인 신호 $\tilde x(t)$ 는 푸리에 급수로 쓸 수 있다.

\begin{gathered} \tilde x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}\\ c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\tilde x(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T} \end{gathered}

주기가 없는 신호 $x(t)$ 에서 출발한다. 한 구간 $-T/2\le t<T/2$ 만 남기고 나머지를 0으로 둔 신호를 $x_T(t)$ 라고 하고, 이 구간을 $T$ 마다 반복한 신호를 $\tilde x(t)$ 라고 한다.

\begin{gathered} x_T(t)=\begin{cases}x(t), & -T/2\le t<T/2\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}\\ \tilde x(t+T)=\tilde x(t) \end{gathered}

$T$ 를 끝없이 키우면 반복된 복사본은 점점 멀리 밀려나고, 두 신호 모두 원래 신호가 된다.

\lim_{T\to\infty}x_T(t)=x(t),\qquad \lim_{T\to\infty}\tilde x(t)=x(t)

적분 구간 안에서는 $\tilde x=x_T$ 이고 구간 밖에서는 $x_T=0$ 이다. 따라서 $c_k$ 의 적분 구간을 실수 전체로 넓혀도 값은 그대로이다.

\begin{aligned} c_k&=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x_T(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}x_T(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt \end{aligned}

이 $c_k$ 를 급수에 넣고 $1/T=\omega_0/2\pi$ 로 바꾼다. 바깥의 $t$ 와 헷갈리지 않도록 적분 변수는 $\tau$ 로 쓴다.

\tilde x(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}x_T(\tau)\,e^{-jk\omega_0 \tau}\,d\tau\right]e^{jk\omega_0 t}\,\omega_0

$T\to\infty$ 이면 $\omega_0\to0$ 이 되어 성분 사이 간격이 좁아지고, 이산적인 $k\omega_0$ 이 연속 변수 $\omega$ 가 된다. 괄호 안의 적분은 $\omega$ 의 함수 $X(\omega)$ 가 되고, 간격 $\omega_0$ 을 곱한 합은 $d\omega$ 에 대한 적분이 된다.

\begin{aligned} x(t)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)\,e^{jk\omega_0 t}\,\omega_0\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \end{aligned}

$T$ 가 원점 중심 펄스의 폭보다 크면 펄스 전체가 $[-T/2,T/2)$ 에 들어가므로 $x_T=x$ 이다. 이때 계수 적분은 $Tc_k=X(k\omega_0)$ 를 정확히 주며, Hz 표기 $X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 로는 $c_k=X(k/T)/T$ 이다.

펄스열의 반복 간격 $T$ 를 늘리면 급수 계수는 어떻게 바뀔까? 아래 그림에서 둘째 그래프의 막대가 급수 계수 $c_k$ 이고, 셋째 그래프의 점이 $T$ 를 곱한 $T c_k$ 이다. $T$ 를 4 s에서 12 s로 늘리면 막대는 낮아지고 촘촘해지지만, 점 $Tc_k$ 는 늘 같은 곡선 위에 놓인다. 그 곡선이 펄스 하나의 푸리에 변환이다. 처음 상태 $T=4$ s에서는 $c_1=0.2251$ , $Tc_1=4\times0.2251=0.900$ 이고, 곡선의 $X(1/T)=X(0.25\ \text{Hz})$ 도 0.900이다.

가로축은 Hz 단위 주파수 f = ω/2π, 성분 간격은 Δf = 1/T이고, 곡선은 펄스 하나의 변환이다. 두 그래프 사이의 식은 k = 1 하나를 숫자로 따라가고, 붉은 고리가 두 그래프에서 이 k = 1의 점이다.

해 보기

반복 간격이 두 배인 8 s이면 막대 간격과 가운데 막대의 높이가 어떻게 바뀌는지, 셋째 그래프의 점이 어디에 놓이는지 확인하라.
관찰
막대 간격 $\Delta f=1/T$ 가 0.25 Hz에서 0.125 Hz로 좁아지고, 가운데 막대 $c_0=\tau_p/T$ 는 0.25에서 0.125로 낮아진다. 셋째 그래프의 점은 두 배로 촘촘해졌지만 같은 곡선 위에 있다.
$T$ 가 12 s이면 점 $Tc_k$ 가 곡선을 얼마나 촘촘히 채우는지 보고, $T\to\infty$ 이면 어떻게 될지 생각해 보라.
관찰
막대 간격과 가운데 막대의 높이가 모두 $1/12\approx0.083$ 이다. 점 $Tc_k$ 는 곡선 위에 촘촘히 늘어서 곡선의 모양을 거의 그대로 그린다. $T\to\infty$ 이면 점이 곡선 전체를 채운다.
펄스 폭이 0.5 s( $T$ = 8 s)이면 곡선의 첫 영점과 피크가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
곡선의 첫 영점이 $\pm1$ Hz에서 $\pm2$ Hz로 밀려나고, 곡선의 피크 $X(0)=\tau_p$ 가 0.5로 낮아진다. 펄스가 짧을수록 스펙트럼이 넓다.

이 극한이 성립하려면 $x(t)$ 가 충분히 빨리 0으로 가야 한다. $\int|x(t)|\,dt<\infty$ 이면 $X(\omega)$ 가 존재한다. 불연속점에서 역변환은 5장의 푸리에 급수와 마찬가지로 좌우 극한의 평균을 준다.

펄스 폭은 그대로 두고 반복 간격 $T$ 를 두 배로 늘렸다. 급수 계수에 일어나는 일을 고르라.

(가) 계수 간격은 그대로이고 높이만 절반이 된다.
(나) 계수 간격 $1/T$ 가 절반이 되고, 같은 주파수 근처의 계수 높이도 절반이 된다.
(다) 계수 간격이 절반이 되고 높이는 그대로이다.
(라) 계수 간격이 두 배가 되고 높이는 절반이 된다.

풀이

답 (나) 계수 간격 $1/T$ 가 절반이 되고, 같은 주파수 근처의 계수 높이도 절반이 된다.

(가) 계수는 $f=k/T$ Hz에 서므로 $T$ 가 두 배이면 간격 $1/T$ 가 절반이 된다.
(다) $c_k=X(k/T)/T$ 라서 같은 주파수에서 높이는 $1/T$ 배가 된다. 그대로인 것은 $Tc_k$ 이다.
(라) 간격은 $1/T$ Hz라서 $T$ 와 반비례한다.

$c_k=X(k/T)/T$ 이다. $T$ 를 두 배로 늘리면 계수가 서는 자리 $k/T$ 의 간격이 절반이 되고, 같은 주파수에서 계수의 높이도 절반이 된다. $T$ 를 곱한 $Tc_k=X(k/T)$ 는 $T$ 와 상관없이 같은 곡선 $X(f)$ 위에 놓인다.

푸리에 변환 쌍

앞의 극한에서 두 식을 얻는다. 신호에서 스펙트럼을 구하는 식이 푸리에 변환(continuous-time Fourier transform, CTFT)이고, 스펙트럼에서 신호를 되살리는 식이 역변환(inverse transform)이다.

\begin{gathered} X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega \end{gathered}

분석식은 음의 지수, 합성식은 양의 지수를 쓴다. $\omega$ 의 단위는 rad/s이고 $1/2\pi$ 는 합성식에만 붙는다. 푸리에 급수는 $k\omega_0$ 이라는 띄엄띄엄한 주파수만 쓰지만, 변환에서는 $t$ 와 $\omega$ 가 모두 연속 변수이다.

Hz 단위 주파수 $f=\omega/2\pi$ 로 쓰면 $d\omega=2\pi\,df$ 라서 $1/2\pi$ 가 사라진다.

\begin{gathered} X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j2\pi ft}\,dt\\ x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\,e^{j2\pi ft}\,df \end{gathered}

두 표기는 같은 주파수에서 같은 값을 준다. 이 장의 식은 $\omega$ 로 쓰고, 그림의 가로축은 Hz로 그린다.

$X(\omega)$ 는 $\omega$ 마다 값을 갖는 복소 함수이다. 크기와 위상으로 나누어 쓴다.

X(\omega)=|X(\omega)|\,e^{j\phi(\omega)}

$|X(\omega)|$ 를 크기 스펙트럼(magnitude spectrum), $\phi(\omega)$ 를 위상 스펙트럼(phase spectrum)이라고 한다.

예제 1: 사각 펄스와 sinc

높이 1, 폭 $\tau$ 인 사각 펄스를 $\operatorname{rect}(t/\tau)$ 로 쓴다.

\operatorname{rect}\!\left(\frac{t}{\tau}\right)=\begin{cases}1, & -\tau/2\le t<\tau/2\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}

두 끝점 $t=\pm\tau/2$ 에서의 값은 적분에 영향을 주지 않으므로 변환을 바꾸지 않는다.

직접 유도해 보기. 정의식에 넣어 $X(\omega)$ 를 구하라.

풀이

펄스 밖에서는 피적분 함수가 0이므로 적분 구간이 $-\tau/2\ldots\tau/2$ 로 줄어든다.

\begin{aligned} X(\omega)&=\int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-j\omega t}\,dt =\frac{e^{-j\omega\tau/2}-e^{j\omega\tau/2}}{-j\omega}\\ &=\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} =\tau\,\frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} \end{aligned}

5장에서 정의한 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ 에 $x=\omega\tau/2\pi$ 를 넣으면 마지막 식과 같다. $\omega\to0$ 에서 $\sin(\omega\tau/2)\approx\omega\tau/2$ 이므로 $X(0)=\tau$ 이다.

\begin{gathered} \operatorname{rect}\!\left(\frac{t}{\tau}\right)\;\longleftrightarrow\; \tau\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)=\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}\\ \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{gathered}

이 결과를 $\tau$ 로 나누고 가로축을 $\omega\tau/2\pi=f\tau$ 로 잡으면 폭 $\tau$ 와 상관없이 같은 곡선이 된다. 가운데 피크의 높이는 1이고, 곡선은 가로축의 $\pm1,\pm2,\ldots$ 에서 0을 지난다.

높이 1, 폭 τ인 사각 펄스의 변환을 τ로 나눈 값이다. 가로축 ωτ/2π = fτ의 0이 아닌 정수 자리마다 영점이 있다.

이 결과에서 세 가지를 알 수 있다.

$X(0)=\tau$ 는 펄스의 면적이다. $\omega=0$ 에서 $e^{-j\omega t}=1$ 이므로 변환은 신호를 그냥 적분한 값이 된다.
영점은 $\omega\tau/2\pi=\pm1,\pm2,\ldots$ , 곧 $\omega=\pm2\pi/\tau,\pm4\pi/\tau,\ldots$ rad/s( $f=\pm1/\tau,\pm2/\tau,\ldots$ Hz)에 있다. 두 첫 영점 사이의 큰 피크가 메인로브이고, 그 바깥에서 부호를 바꾸며 작아지는 피크가 사이드로브이다.
폭을 줄이면 영점이 바깥으로 밀려나 스펙트럼이 넓어진다. 첫 영점 주파수와 펄스 폭의 곱은 $\tau\cdot(1/\tau)=1$ 로 일정하다. 짧은 신호일수록 넓은 주파수 범위를 차지한다.

대역폭을 말할 때는 기준을 함께 적는다. 양쪽 첫 영점 사이, 곧 메인로브 전체 폭을 null-to-null 대역폭이라고 하며 $4\pi/\tau$ rad/s( $2/\tau$ Hz)이다. 0에서 첫 영점까지는 그 절반인 $2\pi/\tau$ rad/s( $1/\tau$ Hz)이다. 앞의 펄스열에서도 폭 $\tau_p$ 가 바뀌면 첫 영점 $\pm1/\tau_p$ Hz가 따라 움직인다.

2장에서 본 것처럼 폭 1인 펄스( $\tau=1$ )는 두 단위 계단의 차로도 쓴다. 먼저 켜지는 계단에서 나중에 켜지는 계단을 뺀다.

\operatorname{rect}(t)=u\!\left(t+\tfrac12\right)-u\!\left(t-\tfrac12\right)\;\longleftrightarrow\;\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}

높이 2, 폭 0.5 s인 사각 펄스 $x(t)=2\operatorname{rect}(t/0.5)$ 의 $X(0)$ 을 구하라.

풀이

답 1

힌트 $\omega=0$ 에서 $e^{-j\omega t}=1$ 이라 $X(0)$ 은 신호를 그냥 적분한 값이다.

$X(0)=\int x(t)\,dt$ 는 펄스의 면적 $2\times0.5=1$ 이다. 표의 쌍으로 계산해도 $2\cdot\tau\operatorname{sinc}(0)=2\times0.5=1$ 이다.

폭 $\tau=0.25$ s인 사각 펄스의 null-to-null 대역폭을 Hz로 구하라.

풀이

답 8 Hz

힌트 0에서 첫 영점까지가 아니라, 양쪽 첫 영점 사이의 폭이다.

첫 영점은 $f=\pm1/\tau=\pm4$ Hz에 있다. 양쪽 첫 영점 사이, 곧 메인로브 전체 폭은 $2/\tau=8$ Hz이고 각주파수로는 $4\pi/\tau=16\pi$ rad/s이다. 0에서 첫 영점까지의 4 Hz는 그 절반이다.