이산시간 시스템의 푸리에 해석

컴퓨터는 연속 신호를 그대로 다루지 못하고, 일정한 간격으로 잰 샘플의 수열을 다룬다. 샘플링하면 스펙트럼은 어떻게 바뀌고, 샘플 N개로 주파수 성분은 어떻게 계산할까? 이 장에서 주파수는 샘플 하나마다 도는 각, 곧 회전 속도이다. 주파수 성분은 신호와 회전의 내적으로 잰다.

이산시간 푸리에 변환

샘플로 바꾼 수열에도 스펙트럼이 있을까? 있다면 원래 연속 신호의 스펙트럼과 어떻게 이어질까?

연속 신호 $x_c(t)$ 를 $T_s$ 초마다 재면 수열 $x[n]=x_c(nT_s)$ 를 얻는다. $n$ 은 샘플 번호이고 정수이다. $T_s$ 는 2장에서 정의한 샘플 간격이고 $f_s=1/T_s$ 는 샘플링 주파수(Hz)이다.

6장의 푸리에 변환은 $e^{-j\omega t}$ 를 곱해 시간 $t$ 로 적분했다. 수열에는 정수 $n$ 만 있으므로 적분 대신 합을 쓴다. 이것이 이산시간 푸리에 변환(discrete-time Fourier transform, DTFT)이다.

X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\Omega n}

$\Omega$ 는 샘플 하나마다 도는 각이라 단위가 rad/sample이다. 연속 신호의 각주파수 $\omega=2\pi f$ (rad/s)와는 $\Omega=\omega T_s=2\pi f/f_s$ 로 이어진다. 샘플 하나 사이에 $T_s$ 초가 지나므로, 그동안 도는 각이 $\omega T_s$ 이다.

$n$ 이 정수이므로 $e^{-j(\Omega+2\pi)n}=e^{-j\Omega n}$ 이고, $X(\Omega)$ 는 $2\pi$ 마다 같은 값을 되풀이한다. 이 주기성이 표기에 드러나도록 $X(e^{j\Omega})$ 로 쓰는 교재도 많다.

DTFT는 두 과정을 차례로 거친 결과로 볼 수 있다. 6장의 푸리에 변환으로 연속 신호의 스펙트럼 $X_c(f)$ 를 구하고, 샘플링이 그 스펙트럼을 $f_s$ 마다 되풀이하고 $1/T_s$ 배 한다.

X(\Omega)\Big|_{\Omega=2\pi f/f_s}=\frac{1}{T_s}\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}X_c(f-\ell f_s)

$\ell$ 은 replica의 번호(정수)이다. 이 식이 왜 성립하는지는 샘플링 절에서 유도한다.

예를 들어 $x_c(t)=e^{-|t|}$ 이면 $X_c(f)=2/(1+(2\pi f)^2)$ 이고 피크는 2이다. $T_s=1/3$ s( $f_s=3$ Hz)로 샘플링하면 같은 피크가 0, $\pm3$ , $\pm6$ Hz, …에 서고 높이는 $1/T_s=3$ 배가 되어 약 6.06이다(이웃 replica의 꼬리가 조금 더해진다). Ω 축에서는 $f=\pm3$ Hz가 $\Omega=2\pi f/f_s=\pm2\pi$ 에 놓인다.

replica를 하나씩 놓아 그 합이 DTFT가 되는 과정은 샘플링 절의 그림이 $\ell$ 하나씩 보인다. 샘플링 전후의 스펙트럼을 같은 높이로 비교하려면 $T_s$ 를 곱해 그린다. 이렇게 그렸다면 축 이름에 $T_s\cdot X$ 라고 밝혀 둔다.

DTFT는 연속 변수 $\Omega$ 의 함수라서, 컴퓨터로는 그중 점 몇 개만 계산할 수 있다. 그 $N$ 개 점을 계산하는 것이 'DFT: 회전과의 내적' 절의 DFT이다.