REMI Lab강의 노트

Wireless Embedded Systems E03

3장 디지털 신호와 표본화

고조파 왜곡과 ENOB

ADC의 전달 특성이 조금 휘어 있으면 스펙트럼에 무엇이 생기고, 그 영향을 한 숫자로 어떻게 요약할까?

전달 특성이 직선에서 조금 벗어나면 출력을 입력의 다항식으로 쓸 수 있다. 입력 x=Acos⁡ωtx=A\cos\omega t를 넣고 삼각함수 공식 cos⁡2θ=12(1+cos⁡2θ)\cos^2\theta=\tfrac12(1+\cos2\theta), cos⁡3θ=14(3cos⁡θ+cos⁡3θ)\cos^3\theta=\tfrac14(3\cos\theta+\cos3\theta)를 쓰면(강의 자료 WE3 26쪽)

y=α1x+α2x2+α3x3=α2A22+(α1A+3α3A34)cos⁡ωt+α2A22cos⁡2ωt+α3A34cos⁡3ωt\begin{aligned} y&=\alpha_1x+\alpha_2x^2+\alpha_3x^3\\ &=\frac{\alpha_2A^2}{2}+\Bigl(\alpha_1A+\frac{3\alpha_3A^3}{4}\Bigr)\cos\omega t\\ &\quad+\frac{\alpha_2A^2}{2}\cos2\omega t+\frac{\alpha_3A^3}{4}\cos3\omega t \end{aligned}

이다. 2차 항은 직류와 2ω2\omega를 만들고, 3차 항은 3ω3\omega를 만들면서 기본파의 크기도 조금 바꾼다. 입력 주파수의 정수배에 생기는 이 성분이 고조파(harmonic)이다. 2차 고조파는 A2A^2에, 3차 고조파는 A3A^3에 비례하므로, 입력을 1 dB 줄이면 기본파에 대한 2차 고조파의 비는 1 dB, 3차는 2 dB 줄어든다. 표본화한 신호에서는 fs/2f_s/2를 넘는 고조파가 접혀서 0…fs/20\ldots f_s/2 안의 다른 자리에 나타난다.

고조파의 크기를 모은 것이 THD(total harmonic distortion)이다(강의 자료 WE3 27쪽). VhV_h를 hh차 고조파의 RMS 전압, HH를 셈에 넣는 가장 높은 차수라 하면

THD=V22+V32+⋯+VH2V1THD(dB)=20log⁡10THD\begin{gathered} \mathrm{THD}=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+\cdots+V_H^2}}{V_1}\\ \mathrm{THD(dB)}=20\log_{10}\mathrm{THD} \end{gathered}

이다. 퍼센트로 적을 때는 100을 곱한다. 고조파를 기본파에 견준 dB로 적은 것이 dBc이다(c는 carrier의 머리글자이다). 각 고조파가 DhD_h dBc이면 전력을 더해

THD(dBc)=10log⁡10∑h=2H10Dh/10\mathrm{THD(dBc)}=10\log_{10}\sum_{h=2}^{H}10^{D_h/10}

이다(강의 자료 WE3 28쪽). 강의의 예는 D2…D9D_2\ldots D_9가 −92, −75, −95, −92, −98, −108, −105, −110 dBc이고, THD는 −74.76 dBc이다. 가장 큰 3차 고조파(−75 dBc) 하나가 거의 모든 값을 정한다.

잡음과 왜곡을 함께 본 것이 SINAD(signal-to-noise and distortion ratio)이다(강의 자료 WE3 29쪽). 신호, 잡음, 왜곡의 RMS 전압을 VSV_S, VNV_N, VDV_D라 하면 dB로

SINAD=20log⁡10VSVN2+VD2=−10log⁡10(10−SNR/10+10THD/10)\begin{aligned} \mathrm{SINAD}&=20\log_{10}\frac{V_S}{\sqrt{V_N^2+V_D^2}}\\ &=-10\log_{10}\bigl(10^{-\mathrm{SNR}/10}+10^{\mathrm{THD}/10}\bigr) \end{aligned}

둘째 줄의 THD는 dBc(음수)이다. 측정한 SINAD를 내는 이상적인 ADC가 몇 비트인지 거꾸로 구한 것이 ENOB(effective number of bits)이다.

ENOB=SINAD(dB)−1.766.02\mathrm{ENOB}=\frac{\mathrm{SINAD(dB)}-1.76}{6.02}

설계상 12비트인 ADC라도 SNR이 74 dB이고 THD가 −75 dBc이면 SINAD는 71.5 dB이고 ENOB는 11.6비트이다. 데이터시트의 비트 수는 코드의 개수이고, ENOB는 실제로 쓸 수 있는 비트 수이다.

▶로 한 단계씩 넘기며 먼저 입력 점이 휘어진 전달 곡선을 지나 출력 점으로 가는 것을 보고, 그다음 출력 파형이 쌓이는 것을 본다. 1024표본을 모으면 스펙트럼이 나타나므로 2차 항과 3차 항을 바꾸며 어느 고조파가 커지는지 본다.

합성 정현파가 y=x+α₂x²+α₃x³를 지난 뒤 양자화된다. N = 1024, 톤은 칸 63이고 시간 파형은 최근 32표본을 보여 준다. 스펙트럼은 기본파를 0 dB로 둔 dBc이며, 바닥보다 10 dB 이상 솟은 고조파에 차수를 적었다. THD는 2–9차를 더하고, fₛ/2를 넘는 고조파는 접힌 자리에 표시한다.

해 보기

  1. 첫 표본을 넘겨 본다.
    관찰

    입력에서 곡선까지, 곡선에서 출력까지 화살표를 따라간다.

  2. 3차 항이 있는 출력을 끝까지 모은다.
    관찰

    3차 고조파의 높이와 SINAD를 본다.

  3. 3차 항을 끄고 2차 항을 넣는다.
    관찰

    이번에는 2차 고조파가 바닥 위로 솟는다.