시간에 따라 바뀌는 신호

주파수가 도중에 바뀌는 신호를 한 번에 DFT 하면 무엇을 잃을까?

주파수가 바뀌지 않는 톤이라면 오래 관측할수록 $\Delta f$가 작아져 주파수를 정밀하게 잴 수 있다(강의 자료 WE3 15쪽). 무선 신호는 그렇지 않다. FSK(frequency shift keying)는 비트 1과 0을 서로 다른 두 주파수로 보내므로, 주파수가 비트마다 바뀐다(강의 자료 WE3 16쪽). 기록 전체를 한 번에 DFT 하면 두 주파수에 봉우리가 서지만, 어느 시각에 어느 주파수였는지는 스펙트럼에 남지 않는다.

아래 그림은 비트열 1011001101을 비트마다 0.1 s씩, 1은 60 Hz, 0은 30 Hz로 보낸 FSK 신호이다(표본화 주파수 1 kHz). 먼저 오른쪽 '전체 |X(f)|'에서 기록 전체의 스펙트럼에 봉우리가 두 개뿐인 것을 보고, 왼쪽 스펙트로그램에서 띠가 비트마다 옮겨 가는 것을 본다. 비트를 눌러 바꾸면 스펙트로그램의 띠만 그 시각에서 옮겨 가고, 전체 스펙트럼은 두 봉우리의 높이만 바뀐다.

신호및시스템 4장의 FSK 그림이다. 기록 전체의 스펙트럼에서 60 Hz 봉우리(비트 1이 6개)가 30 Hz 봉우리(비트 0이 4개)보다 높다. 스펙트로그램은 비트 길이만 한 창으로 자른 조각마다 스펙트럼을 구해 시간 순으로 늘어놓은 것이다.

언제 어떤 주파수가 있었는지 보려면 신호를 길이 $L$인 창으로 잘라 조각마다 DFT를 구한다. 창을 $H$표본씩 옮기며 구한 것이 단시간 푸리에 변환(short-time Fourier transform, STFT)이다(강의 자료 WE3 17쪽).

조각 하나의 칸 간격은 $f_s/L$이다. 창이 길면 주파수를 잘 가르지만 한 조각 안에 여러 시각이 섞이고, 창이 짧으면 바뀐 시각은 또렷하지만 주파수 칸이 넓다. 이 절충과 식의 자세한 설명은 신호및시스템 7장 시간-주파수 해석에 있다. 실습 5에서 Wi-Fi 버스트를 관측할 때 이 창 길이를 직접 고른다.

아래 그림은 $t=2$ s에서 12 Hz가 20 Hz로 바뀌는 복소 톤($f_s=64$ Hz)을 짧은 창(16표본, 칸 간격 4 Hz)과 긴 창(64표본, 1 Hz)으로 본 것이다. 먼저 두 스펙트로그램에서 주파수가 바뀌는 자리의 띠 폭을 비교하고, '창 중심'을 옮기며 두 창의 스펙트럼을 본다.

같은 입력을 짧은 창과 긴 창으로 계산한 두 스펙트로그램과, 같은 중심 시각에서 잘라 낸 두 창의 스펙트럼이다. 창은 Hann이다.