표본화는 임펄스열과 창의 곱

교과서에서 표본화한 정현파의 스펙트럼은 $f_s$마다 선 임펄스인데, 화면의 스펙트럼은 왜 폭이 있는 봉우리일까?

연속 신호 $x(t)$를 표본화하는 것은 간격 $T_s=1/f_s$인 임펄스열 $p(t)=\sum_n\delta(t-nT_s)$를 곱하는 것이다. 그 스펙트럼은 원래 스펙트럼을 $f_s$마다 복제한 것이다(신호및시스템 7장 표본화). 그러나 실제로는 끝없이 표본화하지 않고 $N$개만 남긴다. 관측 구간 $T_{\mathrm{obs}}$ 동안 1이고 나머지에서 0인 창 $w(t)$를 한 번 더 곱하는 셈이다.

시간에서의 곱은 주파수에서 컨볼루션이다. 그래서 복제된 스펙트럼의 모든 선이 창의 스펙트럼 $W(f)$ 모양으로 퍼진다. 사각 창의 $|W(f)|$는 $f=0$에서 가장 크고 $f=\pm1/T_{\mathrm{obs}}$에서 처음 0이 되므로, 선 하나는 폭 $2/T_{\mathrm{obs}}$의 봉우리(mainlobe)와 그 옆의 작은 봉우리들(sidelobe)이 된다.

임펄스 $N$개만 남긴 임펄스열의 스펙트럼을 보면 이 모양이 그대로 보인다. $1/T_s=f_s$마다 높이 $N$인 봉우리가 서고, 봉우리에서 첫 영점까지는 $1/(NT_s)=1/T_{\mathrm{obs}}$이다. $N$을 늘릴수록 봉우리가 좁고 높아져 교과서의 임펄스열에 다가간다. 주파수 $f_0$인 복소 톤을 곱하면 이 모양이 통째로 $f_0$만큼 옮겨 갈 뿐이다.

아래 그림은 신호및시스템 6장의 임펄스열 그림이다. 간격이 $T=1$ s라 봉우리가 1 Hz($=1/T$)마다 선다. 먼저 '▶'로 임펄스를 하나씩 더하며 ③의 봉우리가 좁고 높아지는 것을 보고, 봉우리 아래에 표시된 첫 영점까지의 거리 $1/(NT)$를 읽는다.

①은 간격 T로 놓인 임펄스 N개이다. ③은 그 스펙트럼 |X(f)|이고, 1/T마다 높이 N인 봉우리가 서며 첫 영점은 봉우리에서 1/(NT) 떨어져 있다. 표본화에 대응시키면 T = Tₛ, 1/T = fₛ, NT = T_obs이다.

화면의 스펙트럼이 선 하나로 보이지 않는 까닭은 이렇다. 관측이 유한해서 선이 폭 $2/T_{\mathrm{obs}}$의 봉우리가 되고, DFT는 이 곡선 위의 점 $N$개, 곧 $f=k\,\Delta f$에서의 값만 주며, 그래프 프로그램은 그 점들을 직선으로 잇는다. 톤이 칸에 정확히 놓이면 DFT 점이 봉우리 꼭대기 하나와 영점들에 떨어져 선 하나처럼 보인다. 20 Hz 톤은 칸 사이에 있어서 모든 칸에 값이 생겼다(강의 자료 WE3 5쪽). 이것이 다음 절의 누설이다.