칸 사이에 놓인 톤

같은 세기의 톤인데 주파수가 칸 사이로 조금 옮겨 가면 DFT의 봉우리가 낮아진다. 얼마나 낮아질까?

DFT는 유한 기록의 DTFT $Y(f)$를 칸 주파수 $f=k\,\Delta f$에서 잰 값이다. 곧 DFT는 DTFT의 표본이다. 톤이 칸 위에 있으면 한 점이 봉우리 꼭대기에 떨어지고, 칸 사이에 있으면 꼭대기가 두 점 사이에 빠진다. 이렇게 봉우리가 낮게 읽히는 것을 straddle loss 또는 scalloping loss라고 한다.

강의 자료의 예로 계산한다(강의 자료 WE3 13쪽). 복소 톤 $y[m]=e^{j2\pi f_D m}$($m=0\ldots19$, $K=20$개)에서 $f_D$는 표본당 회전 수(cycles/sample)이다.

• $f_D=0.25$이면 $0.25\times20=5$, 곧 칸 5에 정확히 놓인다. $|Y[5]|=20$이고 나머지 칸은 0이다.
• $f_D=0.275$이면 5.5칸, 칸 5와 6의 한가운데이다. 두 칸의 값은 $|Y[5]|=|Y[6]|=\left|\dfrac{\sin(\pi/2)}{\sin(\pi/40)}\right|=12.75$이다.

$20\log_{10}(12.75/20)=-3.9$ dB이다. 같은 톤이 주파수만 반 칸 옮겨 가서 3.9 dB 낮게 읽혔다. 반 칸이 최악의 경우이고, 창마다 값이 다르다(앞 절 표의 마지막 열). Hann은 1.42 dB, Blackman은 1.10 dB로 손실이 작다. 기록 뒤에 0을 덧붙여 DFT 길이를 늘리면 같은 DTFT 곡선 위에 점이 촘촘해져 손실이 줄지만, 봉우리의 폭은 그대로이다(0 덧붙이기와 긴 관측).

아래 그림은 이 예를 $f_s=20$ Hz, $N=20$으로 옮긴 것이다. 칸 간격이 1 Hz이므로 $f=5$ Hz가 $f_D=0.25$, $f=5.5$ Hz가 $f_D=0.275$이다. 먼저 $f$를 5 Hz에서 5.5 Hz로 옮기며 가장 높은 점의 높이를 읽는다.

복소 톤 하나를 fₛ = 20 Hz로 20개 모은 기록이다. 초록 곡선은 DTFT |Y(f)|, 붉은 점은 DFT |Y[k]|이다. 강의 자료의 K = 20 예와 같은 값이다(강의 자료 WE3 13쪽).