DAC와 재구성 필터

샘플 사이가 비어 있는 숫자열이 어떻게 끊김 없는 전압 파형이 될까?

DAC는 샘플 하나를 받으면 다음 샘플이 올 때까지 그 값을 전압으로 붙잡아 둔다. 그래서 출력은 계단 모양이다. 이 동작을 영차 유지(zero-order hold)라고 한다. 계단은 샘플열(임펄스열)을 폭 $T_s=1/f_s$의 사각 펄스와 컨볼루션한 것이므로, 스펙트럼은 샘플열의 스펙트럼에 사각 펄스의 스펙트럼 $\operatorname{sinc}(f/f_s)$를 곱한 모양이 된다. 두 가지 결과가 생긴다.

• 샘플열의 스펙트럼은 $f_s$마다 되풀이되므로(2장 '표본화와 aliasing'), 계단 파형에도 $f_s$, $2f_s$ 둘레에 원래 신호의 복사본이 남는다. 이 복사본을 이미지(image)라고 한다. sinc가 곱해져 줄어들기는 하지만 사라지지는 않는다. sinc는 $f_s$의 정수배에서 0이므로, 각 이미지는 가운데가 파인 모양이 된다.
• 원래 대역 안에서도 sinc 때문에 높은 주파수 쪽이 조금 처진다. $f_s/2$에서 약 3.9 dB 낮아진다.

DAC 뒤의 저역 통과 필터가 이미지를 걸러 매끄러운 파형만 남긴다. 이것을 재구성 필터(reconstruction filter)라고 한다. 샘플링 속도를 신호 대역보다 넉넉히 높게 잡으면 이미지가 원래 대역에서 멀리 떨어져 필터가 이미지를 더 많이 줄인다. SDR이 신호 대역보다 높은 속도로 DAC를 돌리고, 칩 안에 샘플링 속도를 올리는 디지털 필터를 두는 까닭이 이것이다.

▶로 넘기며 ① 샘플열과 $f_s$마다 되풀이되는 스펙트럼, ② 영차 유지가 만든 계단과 sinc가 곱해진 스펙트럼, ③ 재구성 필터를 지나 매끄러워진 파형과 더 줄어든 이미지를 차례로 본다.

합성 신호이다. RRC 펄스(β = 0.5), 재구성 필터는 차단 주파수 Rₛ의 4차 Butterworth로 두었다. 이미지 최대는 통과 대역 최대에 견준 값이다.