10주차 · NumPy를 위한 행렬과 벡터 기초

이번 주는 코딩 실습보다 수학적 배경 이해가 목표입니다. 이 장을 마치면 다음을 설명할 수 있어야 합니다.

• 점, 벡터, 행렬을 구분한다.
• 벡터 덧셈을 성분별 계산과 화살표 그림으로 설명한다.
• 스칼라배가 벡터의 길이와 방향을 어떻게 바꾸는지 설명한다.
• 행렬을 행(row), 열(column), 원소, 크기(m × n)로 읽는다.
• 행렬 덧셈과 스칼라배가 같은 위치의 칸끼리 계산되는 이유를 설명한다.
• 행렬-벡터 곱을 “행마다 하나의 가중합을 만드는 계산”으로 설명한다.
• 행렬-행렬 곱이 가능한 조건과 결과 크기를 판단한다.
• NumPy에서 shape, axis, *, @를 배울 때 어떤 수학 개념과 연결되는지 말한다.

Python 리스트에 숫자를 넣는 것만으로도 간단한 계산은 할 수 있습니다. 하지만 공학 데이터는 금방 다음처럼 커집니다.

즉, NumPy는 단순히 “빠른 리스트”가 아닙니다. 벡터와 행렬의 계산 규칙을 코드로 옮긴 도구입니다.

처음 보는 용어가 많다면, 이번 주에는 아래 뜻으로 먼저 정리하세요.

좌표평면에서 (2, 3)은 보통 점의 위치를 뜻합니다. 하지만 벡터로 읽으면 뜻이 조금 달라집니다.

v = [2, 3]

첫 번째 성분 2 → x 방향으로 2칸
두 번째 성분 3 → y 방향으로 3칸

벡터를 처음 배울 때는 “화살표”와 “숫자 묶음”을 번갈아 떠올리세요.

• 그림으로 보면: 이동 화살표
• 계산으로 보면: 같은 위치 성분끼리 계산하는 숫자 묶음

두 벡터를 더한다는 것은 두 이동을 이어 붙인다는 뜻입니다.

u = [2, 1]
v = [1, 3]

u + v = [2 + 1, 1 + 3]
      = [3, 4]

성분별로 보면 x 방향 이동량끼리 더하고, y 방향 이동량끼리 더합니다.

• u = [2, 1]은 오른쪽으로 몇 칸, 위로 몇 칸 움직이나요?
• v = [1, 3]을 u의 끝에 붙이면 마지막 도착점은 어디인가요?
• u + v와 v + u의 결과 성분은 같은가요?

벡터 덧셈이 “이동을 이어 붙이는 계산”이었다면, 스칼라배는 “같은 이동을 몇 배로 키우거나 줄이는 계산”입니다.

스칼라는 방향이 없는 숫자입니다. 벡터에 스칼라를 곱하면 각 성분에 같은 숫자를 곱합니다.

v = [2, 1]

2v   = [4, 2]
0.5v = [1, 0.5]
-v   = [-2, -1]

• 3[1, 2]의 결과는 무엇인가요?
• -1[1, 2]는 원래 벡터와 같은 방향인가요, 반대 방향인가요?
• 0[1, 2]는 어떤 벡터가 되나요?

이제 “성분별로 더하기”에서 한 단계 더 나아가, 성분마다 다른 중요도를 주는 계산을 보겠습니다.

행렬-벡터 곱을 배우기 전에 **가중합(weighted sum)**을 먼저 봅니다. 가중합은 “각 값에 중요도 또는 계수를 곱한 뒤 더하는 계산”입니다.

예를 들어 최종 점수를 이렇게 계산한다고 합시다.

최종점수 = 0.4 × 과제점수 + 0.6 × 시험점수

과제점수가 80점, 시험점수가 90점이면 다음과 같습니다.

0.4 × 80 + 0.6 × 90 = 32 + 54 = 86

벡터로 쓰면 이렇게 볼 수 있습니다.

가중치 w = [0.4, 0.6]
점수   x = [80, 90]

w · x = 0.4×80 + 0.6×90 = 86

여기서 ·는 내적(dot product) 기호입니다. 두 벡터의 성분 개수가 같을 때, 같은 위치끼리 곱한 뒤 모두 더하는 계산으로 이해하면 됩니다.

행렬은 행과 열을 가진 숫자표입니다.

A = [ 1  2  3 ]
    [ 4  5  6 ]

이 행렬은 가로줄이 2개, 세로줄이 3개이므로 2 × 3 행렬입니다.

수학 교과서에서는 보통 첫 번째 행, 첫 번째 열을 a11처럼 1부터 셉니다. NumPy는 Python 규칙을 따르므로 0부터 셉니다.

행렬 덧셈은 두 행렬의 같은 위치에 있는 값을 더합니다.

[ 1  2 ] + [ 10  20 ] = [ 11  22 ]
[ 3  4 ]   [ 30  40 ]   [ 33  44 ]

중요한 조건이 있습니다. 두 행렬의 크기가 같아야 합니다.

• 2 × 2와 2 × 2는 더할 수 있습니다.
• 2 × 3과 3 × 2는 더할 수 없습니다.

스칼라배도 비슷합니다. 행렬의 모든 칸에 같은 숫자를 곱합니다.

3 [ 1  2 ] = [ 3   6 ]
  [ 3  4 ]   [ 9  12 ]

• 2 × 3 행렬과 2 × 3 행렬은 더할 수 있나요?
• 2 × 3 행렬과 3 × 2 행렬은 더할 수 있나요?
• 행렬에 3을 곱하면 몇 개의 칸이 바뀌나요?

앞에서 배운 내적을 행렬의 여러 행에 반복해서 적용하면 행렬-벡터 곱이 됩니다.

다음 행렬과 벡터를 봅시다.

A = [ 1  2 ]      x = [ 10 ]
    [ 3  4 ]          [ 20 ]
    [ 5  6 ]

A는 3 × 2 행렬이고, x는 2 × 1 벡터입니다. 앞 행렬의 열 수 2와 뒤 벡터의 행 수 2가 같으므로 곱할 수 있습니다.

Ax = [ 1×10 + 2×20 ]   [  50 ]
     [ 3×10 + 4×20 ] = [ 110 ]
     [ 5×10 + 6×20 ]   [ 170 ]

처음에는 “행마다 가중합” 관점만 확실히 잡아도 됩니다. 다음 관점은 행렬곱이 왜 벡터를 바꾸는 계산인지 이해할 때 도움이 됩니다.

행렬-벡터 곱은 두 가지 방식으로 볼 수 있습니다.

열벡터의 선형결합으로 보면 위 계산은 다음과 같습니다.

Ax = 10 [ 1 ] + 20 [ 2 ]
        [ 3 ]      [ 4 ]
        [ 5 ]      [ 6 ]

행렬-행렬 곱은 행렬 덧셈보다 조건이 더 까다롭습니다.

(m × n) @ (n × p) = (m × p)

핵심은 안쪽 크기입니다.

A: 2 × 3
B: 3 × 4

A @ B 가능 → 결과는 2 × 4

하지만 다음은 불가능합니다.

A: 2 × 3
B: 2 × 4

A @ B 불가능 → 안쪽 크기 3과 2가 다름

결과 행렬의 한 칸은 다음 두 줄이 만나서 만들어집니다.

1. 앞 행렬의 한 행
2. 뒤 행렬의 한 열

결과의 (i, j) 칸 = A의 i번째 행 · B의 j번째 열

예를 들어 A가 2 × 3, B가 3 × 2이면 결과는 2 × 2입니다.

A = [ 1  2  3 ]      B = [ 10  20 ]
    [ 4  5  6 ]          [ 30  40 ]
                         [ 50  60 ]

AB의 1행 1열 = 1×10 + 2×30 + 3×50 = 220
AB의 1행 2열 = 1×20 + 2×40 + 3×60 = 280
AB의 2행 1열 = 4×10 + 5×30 + 6×50 = 490
AB의 2행 2열 = 4×20 + 5×40 + 6×60 = 640

• 2 × 3 행렬과 3 × 2 행렬의 곱은 왜 가능한가요?
• 결과 행렬은 몇 행 몇 열인가요?
• 결과의 1행 2열 칸은 앞 행렬의 어느 줄과 뒤 행렬의 어느 줄이 만나 만들어지나요?

행렬은 숫자표로만 볼 수도 있지만, 벡터를 움직이는 규칙으로 볼 수도 있습니다.

예를 들어 다음 행렬을 생각해 봅시다.

A = [ 2  0 ]
    [ 0  1 ]

이 행렬은 x 방향은 2배로 늘리고, y 방향은 그대로 둡니다.

좌표평면의 기본 화살표 두 개를 생각해 봅시다. 선형대수학에서는 이런 기본 화살표를 기저벡터라고도 부릅니다.

i = [1, 0]   x 방향 기본 화살표
j = [0, 1]   y 방향 기본 화살표

2×2 행렬의 두 열은 이 기본 화살표들이 어디로 이동하는지를 나타낸다고 볼 수 있습니다.

A = [ a  b ]
    [ c  d ]

첫 번째 열 [a, c] → i가 도착하는 곳
두 번째 열 [b, d] → j가 도착하는 곳

이 관점은 11주차 이후 A @ x를 단순 공식이 아니라 “벡터를 다른 위치로 보내는 계산”으로 이해하는 데 도움이 됩니다.

다음 주에는 위 개념을 NumPy 코드로 실행합니다.

이번 주는 제출 실습 대신 아래 질문으로 이해도를 점검합니다.

1. 점 (2, 3)과 벡터 [2, 3]은 어떻게 다른가요?
2. [2, 1] + [1, 3]의 결과를 성분별 계산과 화살표 그림으로 설명해 보세요.
3. -2[1, 2]는 원래 벡터와 방향이 어떻게 달라지나요?
4. 2 × 3 행렬에서 행과 열은 각각 몇 개인가요?
5. 두 행렬을 더하려면 어떤 조건이 필요한가요?
6. 3 × 2 행렬과 2 × 1 벡터를 곱하면 결과 크기는 무엇인가요?
7. 2 × 3 행렬과 3 × 4 행렬의 곱은 가능한가요? 결과 크기는 무엇인가요?
8. NumPy에서 A * B와 A @ B는 어떻게 다른가요?

11주차에서는 오늘 배운 벡터와 행렬을 NumPy 배열로 옮깁니다.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
x = np.array([10, 20])

print(A.shape)  # (3, 2)
print(A @ x)    # [ 50 110 170]

다음 주의 핵심은 세 가지입니다.

1. 계산 전 shape를 확인한다.
2. 원소별 연산과 행렬곱을 구분한다.
3. axis가 어느 방향으로 값을 모으는지 이해한다.

• MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra
• MIT OCW Lecture 3 · Multiplication and inverse matrices
• Interactive Linear Algebra · Vectors
• Interactive Linear Algebra · Matrix Multiplication
• OpenStax · Vectors
• OpenStax · Matrices and Matrix Operations
• 3Blue1Brown · Linear transformations and matrices