임펄스와 정현파의 변환

한 순간에 몰린 임펄스와 끝없이 이어지는 정현파는 주파수에서 어떻게 보일까? 시간에서 한 점에 몰린 신호는 주파수에서 고르게 퍼지고, 시간에서 끝없이 이어지는 신호는 주파수에서 한 점에 몰린다. 여기서 얻는 쌍은 주기 신호와 7장의 샘플링을 다룰 때 다시 쓴다.

임펄스의 변환

직접 유도해 보기. (1) $x(t)=\delta(t)$의 변환, (2) $X(\omega)=\delta(\omega)$의 역변환, (3) $X(\omega)=\delta(\omega-\omega_0)$의 역변환을 구하라.

세 결과는 서로 짝을 이룬다. 시간에서 한 순간에 몰린 임펄스는 모든 주파수를 크기 1, 위상 0으로 똑같이 담는다. 반대로 영원히 일정한 상수는 $\omega=0$ 한 곳에만 있다. 복소 지수 $e^{j\omega_0 t}$는 $+\omega_0$ 한 곳에만 선이 서고 $-\omega_0$에는 아무것도 없다. 임펄스를 $t_0$만큼 옮기면 크기는 그대로 1이고 위상만 $-\omega t_0$로 바뀐다.

상수와 $e^{j\omega_0 t}$는 $\int|x|\,dt$가 무한대라서 정의식의 적분이 보통의 뜻으로 수렴하지 않는다. 이 쌍들은 역변환에서 거꾸로 얻은 것이고, 주파수 쪽에 임펄스가 들어간다. $2\pi$는 역변환의 $1/2\pi$에서 온다.

정현파의 변환

직접 유도해 보기. $\cos\omega_0 t$와 $\sin\omega_0 t$를 복소 지수로 쓰고 앞의 쌍을 적용해 두 변환을 구하라.

실수 정현파는 $+\omega_0$와 $-\omega_0$ 두 곳에 선이 선다. 코사인은 두 선의 면적이 모두 $\pi$이고, 사인은 크기가 같으면서 $1/j=-j$ 때문에 $+\omega_0$ 쪽은 −90°, $-\omega_0$ 쪽은 +90°의 위상을 갖는다. 4장에서 본 것처럼 실수 코사인은 반대 방향으로 도는 두 회전 $e^{\pm j\omega_0 t}/2$의 합이다. 두 회전의 허수부는 서로 지워지고 실수부만 남는다.

코사인의 선이 왜 $+\omega_0$와 $-\omega_0$ 두 곳에 설까? 아래 그림에서 $z=e^{j2\pi t}$는 $f=+1$ Hz로 돌고, 켤레 $\overline z$는 같은 속도로 반대 방향으로 돈다. $z$가 $+\omega_0$의 선이고 $\overline z$가 $-\omega_0$의 선이다. 절반 길이의 두 페이저(굵은 실선과 점선)를 이은 끝은 늘 가로축 위의 초록 점에 있다. 두 벡터를 이어 더하면 허수부가 지워져 실수만 남기 때문이다.

z와 켤레 z̄는 같은 속도로 반대 방향으로 돌고, 절반 길이의 두 벡터를 이은 끝이 가로축 위의 초록 점이다.

주기 신호와 선 스펙트럼

주기 신호는 푸리에 급수 $x(t)=\sum c_k e^{jk\omega_0 t}$로 쓸 수 있다. 각 항에 $e^{jk\omega_0 t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-k\omega_0)$를 적용하면 다음을 얻는다.

주기 신호의 변환은 연속 곡선이 아니라 $k\omega_0$ 자리에 선 임펄스들이다. 각 임펄스의 면적은 $2\pi c_k$이다. 여러 주기 신호를 더한 신호도 성분마다 선이 따로 서므로, 시간 파형이 복잡해 보여도 주파수에서는 성분이 하나씩 나뉘어 보인다.

예를 들어 진폭 1인 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz 정현파 셋을 더하면 1 ms마다 같은 모양이 되풀이되는 복잡한 파형이 되고, 최댓값은 약 2.5이다. 정현파 하나는 $\sin\omega t=(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})/2j$이므로 $+f$와 $-f$에 크기 $1/2$인 계수를 하나씩 갖는다. 합의 스펙트럼에는 $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$ kHz에 크기 $1/2$인 선이 여섯 개 선다.

그 여섯 선을 계수의 크기 $|c_k|$로 그리면 실수 신호이므로 0을 사이에 둔 좌우의 선은 높이가 같고, 선 높이는 정현파의 진폭 1이 아니라 $1/2$이다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 톤을 하나 더한다. ① 합 파형이 그 톤을 받는 동안 ②에는 그 톤을 이루는 반대 방향의 두 회전이 그려지고, ③에는 $\pm f$에 높이 $1/2$인 선 한 쌍이 선다.

①의 초록은 지금까지 더한 톤의 합, 회색은 새 톤을 더하기 전의 합, 붉은 점선은 새 톤이고, 세로 점선이 ②의 시각 t₀이다. ②의 청록·보라 화살표는 새 톤의 +f, −f 회전이고, ③은 계수의 크기 |c_k|이다.

양의 주파수만 그린 스펙트럼에서 선 높이가 $1/2$이면, 같은 크기의 선이 음의 주파수에도 하나씩 있다는 뜻이다. 실수 신호에서 음의 주파수 쪽을 접어 양쪽 크기를 더한 단측 진폭 스펙트럼(one-sided amplitude spectrum)으로 그리면 각 선의 높이는 정현파의 진폭인 1이 된다. 어느 쪽으로 그렸는지 축 이름에 밝혀 둔다.

임펄스열의 변환

간격 $T$로 늘어선 임펄스열 $x(t)=\sum_n\delta(t-nT)$는 주기 $T$인 신호이다. 한 주기 $-T/2\le t<T/2$ 안에는 $\delta(t)$ 하나만 있으므로 급수 계수는 모두 같다.

앞 절의 규칙을 쓰면 변환도 임펄스열이다.

$\omega_0=2\pi/T$로 쓰면 $\sum_n\delta(t-nT)\leftrightarrow\omega_0\sum_k\delta(\omega-k\omega_0)$이다. 시간 간격 $T$가 주파수 간격 $2\pi/T$ rad/s($1/T$ Hz)를 정한다. 시간에서 임펄스가 성기면 주파수에서는 촘촘하다. 이 쌍은 7장에서 샘플링을 설명할 때 다시 쓴다.

임펄스가 무한히 이어지지 않고 $N$개($N>1$)뿐이면 스펙트럼은 $1/T$ Hz의 정수배에서 피크를 갖되 폭이 생긴다. 이웃 임펄스의 변환 $e^{-j2\pi fnT}$는 각도가 $-2\pi fT$씩 다른 페이저이므로, $NfT=1$이면 $N$개를 이은 페이저가 한 바퀴 돌아 닫히고 합이 0이다. 그래서 $f=0$의 피크에서 첫 영점까지는 $1/(NT)$ Hz이고 다른 피크에서도 거리가 같다. $N$을 늘리면 피크가 좁고 높아져 임펄스열의 선에 가까워진다. 아래 그림의 표는 피크 간격 $1/T$와 피크에서 첫 영점까지의 폭 $1/(NT)$를 시간 쪽의 $T$, $NT$와 나란히 적는다.

$t_0=nT$에 놓인 임펄스의 변환은 $e^{-j2\pi fnT}$, 곧 길이 1인 페이저 하나이고, $|X(f)|$는 이 페이저 $N$개를 이어 붙인 합의 길이다. $f=0$에서는 페이저가 한 줄로 늘어서 $|X(0)|=N$이 되고, $f=1/(NT)$에서는 페이저가 한 바퀴 돌아 0으로 닫힌다(아래 그림).

①은 x(t) = Σδ(t − nT)의 임펄스 N개로 마지막에 더한 것을 다른 색으로 그렸고, 페이저 옆 수는 그 임펄스의 번호 n이다(페이저가 촘촘하면 마지막 것만 적는다). ②는 고른 f에서 임펄스마다 더한 페이저와 그 합 X(f)(초록 페이저), ③은 모든 f에서 잰 |X(f)|(초록 곡선)와 ②의 f(세로 점선)이며, 곡선이 한 픽셀 폭 안에서 여러 번 오르내리는 곳은 그 폭 안의 최솟값부터 최댓값까지 칠했다.