REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L07

7장 이산시간 시스템의 푸리에 해석

샘플링

연속 신호를 샘플로 바꾸면 스펙트럼에 무슨 일이 일어날까? 앞에서 Ω\Omega와 2π−Ω2\pi-\Omega는 같은 코사인 샘플을 만들었다. 샘플링이 샘플 사이에서 일어난 일을 기록하지 않기 때문이다.

이상 C/D 변환기

C/D 변환기(continuous-to-discrete converter)는 연속시간 신호를 이산시간 수열로 바꾸는 장치이다. 이상적인 C/D 변환기의 동작을 두 단계로 나눈다. 먼저 x(t)x(t)에 간격 TsT_s인 임펄스열 p(t)p(t)를 곱해 s(t)s(t)를 만들고, 그다음 각 임펄스의 면적을 차례로 늘어놓아 수열 y[n]y[n]을 만든다.

s(t)=x(t) p(t)=∑n=−∞∞x(nTs) δ(t−nTs)y[n]=x(nTs)\begin{gathered} s(t)=x(t)\,p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\,\delta(t-nT_s)\\ y[n]=x(nT_s) \end{gathered}

s(t)s(t)는 아직 연속시간 신호이다. 시각 nTsnT_s에 면적 x(nTs)x(nT_s)인 임펄스가 서 있을 뿐이다. y[n]y[n]은 이산시간 수열이고 지표 nn에는 단위가 없다. 두 신호는 같은 값을 담지만 가로축이 다르다.

같은 샘플 값을 시각 t=nTst=nT_s(초) 축과 샘플 번호 nn 축에 놓으면, TsT_s를 바꿀 때 달라지는 것은 시각 축 쪽의 샘플 간격뿐이다.

같은 샘플 값을 연속시간 축 t = nTₛ(위)와 샘플 번호 n 축(아래)에 나란히 놓았다.

해 보기

  1. Tₛ = 1/8 s에서 샘플 n = 3이 연속시간 곡선의 어느 시각에서 온 값인지 확인하라.
    관찰

    n = 3인 샘플은 위 그림에서 t = 3Tₛ = 0.375 s의 값이다.

  2. Tₛ = 1/4 s이면 위 그림과 아래 그림이 각각 어떻게 바뀌는지 확인하라.
    관찰

    위 그림에서는 샘플이 0–1.75 s로 벌어진다. 아래 그림의 가로축은 그대로 n = 0…7이고, 값만 cos(πn/2)로 바뀐다. 수열에는 Tₛ가 남지 않는다.

임펄스열의 변환

p(t)=∑nδ(t−nTs)p(t)=\sum_n\delta(t-nT_s)는 6장에서 변환을 구한 임펄스열이므로, 6장의 쌍에서 TT를 TsT_s로, ω0=2π/T\omega_0=2\pi/T를 샘플링 각주파수 ωs=2π/Ts\omega_s=2\pi/T_s로 바꿔 쓰면 된다(ωs\omega_s는 정현파의 주파수와 구별하려고 쓰는 이름이다).

p(t)=∑n=−∞∞δ(t−nTs)  ⟷  P(ω)=2πTs∑ℓ=−∞∞δ(ω−ℓωs)\begin{gathered} p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\\ \;\longleftrightarrow\; P(\omega)=\frac{2\pi}{T_s}\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\ell\omega_s) \end{gathered}

주파수에서 본 샘플링

샘플링은 주파수에서 컨볼루션이다. 6장의 곱 성질에 따라 시간에서의 곱은 주파수에서 1/2π1/2\pi를 곱한 컨볼루션이기 때문이다. X(ω)X(\omega)를 δ(ω−ℓωs)\delta(\omega-\ell\omega_s)와 컨볼루션하면 XX가 ℓωs\ell\omega_s로 옮겨 가므로

S(ω)=12πX(ω)∗P(ω)=12π⋅2πTs∑ℓ=−∞∞X(ω−ℓωs)=1Ts∑ℓ=−∞∞X(ω−ℓωs)\begin{aligned} S(\omega)&=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*P(\omega)\\ &=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{T_s}\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}X(\omega-\ell\omega_s)\\ &=\frac{1}{T_s}\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}X(\omega-\ell\omega_s) \end{aligned}

를 얻는다. Hz로 쓰면 S(f)=1Ts∑ℓX(f−ℓfs)S(f)=\frac{1}{T_s}\sum_\ell X(f-\ell f_s)이다. ℓ\ell은 replica의 번호(정수)이다. 원래 스펙트럼이 fsf_s마다 되풀이되고 각 replica는 1/Ts1/T_s배가 된다. ω\omega로 쓰든 ff로 쓰든 replica에 곱해지는 값은 1/Ts1/T_s이다.

x(t)x(t)가 ∣f∣<f0|f|<f_0로 대역이 제한되어 있고 fs>2f0f_s>2f_0이면 replica가 서로 닿지 않는다. −fs/2…fs/2-f_s/2\ldots f_s/2 구간에는 원래 스펙트럼의 1/Ts1/T_s배만 남는다. 따라서 s(t)s(t)를 이득 TsT_s, 차단 주파수 fs/2f_s/2인 이상적인 저역 통과 필터에 넣으면 ℓ=0\ell=0 replica만 남고 배율도 상쇄되어 원래 신호 x(t)x(t)가 복원된다. fs<2f0f_s<2f_0이면 replica가 겹친다. 주파수 ff의 성분이 f−mfsf-mf_s(mm은 정수)에 나타난 replica와 섞여 구별되지 않는데, 이것을 aliasing이라고 한다. 4장의 '위상의 모호성'에서 미리 언급한 현상이다.

대역이 B=3B=3 Hz인 스펙트럼(위 식의 f0f_0에 해당한다)을 샘플링하면 원본에 1/Ts1/T_s가 곱해지고 replica가 fsf_s만큼씩 옮겨 놓인다. fsf_s를 줄이면 fs=2B=6f_s=2B=6 Hz에서 replica가 닿기 시작한다. fs>2Bf_s>2B이면 replica가 서로 닿지 않고, fs<2Bf_s<2B이면 겹친 곳의 합이 어느 replica와도 달라진다.

원본은 대역 B = 3 Hz인 삼각형 스펙트럼 X(f) = tri(f/B)이다. 점선이 replica X(f − ℓfₛ)/Tₛ(높이 1/Tₛ = fₛ), 초록 실선이 그 합 S(f)이다.

해 보기

  1. B = 3 Hz를 fₛ = 8 Hz로 샘플링한 스펙트럼에서 replica의 간격과 높이, replica 사이의 빈틈을 확인하라.
    관찰

    replica가 8 Hz마다 서고 높이는 1/Tₛ = 8이다. 원본 자리의 replica(−3…3 Hz)와 첫 replica(5…11 Hz) 사이에 2 Hz 빈틈이 있다.

  2. fₛ = 6 Hz이면 replica가 어떻게 놓이는지 확인하라.
    관찰

    fₛ = 2B이다. replica가 3 Hz에서 맞닿고, 높이는 6으로 낮아진다.

  3. fₛ = 4 Hz이면 replica가 어디에서 겹치는지, 겹친 곳의 합이 어떻게 되는지 확인하라.
    관찰

    원본 자리의 replica와 첫 replica가 1…3 Hz에서 겹친다. 겹친 곳에서 초록 합은 두 replica보다 높고 0으로 내려가지 않는다. aliasing이다.

이 결과를 '이산시간 정현파와 Ω' 절의 Ω\Omega와 잇는다. s(t)s(t)의 각 임펄스에 6장의 δ(t−t0)↔e−jωt0\delta(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}를 적용하면

S(ω)=∑n=−∞∞x(nTs)e−jωnTsS(Ω/Ts)=∑n=−∞∞y[n]e−jΩn\begin{aligned} S(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)e^{-j\omega nT_s}\\ S(\Omega/T_s)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n]e^{-j\Omega n} \end{aligned}

이다. 둘째 줄이 수열 y[n]y[n]의 DTFT이며, 앞서 구한 replica 식에 ω=Ω/Ts\omega=\Omega/T_s를 넣으면 DTFT 절의 식이 된다. Ω=π\Omega=\pi는 f=fs/2f=f_s/2에 해당한다. 그래서 Ω=π\Omega=\pi가 가장 빠른 진동이고, Ω=15π/8\Omega=15\pi/8(f=15fs/16f=15f_s/16)은 f−fs=−fs/16f-f_s=-f_s/16의 replica와 같은 샘플을 만든다.

시간축에서 보면 같은 샘플을 지나는 연속 정현파가 여럿이다. fsf_s의 정수배만큼 다른 후보 f+kfsf+kf_s는 샘플 시각에서 모두 같은 값을 지나고, 샘플 사이에서는 서로 다르다.

검은 점이 샘플이고, 선은 그 점을 지나는 후보 f + kfₛ이다. 처음 상태는 입력 1 Hz(φ = 30°)를 fₛ = 4 Hz로 잰 0 ≤ t < 1 s의 샘플 4개와, 후보 f + kfₛ(k = −2…2, 곧 −7, −3, 1, 5, 9 Hz)이다.

해 보기

  1. 다섯 후보 곡선이 샘플 4개에서 어떻게 만나는지 확인하라.
    관찰

    −7, −3, 1, 5, 9 Hz 곡선이 샘플 4개에서 모두 만나고, 샘플 사이에서는 서로 다르다.

  2. 입력 15 Hz를 fₛ = 16 Hz로 잴 때(Ω = 15π/8) 어느 후보와 같은 샘플을 지나는지 확인하라.
    관찰

    입력이 −1 Hz 곡선 a(t)와 같은 샘플을 지난다. Ω = 1.875π ≡ −0.125π이다.

  3. 입력 3 Hz(φ = 30°)를 fₛ = 4 Hz로 잴 때 어느 곡선과 같은 샘플을 주는지, 위상이 어떻게 되는지 확인하라.
    관찰

    샘플이 −1 Hz 곡선 cos(−2πt + 30°) = cos(2πt − 30°)와 같다. 양의 주파수로 쓰면 위상의 부호가 바뀐다.