관측 시간과 주파수 간격

가까운 두 주파수를 DFT로 가르려면 샘플링 주파수와 샘플 수 가운데 무엇을 늘려야 할까?

샘플링 주파수 $f_s$ 로 $N$ 개를 모으면 관측 시간은 $T_{\mathrm{obs}}=N/f_s$ 이다. DFT 주파수 간격은

\Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{T_{\mathrm{obs}}}

이고, 보이는 주파수 범위는 $-f_s/2\le f<f_s/2$ 이다.

$f_s$ 를 고정하고 $N$ 을 늘리면 관측 시간이 길어져 $\Delta f$ 가 작아진다. 가까운 주파수를 더 잘 구별한다.
관측 시간을 고정하고 $f_s$ 를 키우면 $N$ 이 같은 비율로 늘어 $\Delta f$ 는 그대로이고, 볼 수 있는 최대 주파수 $f_s/2$ 만 커진다.

주파수 간격을 정하는 것은 샘플링 주파수가 아니라 관측 시간이다. 짧게 본 신호로는 주파수를 정밀하게 가르지 못하는데, 이것이 시간과 주파수 사이의 불확정성이다.

$N$ 개만 남긴 기록은 원래 수열에 $0\le n<N$ 에서 1, 밖에서 0인 사각 윈도우(창 함수)를 곱한 것이다. 기록 밖을 0으로 두고 모든 $\Omega$ 에서 계산한 변환, 곧 앞에서 $X_0(\Omega)$ 라고 쓴 것을 유한 기록의 DTFT라고 한다.

복소 톤 $x[n]=e^{j\Omega_0n}$ 하나로 이 곡선을 구한다. 등비수열의 합으로

X_0(\Omega)=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j(\Omega-\Omega_0)n}=D_N(\Omega-\Omega_0),\qquad D_N(\Omega)=e^{-j\Omega(N-1)/2}\,\frac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}

이다( $D_N(0)=N$ ). 끝없이 이어지는 수열이라면 $\Omega_0$ 한 점에만 있을 톤이, 기록을 자르면 Dirichlet 핵 $D_N$ 모양으로 이웃 주파수까지 퍼진다. 이것을 스펙트럼 누설(spectral leakage)이라고 한다.

$|D_N|$ 의 메인로브 양쪽 첫 영점은 $N\Omega/2=\pm\pi$ , 곧 톤에서 $\pm f_s/N$ 떨어진 곳이다. 그래서 영점 사이 폭(null-to-null)은 $2f_s/N=2/T_{\mathrm{obs}}$ 로 DFT 두 bin이다( $N\ge2$ ). DFT 점은 이 곡선의 값을 $\Delta f=1/T_{\mathrm{obs}}$ 마다 취한 것이다. 주파수 간격은 곡선에서 값을 취하는 간격일 뿐이고, 가까운 두 톤을 구별하는 능력인 주파수 분해능은 피크 폭이 정한다. 톤이 bin에 정확히 놓이면 다른 bin들은 모두 $N\Omega/2$ 가 $\pi$ 의 0이 아닌 정수배인 핵의 영점에 놓여 값이 0이다.

예를 들어 20 Hz 복소 톤을 $f_s=615$ Hz로 $N=35$ 개 모으면 관측 시간은 $35/615\approx56.9$ ms이고 $\Delta f=615/35\approx17.57$ Hz이다. 20 Hz는 bin 1(17.57 Hz)과 bin 2(35.14 Hz) 사이에 있어서 에너지가 한 bin에 모이지 않고 이웃 bin으로 번진다. 가장 큰 값은 bin 1에 나온다. 크기를 최댓값으로 나누어 그리면 bin 사이에 놓인 톤도 피크가 1로 보이므로, bin에 정확히 놓였는지는 피크 높이로 판단할 수 없다.

합성 신호의 DFT 점과 유한 기록의 DTFT 곡선을 함께 그렸고, 처음 상태는 N = 35, fₛ = 615 Hz, 20 Hz 복소 톤이다. 그림에 Δf = 615/35 = 17.57 Hz, T_obs = 0.05691 s, 20 Hz에 가장 가까운 bin k = 1(17.57 Hz, +0.14 bin)이 표시된다.

해 보기

N = 35, fₛ = 615 Hz에서 20 Hz 복소 톤을 잴 때 Δf와 값이 생기는 bin을 확인하라.
관찰
Δf = 17.57 Hz이다. 20 Hz 톤이 bin 1과 bin 2 사이에 있어 여러 bin에 값이 생긴다.
fₛ = 100 Hz, N = 20에서 32.5 Hz 톤이 어느 bin 사이에 놓이는지, 몇 bin에 값이 생기는지 확인하라.
관찰
Δf = 5 Hz라 32.5 Hz는 bin 6(30 Hz)과 bin 7(35 Hz)의 한가운데이다. 20개 bin 모두에 값이 생긴다.
같은 톤을 N = 40으로 두 배 길게 재면 0이 아닌 bin이 몇 개인지 확인하라.
관찰
Δf = 2.5 Hz로 줄어 32.5 Hz가 bin 13에 정확히 놓인다. 0이 아닌 bin이 하나뿐이다.

예제 2: 선이 서는 bin 찾기

$f_s=100$ Hz, $N=20$ 이면 $\Delta f=5$ Hz이고 bin $k=11\ldots19$ 는 음의 주파수 $(k-20)\cdot5$ Hz, bin $k=10$ 은 $\pm50$ Hz이다. 진폭 1인 톤이 서는 bin은 다음과 같다.

30 Hz 복소 톤은 $k=6$ 한 bin에 서고 $|X[6]|=20$ 이다.
30 Hz 코사인은 $\pm30$ Hz이므로 $k=6$ 과 $k=20-6=14$ 에 서고 각각 $|X|=10$ 이다.
70 Hz 복소 톤은 $f_s/2=50$ Hz를 넘으므로 $70-100=-30$ Hz로 aliasing되어 $k=14$ 한 bin에 선다.
70 Hz 코사인은 $\pm70$ Hz가 $\mp30$ Hz로 aliasing되어 $k=6$ 과 $k=14$ 에 선다. 30 Hz 코사인과 똑같아 DFT만으로는 구별하지 못한다.

제로 패딩과 긴 관측

기록 뒤에 제로 패딩해 DFT 길이를 늘리면 두 톤을 더 잘 가를 수 있을까?

관측을 늘리는 것과 제로 패딩(zero padding)은 다르다. 관측을 늘리면 DTFT 곡선 자체가 좁아지지만, 제로 패딩하면 같은 곡선 위에 점만 촘촘해진다. 8 Hz와 8.75 Hz 복소 톤을 $f_s=64$ Hz로 재는 예로 비교한다. $N=32$ 개에 제로 패딩해 DFT 길이를 $M=16N$ 으로 늘리면( $M$ 은 0을 붙인 뒤의 DFT 길이) 점 간격이 0.125 Hz로 줄지만 $1/T_{\mathrm{obs}}=2$ Hz와 메인로브 폭 4 Hz는 그대로이고, 두 톤이 피크 하나로 보인다. 관측을 8배로 늘려 $N=256$ 개를 모으면 $\Delta f=0.25$ Hz, 메인로브 폭 0.5 Hz가 되어 피크가 둘로 갈린다. 아래 두 항목을 차례로 누르면 앞 그림이 두 기록을 그려, 같은 두 톤에서 점만 촘촘해지는 것과 곡선이 좁아지는 것을 비교할 수 있다.

해 보기

$N=32$ 에 0을 붙여 DFT 길이를 $16N$ 으로 늘리면 두 톤이 갈리는지 확인하라.
관찰
점이 0.125 Hz마다 촘촘해지지만 곡선의 메인로브 폭은 4 Hz 그대로라 8 Hz와 8.75 Hz가 피크 하나로 보인다.
0을 붙이지 않고 $N=256$ 개를 8배 길게 모으면 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
점 간격이 0.25 Hz, 메인로브 폭이 0.5 Hz로 좁아져 피크가 둘로 갈린다.