EVM

받은 점이 이상적인 점에서 얼마나 벗어났는지 숫자 하나로 나타낼 수 있을까?

받은 심볼 $r_n$ 과 보낸 심볼 $s_n$ 의 차이 $e_n=r_n-s_n$ 을 오차 벡터(error vector)라고 한다. EVM(error vector magnitude)은 오차 벡터 크기의 제곱 평균을 이상적인 점의 제곱 평균과 비교한 값이다.

\mathrm{EVM}=\sqrt{\frac{\frac1N\sum_{n=1}^{N}|e_n|^2}{\frac1N\sum_{n=1}^{N}|s_n|^2}}

분모의 제곱근은 이상적인 점의 rms 크기 $V_{\mathrm{rms}}$ 이다. %로 쓸 때는 100을 곱하고, dB로 쓸 때는 $20\log_{10}\mathrm{EVM}$ 이다. 전력의 비로 쓴 $\mathrm{EVM}_2$ 는 $\mathrm{EVM}_2=\mathrm{EVM}^2$ 이고, dB로는 $10\log_{10}\mathrm{EVM}_2$ 가 같은 값이 된다. EVM 10 %는 −20 dB, 1 %는 −40 dB이다.

점이 벗어나는 원인은 여러 가지이다.

잡음: 점마다 무작위로 흩어져 둥근 구름이 된다. 축마다 표준편차 $\sigma$ 인 잡음이면 $\mathrm{EVM}\approx\sqrt2\,\sigma$ ( $\sum|s|^2/N=1$ 일 때)이고, 신호 대 잡음비(SNR)와 $\mathrm{EVM}^2\approx1/\mathrm{SNR}$ 로 이어진다.
I/Q 불균형: 수신기의 I 갈래와 Q 갈래의 이득이나 위상이 서로 다르면, 점들이 모두 같은 규칙으로 옮겨 간다. 이득 차이는 정사각형을 직사각형으로, 위상 차이는 평행사변형으로 만든다. 실습 2에서 직접 잰다.
반송파 위상·주파수 오차, 증폭기의 비선형성: 성상도를 돌리거나 바깥 점을 안쪽으로 찌그러뜨린다.

표준은 변조 방식마다 EVM의 상한을 정한다. 예를 들어 LTE 기지국 송신기는 QPSK에서 17.5 %, 64QAM에서 8 % 이하여야 한다. 점이 촘촘한 변조일수록 작은 EVM이 필요하다.

아래 그림은 QPSK 심볼 256개를 받아 EVM을 계산한다. 첫 화면은 보낸 점과 받은 점이 어긋난 모습이다. ▶ 한 번이 연산 하나이다. ②에서 첫 심볼의 오차 벡터 $e_0=r_0-s_0$ 와 $|e_0|^2$ 을 구하고, ③에서 256개 심볼의 $|e|^2$ 와 $|s|^2$ 를 모두 더해 EVM을 낸다. ④와 ⑤는 잡음을 0으로 두고 Q 갈래의 이득 오차와 위상 오차를 하나씩만 켠다. 그려진 점에서 잰 EVM이 닫힌 식 $|g-1|/\sqrt2$ , $\sqrt{1-\cos\varphi}$ 와 같은지 본다.

합성 QPSK 256심볼이다. 네 점을 같은 횟수로 보냈고 평균 전력은 1이다. 고정한 의사 난수 잡음을 더한 뒤 Q′ = g(Q cos φ − I sin φ), g = 10^G/20로 Q 갈래의 불균형을 계산했다(강의 자료 WE4 23쪽).

해 보기

기본 설정(σ = 0.05, 1 dB, 10°)에서 256개를 모두 더한다.
관찰
Σ|e|² = 7.254, Σ|s|² = 256이고 EVM = √(7.254/256) = 16.83 %이다.
잡음만 σ = 0.1로 둔다.
관찰
EVM은 14.25 %로, √2·σ = 14.14 %에 가깝다.
이득 오차만 본다.
관찰
정사각형이 세로로 늘어난 직사각형이 되고, 그린 점에서 잰 EVM과 |g − 1|/√2가 모두 8.63 %이다.
위상 오차만 본다.
관찰
평행사변형이 되고, 두 값이 모두 √(1 − cos 10°) = 12.33 %이다.

같은 EVM이라도 점이 촘촘한 16QAM에서는 판정 경계를 넘는 점이 생긴다. 점 사이가 QPSK보다 가깝기 때문이다.