REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L06

6장 푸리에 변환

푸리에 변환 쌍 표

변환을 구할 때마다 정의식을 적분해야 할까? 아래 표의 쌍을 푸리에 변환의 성질과 조합하면 많은 변환을 적분 없이 구한다.

표에서 sinc⁡(x)=sin⁡(πx)/(πx)\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)이고, sgn⁡t\operatorname{sgn}t는 t>0t>0에서 11, t<0t<0에서 −1-1인 부호 함수(sign function)이다.

x(t)x(t) X(ω)X(\omega)
1 11 2πδ(ω)2\pi\delta(\omega)
2 u(t)u(t) πδ(ω)+1jω\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}
3 δ(t)\delta(t) 11
4 δ(t−t0)\delta(t-t_0) e−jωt0e^{-j\omega t_0}
5 rect⁡(t/τ)\operatorname{rect}(t/\tau) τsinc⁡ωτ2π=2sin⁡(ωτ/2)ω\tau\operatorname{sinc}\dfrac{\omega\tau}{2\pi}=\dfrac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}
6 ωBπsinc⁡ωBtπ=sin⁡ωBtπt\dfrac{\omega_B}{\pi}\operatorname{sinc}\dfrac{\omega_B t}{\pi}=\dfrac{\sin\omega_B t}{\pi t} rect⁡ ⁣(ω2ωB)\operatorname{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2\omega_B}\right)
7 sgn⁡t\operatorname{sgn}t 2jω\dfrac{2}{j\omega}
8 ejω0te^{j\omega_0 t} 2πδ(ω−ω0)2\pi\delta(\omega-\omega_0)
9 ∑kckejkω0t\sum_k c_k e^{jk\omega_0 t} 2π∑kckδ(ω−kω0)2\pi\sum_k c_k\delta(\omega-k\omega_0)
10 cos⁡ω0t\cos\omega_0 t π[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]
11 sin⁡ω0t\sin\omega_0 t πj[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]\dfrac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]
12 (cos⁡ω0t) u(t)(\cos\omega_0 t)\,u(t) π2[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]+jωω02−ω2\dfrac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]+\dfrac{j\omega}{\omega_0^2-\omega^2}

sgn⁡t\operatorname{sgn}t의 정의 적분은 수렴하지 않는다. 대신 a>0a>0인 감쇠 인자를 곱한 e−a∣t∣sgn⁡te^{-a|t|}\operatorname{sgn}t를 두 반직선으로 나누어 적분하면

∫0∞e−(a+jω)t dt−∫−∞0e(a−jω)t dt=1a+jω−1a−jω=−2jωa2+ω2→a→0+  2jω(ω≠0)\begin{aligned} \int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}\,dt-\int_{-\infty}^0 e^{(a-j\omega)t}\,dt &=\frac{1}{a+j\omega}-\frac{1}{a-j\omega} =\frac{-2j\omega}{a^2+\omega^2}\\ &\xrightarrow{a\to0^+}\;\frac{2}{j\omega}\quad(\omega\ne0) \end{aligned}

이다. 1/ω1/\omega가 들어간 식을 ω\omega로 적분할 때는 ω=0\omega=0 양쪽의 같은 폭을 빼고 계산한 뒤 그 폭을 0으로 보내는 코시 주값(Cauchy principal value)으로 해석한다(증명은 생략한다).

표에는 없지만 정의식으로 바로 구할 수 있는 쌍도 자주 쓴다. a>0a>0일 때 단측 지수와 양측 지수는 다음과 같다. 단측 지수의 유도는 아래 주파수 응답 절에 있다.

e−atu(t)  ⟷  1a+jωe−a∣t∣  ⟷  2aa2+ω2\begin{gathered} e^{-at}u(t)\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{a+j\omega}\\ e^{-a|t|}\;\longleftrightarrow\;\frac{2a}{a^2+\omega^2} \end{gathered}

표의 1번과 7번 쌍만 써서 단위 계단 u(t)u(t)의 변환을 구하라. t≠0t\ne0에서 u(t)=12(1+sgn⁡t)u(t)=\tfrac12\left(1+\operatorname{sgn}t\right)이다.

  1. (가) πδ(ω)+1jω\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}
  2. (나) πδ(ω)−1jω\pi\delta(\omega)-\dfrac{1}{j\omega}
  3. (다) 1jω\dfrac{1}{j\omega}
  4. (라) 2πδ(ω)+2jω2\pi\delta(\omega)+\dfrac{2}{j\omega}
풀이

답 (가) πδ(ω)+1jω\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}

  • (나) sgn⁡t\operatorname{sgn}t의 변환은 +2/(jω)+2/(j\omega)이다.
  • (다) 상수 12\tfrac12의 변환 πδ(ω)\pi\delta(\omega)가 빠졌다. u(t)u(t)는 t→∞t\to\infty에서 0으로 가지 않고, 남는 평균 12\tfrac12이 ω=0\omega=0의 임펄스가 된다.
  • (라) u(t)=12(1+sgn⁡t)u(t)=\tfrac12(1+\operatorname{sgn}t)의 12\tfrac12이 빠졌다.

변환은 선형이므로 12⋅2πδ(ω)+12⋅2jω=πδ(ω)+1jω\tfrac12\cdot2\pi\delta(\omega)+\tfrac12\cdot\dfrac{2}{j\omega}=\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}이고, 표의 2번과 같다. t=0t=0 한 점의 값은 적분을 바꾸지 않는다.

모든 tt에서 값이 4인 상수 신호 x(t)=4x(t)=4의 변환을 고르라.

  1. (가) 4 δ(ω)4\,\delta(\omega)
  2. (나) 44
  3. (다) 8π δ(ω)8\pi\,\delta(\omega)
  4. (라) 4 δ(t)4\,\delta(t)
풀이

답 (다) 8π δ(ω)8\pi\,\delta(\omega)

  • (가) 역변환의 1/2π1/2\pi를 되돌리는 2π2\pi가 빠졌다. 표의 1번은 1↔2πδ(ω)1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)이다.
  • (나) 상수 1이 아니라 임펄스 δ(t)\delta(t)의 변환이 1이다(표의 3번).
  • (라) 변환은 ω\omega의 함수이다. 상수는 주파수 쪽에서 ω=0\omega=0 한 곳의 임펄스가 된다.

표의 1번 1↔2πδ(ω)1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)에 선형성을 쓰면 4↔8πδ(ω)4\leftrightarrow8\pi\delta(\omega)이다. 영원히 일정한 신호는 ω=0\omega=0 한 주파수에만 있다.