컨볼루션과 주파수 응답

LTI 시스템의 출력을 구하는 컨볼루션 적분은 주파수에서 어떤 계산이 될까?

3장에서 본 대로 LTI 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션이다. 푸리에 변환을 거치면 컨볼루션이 곱으로 바뀐다.

\begin{gathered} x(t)*h(t)\;\longleftrightarrow\;X(\omega)H(\omega)\\ x(t)h(t)\;\longleftrightarrow\;\frac{1}{2\pi}X(\omega)*H(\omega) \end{gathered}

\begin{gathered} x(t)\;\xrightarrow{\;h(t)\;}\;y(t)=x(t)*h(t)\\ X(\omega)\;\xrightarrow{\;H(\omega)\;}\;Y(\omega)=X(\omega)H(\omega) \end{gathered}

직접 유도해 보기. 컨볼루션이 곱이 되는 것을 보여라.

풀이

$y(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$ 를 정의식에 넣고 $s=t-\tau$ 로 바꾼다.

\begin{aligned} Y(\omega)&=\int\!\!\int x(\tau)h(t-\tau)\,e^{-j\omega t}\,d\tau\,dt\\ &=\int x(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau\int h(s)e^{-j\omega s}\,ds\\ &=X(\omega)H(\omega) \end{aligned}

임펄스 응답의 변환 $H(\omega)$ 를 주파수 응답(frequency response)이라고 한다. 입력의 각 주파수 성분은 복소수 $H(\omega)$ 만큼 크기가 바뀌고 위상이 돈다. $h(t)$ 와 $H(\omega)$ 는 서로를 정하므로, LTI 시스템은 $H(\omega)$ 하나로 완전히 정해진다. 시간에서 적분으로 구하던 출력을 주파수에서는 곱셈 한 번으로 구한다. 통신, 제어, 신호처리에서 이 성질을 가장 많이 쓴다.

4장 'LTI 시스템과 복소 지수'의 결과는 $e^{\pm j\omega_1t}\to H(\pm\omega_1)e^{\pm j\omega_1t}$ 이다. 임펄스 응답 $h(t)$ 가 실수이면 앞의 실수 신호 대칭에 따라 $H(-\omega_1)=\overline{H(\omega_1)}$ 이다. 입력 $\cos\omega_1t=\tfrac12(e^{j\omega_1t}+e^{-j\omega_1t})$ 의 두 성분에 각각 적용하면

\begin{aligned} y(t)&=\tfrac12\left[H(\omega_1)e^{j\omega_1t}+\overline{H(\omega_1)}e^{-j\omega_1t}\right]\\ &=\operatorname{Re}\!\left\{H(\omega_1)e^{j\omega_1t}\right\} =|H(\omega_1)|\cos\!\left(\omega_1t+\angle H(\omega_1)\right) \end{aligned}

이다. 같은 주파수의 코사인이 나오고, 진폭은 $|H(\omega_1)|$ 배, 위상은 $\angle H(\omega_1)$ 만큼 바뀐다. 입력이 아주 오래전부터 이어진 정상 상태일 때의 결과이다. 입력을 켜는 순간의 과도 응답은 이 식에 들어 있지 않다.

직접 유도해 보기. 임펄스 응답이 $h(t)=a\,e^{-at}u(t)$ ( $a>0$ )인 시스템의 $H(\omega)$ 를 정의식으로 구하고, $\omega=a$ 에서의 크기와 위상을 구하라.

풀이

$u(t)$ 때문에 적분은 0부터 시작한다.

\begin{aligned} H(\omega)&=\int_0^{\infty}a\,e^{-(a+j\omega)t}\,dt\\ &=\left[\frac{-a}{a+j\omega}e^{-(a+j\omega)t}\right]_0^{\infty} =\frac{a}{a+j\omega} \end{aligned}

위끝에서 $|e^{-(a+j\omega)t}|=e^{-at}\to0$ 이 되는 것은 $a>0$ 이기 때문이다. 크기와 위상은

\begin{gathered} |H(\omega)|=\frac{a}{\sqrt{a^2+\omega^2}}\\ \angle H(\omega)=-\arctan\frac{\omega}{a} \end{gathered}

이고, $\omega=a$ 에서 $|H|=1/\sqrt2\approx0.707$ , $\angle H=-45°$ 이다. 저항 $R$ 과 커패시터 $C$ 로 만든 1차 저역 통과 회로, 곧 3장 끝의 RC 회로가 $a=1/RC$ 인 이 시스템이다.

$R,C>0$ 인 직렬 RC 회로에서 커패시터 양단을 출력으로 잡으면, 임피던스 $Z_C=1/(j\omega C)$ 와 전압 분배식으로

H(\omega)=\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}} =\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{1}{1+j\omega RC} =\frac{1/(RC)}{1/(RC)+j\omega}

를 얻는다. 단측 지수의 변환쌍에 $a=1/(RC)$ 를 넣으면 임펄스 응답은 $h(t)=\frac1{RC}e^{-t/(RC)}u(t)$ 이다.

차단 주파수(cutoff frequency) $f_{co}$ 는 크기가 $|H|=1/\sqrt2$ 로 줄어드는 주파수이고, $\omega=a=1/RC$ 를 Hz로 쓴 값이다. 곧 $f_{co}=1/(2\pi RC)$ 이다.

RC 저역 통과 회로에 주파수가 다른 두 성분을 함께 넣으면 각 성분은 얼마나 줄고 얼마나 늦어질까? 5 Hz 성분(진폭 1 V)과 40 Hz 성분(0.6 V)을 넣으면, 성분마다 입력 페이저 $X$ 에 그 주파수의 $H(f)$ 를 곱한 것이 출력 페이저 $Y$ 이다(아래 그림). ①의 두 곡선이 성분마다의 $|H|$ 와 $\angle H$ 이다. ②의 페이저는 $|H|$ 배로 줄어든 뒤 $\angle H$ 만큼 시계 방향으로 돌고, ③의 파형도 그만큼 작아지고 늦어진다. R이나 C가 바뀌면 $f_{co}$ (점선)도 옮겨 간다. 주파수가 높을수록 C의 임피던스 $1/(2\pi fC)$ 가 작아져 C 양단의 출력 전압이 작아지고 늦어진다. 처음 상태에서 5 Hz 성분은 0.847배로 줄고 32.1° 늦어지며, 40 Hz 성분은 0.195배로 줄고 78.7° 늦어진다. 실수 회로는 $H(-f)$ 가 $H(f)$ 의 켤레이므로, 양의 주파수 페이저 하나로 실수 출력 $\operatorname{Re}\{Ye^{j2\pi ft}\}$ 가 정해진다.

처음 상태는 R = 2 kΩ, C = 10 µF(τ = RC = 20 ms, f_co = 7.96 Hz)인 회로에 5 Hz와 40 Hz 두 성분을 넣은 정현파 정상 상태이고, 처음 충전되는 과도 응답은 그리지 않았다. 회로는 Vin에 R을 직렬로 두고 C 양단을 Vout으로 잡으며, ②의 점선은 입력 X와 |H|배로 줄인 X, 호는 ∠H만큼의 회전이다.

해 보기

C가 2.2 µF이면 $f_{co}$ 와 두 페이저가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
$f_{co}$ 가 36.2 Hz로 올라간다. 5 Hz 페이저는 0.991배, −7.9°로 입력 X와 거의 겹치고, 40 Hz 페이저도 0.671배로 줄고 −47.9° 돌아 절반 넘게 남는다.
R = 5 kΩ, C = 22 µF이면 두 성분의 크기와 위상이 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
$f_{co}$ 가 1.45 Hz로 내려가 두 성분 모두 $f_{co}$ 보다 높다. 5 Hz 페이저는 0.278배로 줄고 −73.9° 돌며, 40 Hz 페이저는 0.036배로 거의 사라지고 −87.9°까지 돈다. $f_{co}$ 보다 높은 쪽으로 멀리 떨어진 성분일수록 위상이 −90°에 가까워진다.
처음 회로에서 첫 성분이 8 Hz이면 페이저의 크기와 위상이 얼마인지 확인하라.
관찰
8 Hz는 $f_{co}=7.96$ Hz와 거의 같아 페이저가 0.705배로 줄고 −45.2° 돈다. 차단 주파수에서 크기는 $1/\sqrt2$ , 위상은 −45°이다.

$R=1$ kΩ, $C=1$ µF인 RC 저역 통과 회로의 차단 주파수 $f_{co}$ 를 구하라.

풀이

답 159.2 Hz

힌트 $RC$ 는 초 단위로 계산한다. 1 kΩ × 1 µF = $10^{-3}$ s이다.

$f_{co}=\dfrac{1}{2\pi RC}=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-3}}\approx159.2$ Hz이다. 각주파수로는 $1/RC=1000$ rad/s이다. 이 주파수에서 $|H|=1/\sqrt2$ 이고 위상은 −45°이다.

예제 2: 여러 톤과 저역 통과 필터

진폭이 다른 톤 다섯 개를 더한 입력을 저역 통과 시스템에 넣는 예이다. 입력 스펙트럼 $X$ 에는 50 Hz 성분과 그보다 높은 네 성분(175–450 Hz)이 선다. 시스템의 $|H|$ 는 낮은 주파수에서 1이고 50 Hz 근처를 지나면 빠르게 0으로 떨어진다. 출력 스펙트럼은 $Y=XH$ 이므로 $|H|\approx0$ 인 곳의 네 성분은 사라지고 50 Hz 성분만 남는다.

남은 성분의 높이도 곱으로 정해진다. 50 Hz 성분이 입력에서 0.5, 출력에서 0.354이면 그 주파수에서 $|H|=0.707$ 이다.

실수 신호를 실수 시스템에 넣었다면 $h(t)$ 도 실수이고, $H(-\omega)=\overline{H(\omega)}$ 이다. 그래서 이런 그림은 양의 주파수만 그려도 충분하다.

이 곱은 선마다 따로 일어난다. 아래 그림의 세 줄 $|X|$ , $|H|$ , $|Y|$ 는 같은 주파수 축을 쓰고, $|X|$ 의 선은 $|H|$ 줄을 지나며 $|H|$ 배로 줄어 $|Y|$ 에 내려앉는다. 50 Hz 선은 0.5에서 0.354로 줄고, 175 Hz 이상의 네 선은 $|H|<0.01$ 이라 거의 0으로 내려앉는다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 선 하나가 $|H|$ 줄을 지나 $|Y|$ 에 내려앉고, 다섯 선이 모두 내려앉은 뒤의 마지막 ▶는 같은 출력을 시간에서 계산한 $y(t)$ 를 그린다.

50, 175, 225, 335, 450 Hz 톤(선 높이 0.5, 0.6, 0.25, 0.2, 0.15)을 4차 Butterworth 저역 통과 필터(f_co = 50 Hz)에 넣었고, 이 그림은 위상 ∠H를 그리지 않는다. y(t)의 초록 실선은 시간에서 계산한 x(t) * h(t), 점선은 Y의 선으로 만든 정상 상태 정현파이다.

해 보기

$f_{co}=100$ Hz이면 50 Hz와 175 Hz 성분이 각각 얼마나 남는지 확인하라.
관찰
50 Hz에서 $|H|$ 가 1에 가까워 선이 거의 그대로 0.499로 내려앉는다. 175 Hz에서는 $|H|=0.106$ 이라 0.6이던 선이 $|H|$ 줄을 지나며 0.064로 줄어든다.
$f_{co}=200$ Hz이면 225 Hz와 450 Hz 성분이 각각 얼마나 남는지 확인하라.
관찰
50 Hz와 175 Hz가 거의 그대로 지나가고( $|H|$ 1.00, 0.86), 225 Hz는 $|H|=0.53$ 으로 절반쯤 남는다. 450 Hz는 $|H|=0.039$ 로 거의 사라진다.
같은 $f_{co}=50$ Hz의 1차 RC 필터에서 175 Hz 성분이 얼마나 남는지 4차 필터와 비교하라.
관찰
50 Hz의 $|H|=0.707$ 은 4차와 같다. 그러나 $f_{co}$ 위에서 천천히 줄어들어 175 Hz에서 $|H|=0.275$ 이고, 선이 0.165로 남는다. 차수가 높을수록 $f_{co}$ 위의 성분을 빨리 없앤다.

시간에서 $y(t)=x(t)*h(t)$ 를 계산해도 같은 결과가 나온다. 출력은 시작 뒤 약 40 ms의 과도 구간을 지나 50 Hz 한 성분의 정현파가 된다.

같은 필터를 시간에서 보면 입력 $x(t)$ 와 필터의 $h(t)$ 를 컨볼루션한 것이 출력 $y(t)$ 이고, 위 그림의 마지막 단계가 그것이다. $y(t)$ 의 실선은 처음 몇십 ms 동안 $Y$ 의 선으로 만든 정상 상태 정현파(점선)와 어긋나다가 42 ms(세로 점선)부터 0.01 안에서 겹치고, 겹친 뒤의 파형은 입력의 50 Hz 톤과 주기가 같다.

다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. "LTI 시스템의 출력에는 입력에 없던 주파수 성분이 새로 생길 수 있다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 $Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)$ 이다. $X(\omega)=0$ 인 주파수에서는 $H$ 가 무엇이든 $Y(\omega)=0$ 이다.

출력 스펙트럼은 주파수마다 입력 스펙트럼에 $H(\omega)$ 를 곱한 것이다. LTI 시스템은 입력에 있는 성분의 크기와 위상만 바꾸고, 없는 성분을 만들지 못한다. 예제 2에서 $Y$ 의 선이 모두 입력의 다섯 주파수에만 선 것도 이 때문이다.