정리·개념 확인 · 6장 푸리에 변환

정리

주기 $T$ 를 끝없이 늘린 극한에서 급수의 합이 적분이 되어 변환 쌍 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt$ , $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega$ 를 얻는다. $\int|x(t)|\,dt<\infty$ 이면 $X(\omega)$ 가 존재한다.
폭 $\tau$ 인 사각 펄스는 $\operatorname{rect}(t/\tau)\leftrightarrow\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2\pi)$ 이고, 첫 영점 $1/\tau$ Hz는 폭이 짧을수록 멀어진다.
임펄스는 모든 주파수를 고르게 담고( $\delta(t)\leftrightarrow1$ ), 복소 지수는 한 주파수에만 선다( $e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ ). 간격 $T$ 인 임펄스열은 간격 $2\pi/T$ rad/s인 임펄스열이 된다.
시간 이동은 $e^{-j\omega t_0}$ 를 곱해 위상만 바꾸고, 미분은 $j\omega$ 를 곱한다. 실수 신호에서는 $X(-\omega)=\overline{X(\omega)}$ 이다.
컨볼루션은 곱이 된다: $x(t)*h(t)\leftrightarrow X(\omega)H(\omega)$ . 실수 LTI 시스템에 넣은 $\cos\omega_1 t$ 는 정상 상태에서 진폭이 $|H(\omega_1)|$ 배, 위상이 $\angle H(\omega_1)$ 만큼 바뀐다.

임펄스열 쌍에서 샘플링이 spectral replica( $f_s$ 마다 되풀이되는 스펙트럼)를 만든다는 결과가 나오고, 샘플 $N$ 개로 스펙트럼을 계산하는 DFT로 이어진다(7장).

개념 확인

1. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하라. "신호를 3 s 늦추면 $|X(\omega)|$ 도 바뀐다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 지연은 $|e^{-j3\omega}|=1$ 인 값을 곱할 뿐이다. 크기는 그대로이고 위상만 바뀐다.

지연은 $e^{-j3\omega}$ 를 곱하므로 위상에 $-3\omega$ 가 더해질 뿐 크기는 그대로이다.

2. 다음 가운데 $x(t)=e^{-4t}u(t)$ 의 푸리에 변환을 고르라.

(가) $\dfrac{4}{16+\omega^2}$
(나) $\dfrac{2\sin4\omega}{\omega}$
(다) $\dfrac{1}{4+j\omega}$
(라) $\dfrac{1}{4-j\omega}$

풀이

답 (다) $\dfrac{1}{4+j\omega}$

(가) 실수 짝함수 $\tfrac12e^{-4|t|}$ 의 변환이다. 단측 지수의 변환은 $j\omega$ 가 들어간 복소수이다.
(나) 폭 8인 사각 펄스의 변환이다.
(라) 정의식의 지수는 $e^{-j\omega t}$ 이다. 적분하면 분모가 $4+j\omega$ 가 된다.

변환은 $\dfrac{1}{4+j\omega}$ 이다. $X(0)=1/4$ 이고, $\omega=4$ rad/s에서 위상은 $-\arctan(4/4)=-45°$ 이다. $\dfrac{4}{16+\omega^2}$ 는 실수 짝함수 $\tfrac12e^{-4|t|}$ 의 변환이라 실수이고, 단측 지수의 변환은 $j\omega$ 가 들어간 복소수이다.

3. $y(t)=u(t-1)-u(t+1)$ 의 변환 $Y(\omega)$ 를 고르라.

(가) $-\dfrac{2\sin\omega}{\omega}$
(나) $\dfrac{\sin\omega}{\omega}$
(다) $\dfrac{2\sin\omega}{\omega}$
(라) $-\dfrac{2\sin2\omega}{\omega}$

풀이

답 (가) $-\dfrac{2\sin\omega}{\omega}$

(나) 펄스의 폭은 2이다. 폭 2인 펄스의 변환은 $2\sin\omega/\omega$ 이다.
(다) 먼저 켜지는 계단은 $u(t+1)$ 이다. 이 $y$ 는 나중 계단에서 먼저 켜진 계단을 빼서 $-1<t<1$ 에서 $-1$ 이다.
(라) $\operatorname{rect}(t/\tau)\leftrightarrow2\sin(\omega\tau/2)/\omega$ 에서 $\tau=2$ 이면 $\sin\omega$ 이다.

$-1<t<1$ 에서 $u(t-1)=0$ , $u(t+1)=1$ 이므로 $y=-1$ 이고, $y=-\operatorname{rect}(t/2)$ 이다. 따라서 $Y(\omega)=-\dfrac{2\sin\omega}{\omega}$ 이다. 폭 2인 펄스는 $\operatorname{rect}(t/2)=u(t+1)-u(t-1)$ 처럼 먼저 켜지는 계단에서 나중 계단을 빼야 양수가 된다. 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다.

4. $|\omega|<5$ rad/s에서 $X(\omega)=1$ 이고 그 밖에서 0이다. $t>0$ 에서 $x(t)$ 의 첫 영점을 구하라.

풀이

답 π/5 s

힌트 표의 6번 쌍에서 $\omega_B=5$ 이다.

$x(t)=\dfrac{\sin5t}{\pi t}$ 이다. 첫 영점은 $5t=\pi$ , 곧 $t=\pi/5\approx0.63$ s이다.

5. 4번과 같은 $X(\omega)$ 에 대해 $x(0)$ 을 구하라.

풀이

답 5/π

힌트 역변환식에 $t=0$ 을 넣으면 $x(0)=\frac{1}{2\pi}\int X(\omega)\,d\omega$ , 곧 $X$ 아래 면적을 $2\pi$ 로 나눈 값이다.

$x(0)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-5}^{5}1\,d\omega=\dfrac{10}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}\approx1.59$ 이다. $x(t)=\sin(5t)/(\pi t)$ 에서 $t\to0$ 으로 보내도 $\sin5t\approx5t$ 라서 같은 값이다. 역변환의 $1/2\pi$ 를 빠뜨리면 10이 나온다.

6. 간격 $T=0.25$ s인 임펄스열 $\sum_n\delta(t-0.25n)$ 의 스펙트럼 $X(\omega)$ 에서 선 간격과 각 선의 면적을 고르라.

(가) 간격 $0.25$ Hz, 면적 $8\pi$
(나) 간격 $8\pi$ rad/s(4 Hz), 면적 $8\pi$
(다) 간격 $2\pi$ rad/s(1 Hz), 면적 $2\pi$
(라) 간격 $8\pi$ rad/s(4 Hz), 면적 4

풀이

답 (나) 간격 $8\pi$ rad/s(4 Hz), 면적 $8\pi$

(가) 시간 간격 $T$ 가 성길수록 주파수 간격은 촘촘해진다. 주파수 간격은 $1/T$ Hz이다.
(다) 표의 쌍은 $\omega_0=2\pi/T$ 를 쓴다. $T=0.25$ s이면 $8\pi$ rad/s이다.
(라) 4는 Hz 축의 $X(f)$ 로 그렸을 때의 면적 $1/T$ 이다. $X(\omega)$ 에서는 $2\pi/T$ 이다.

간격은 $2\pi/T=8\pi$ rad/s, 곧 4 Hz이고 $X(\omega)$ 에서 각 선의 면적은 $2\pi/T=8\pi$ 이다. Hz 축의 $X(f)$ 로 그리면 $d\omega=2\pi\,df$ 라서 각 선의 면적은 $1/T=4$ 가 된다.

7. $h(t)=3e^{-3t}u(t)$ 인 시스템에 $\cos3t$ 를 넣었다. 정상 상태 출력의 진폭과 위상을 고르라.

(가) 진폭 0.5, 위상 −45°
(나) 진폭 $1/\sqrt2\approx0.707$ , 위상 −45°
(다) 진폭 $1/\sqrt2\approx0.707$ , 위상 +45°
(라) 진폭 1, 위상 −45°

풀이

답 (나) 진폭 $1/\sqrt2\approx0.707$ , 위상 −45°

(가) $|H|^2$ 를 계산했다. 진폭 배율은 $|H(3)|=3/\sqrt{18}$ 이다.
(다) $H(3)=3/(3+j3)$ 의 위상은 $-\arctan(3/3)$ 이다. 저역 통과 시스템은 출력을 늦춘다.
(라) 입력 주파수 $\omega=3$ 이 $a=3$ 과 같아 크기가 $1/\sqrt2$ 로 줄어든다.

$H(\omega)=\dfrac{3}{3+j\omega}$ 이고 $H(3)=\dfrac{3}{3+j3}$ 이다. 진폭은 $1/\sqrt2\approx0.707$ , 위상은 −45°이다. 곧 $y(t)\approx0.707\cos(3t-45°)$ 이다.

8. 폭 1인 펄스 두 개로 된 $x(t)=\operatorname{rect}(t-1)-\operatorname{rect}(t+1)$ 에 대해, 다음 가운데 $x(t)$ 의 푸리에 변환을 고르라.

(가) $2\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)\cos\omega$
(나) $-2j\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)\sin\omega$
(다) $2\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)$
(라) $\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)e^{-j\omega}$

풀이

답 (나) $-2j\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)\sin\omega$

(가) 두 펄스의 부호가 같을 때의 변환이다. 부호가 반대이면 $e^{-j\omega}-e^{j\omega}=-2j\sin\omega$ 로 묶인다.
(다) 지연을 빠뜨렸다. 중심 $\pm1$ 만큼 옮긴 펄스는 $e^{\mp j\omega}$ 를 곱한다.
(라) 오른쪽 펄스 하나의 변환이다. 왼쪽 펄스를 빼는 항이 빠졌다.

$\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)\,(e^{-j\omega}-e^{j\omega})=-2j\operatorname{sinc}(\omega/2\pi)\sin\omega$ 이다. $x$ 는 실수 홀함수이므로 변환이 순허수 홀함수라는 것과도 맞는다.

9. $x(t)=\operatorname{rect}(t/2)\cos(20t)$ 의 크기 스펙트럼에서 피크가 서는 자리와 높이를 고르라.

(가) $\omega=\pm20$ rad/s, 높이 약 1
(나) $\omega=\pm20$ rad/s, 높이 약 2
(다) $f=\pm20$ Hz, 높이 약 1
(라) $\omega=20$ rad/s 한 곳, 높이 약 2

풀이

답 (가) $\omega=\pm20$ rad/s, 높이 약 1

(나) 코사인을 곱하면 스펙트럼이 절반씩 양쪽으로 옮겨 간다. $X(0)=2$ 의 절반이다.
(다) $\cos(20t)$ 의 20은 각주파수(rad/s)이다. Hz로 쓰면 $20/2\pi\approx3.2$ Hz이다.
(라) 실수 코사인은 반대로 도는 두 회전의 합이라 $-20$ rad/s에도 복사본이 선다.

$\omega=\pm20$ rad/s에 선다. $\operatorname{rect}(t/2)$ 의 변환은 $X(0)=2$ 이고 코사인을 곱하면 절반씩 옮겨 가므로 각 피크 높이는 약 1이다. 반대쪽 복사본의 꼬리가 조금 겹쳐 정확히 1은 아니다.

정리

개념 확인

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