행렬과 가역성

샘플 $N$개에 작용하는 선형 시스템을 숫자 표 하나로 적을 수 있을까? 그 표를 보고 출력에서 입력을 되찾을 수 있는지도 알 수 있을까?

행렬로 쓴 시스템

이산 신호 $N$개 샘플은 길이 $N$인 벡터이다. 입력 샘플 $N$개를 출력 샘플 $M$개로 보내는 선형 시스템은 $M\times N$ 행렬 하나로 나타나며, 출력 길이도 $N$이면 $N\times N$이다. $k$번째 원소만 1이고 나머지는 0인 단위벡터 $e_k$로 입력을 $x=\sum_k x[k]e_k$라 쓰면, 선형성에 따라 출력은 $\sum_k x[k]\mathcal H\{e_k\}$이다. 따라서 길이 $M$인 응답 $\mathcal H\{e_k\}$를 열 $k$에 놓은 행렬이 모든 입력의 출력을 계산한다.

현재 샘플에서 바로 전 샘플을 빼는 차분 시스템이 그 예이다.

입력은 $n=0$ 전에는 0이라고 둔다($x[-1]=0$). 그러면 $y[0]=x[0]$, $y[1]=x[1]-x[0]$, $y[2]=x[2]-x[1]$, … 이고, $N=4$일 때 행렬로 옮기면 다음과 같다.

이 행렬을 $H$라고 쓰면 $y=Hx$이다. 일반적인 $N$에서도 대각선은 1, 바로 아래 원소는 −1, 나머지는 0이다. 벡터의 마지막 원소는 $y[N-1]$, $x[N-1]$이다.

행렬은 두 방향으로 해석한다. 행 $n$은 출력 $y[n]$ 하나를 만들 때 어떤 입력에 어떤 가중치를 곱하는지 보여 준다. $(n-1)$열에 −1, $n$열에 1이 있다. 열 $k$는 입력 샘플 $x[k]$ 하나가 출력의 어디로 퍼지는지 보여 준다. $k$행에 1, $(k+1)$행에 −1이 있으므로, $k$에 놓인 임펄스의 응답 $[1,-1]$을 $k$만큼 옮긴 것이다. 이 시스템은 시불변이므로 모든 행이 같은 무늬를 한 열씩 옮긴 모양이다. 선형이지만 시변인 시스템도 행렬로 쓸 수 있고, 그때는 행마다 무늬가 다르다. $y[n]=x[n]^2$처럼 비선형인 시스템은 행렬로 쓸 수 없다.

예를 들어 $x=[1,\ 1.5,\ 1.5,\ 0.5]$이면 $y=[1,\ 0.5,\ 0,\ -1]$이다. $x[2]=x[1]$이라 입력이 변하지 않은 $n=2$에서 출력이 0이 된다. 차분 시스템은 변화를 재는 시스템이다.

$N\times N$ 행렬은 출력의 처음 $N$개만 담는다. 마지막 입력 $x[N-1]$은 샘플 하나 뒤의 $y[N]=-x[N-1]$에도 영향을 주므로, 출력을 끝까지 담으려면 $(N+1)\times N$ 행렬이 필요하다.

위 예를 $5\times4$ 행렬로 계산하면 행 $n=2$는 $[0,\,-1,\,1,\,0]$이고, 그 행과 $x$의 곱의 합이 $y[2]=0$이다. 열로 보면 입력 샘플 $x[k]$ 하나가 출력에 남기는 몫(열 $k$)을 모두 더한 것이 출력이고, $n=2$ 자리에서는 $x[1]$의 몫 $-1.5$와 $x[2]$의 몫 $1.5$가 서로 지운다. 그림의 표가 $y=Hx$이고, '입력 쪽 · 열 k'의 줄들이 열마다의 몫, 그 아래 '합 y[n]'이 몫을 모두 더한 출력이다. 그림에서 $n$을 옮기거나 재생을 누르면 표의 행 하나와 그 행이 만든 $y[n]$이 함께 강조되고, 그 행의 곱과 합이 표 아래 식에 적힌다.

차분 시스템의 y = Hx이다. 표의 칸은 원소 H[n,k]를 스템으로 그린 것으로, 위로 서면 양수, 아래로 서면 음수이고 길이가 크기이며, 값은 표 아래 식에 적힌다.

가역성

어떤 시스템은 뒤에 다른 시스템을 붙여 입력을 되돌릴 수 있고, 어떤 시스템은 그럴 수 없다. 둘은 무엇이 다를까?

가역 시스템은 출력에서 입력을 되찾을 수 있다. 시스템 $\mathcal H$ 뒤에 $\mathcal H^{-1}$을 이어 붙였을 때 입력이 그대로 나오면 $\mathcal H^{-1}$을 $\mathcal H$의 역시스템이라고 한다. $\mathcal H^{-1}\mathcal H$가 항등 시스템($y=x$)이 된다.

역시스템이 있으려면 서로 다른 입력이 늘 서로 다른 출력을 내야 한다. $y(t)=2x(t)$는 $x(t)=y(t)/2$로 되돌릴 수 있다. $y(t)=x(t)^2$는 $x$와 $-x$가 같은 출력을 내므로 되돌릴 수 없다.

행렬로 쓴 시스템에서는 역행렬이 곧 역시스템이다. 정사각 행렬 $A$의 역행렬은 $\det A\neq0$일 때 있다. 차분 시스템의 행렬 $H$는 대각선과 그 아래만 채워진 삼각 행렬이라 행렬식이 대각 원소의 곱 $1$이다. 따라서 가역이고, 역시스템은 누적 합이다.

직접 확인해 보기. $N=4$ 차분 행렬의 역행렬을 구하고, 곱하면 단위행렬이 되는지 확인하라.

행렬 $\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$는 역행렬이 없다. 행렬식을 계산하면 $1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=-3+12-9=0$이다. 실제로 입력 $[1,-2,1]$을 넣으면 출력이 $[0,0,0]$이어서, 0을 넣었을 때와 구별할 수 없다.