시불변성

같은 입력을 지금 넣든 1초 뒤에 넣든, 출력은 같은 모양으로 나올까?

시불변 시스템은 시간이 흘러도 성질이 바뀌지 않는다. 입력 $x(t)$ 의 출력이 $y(t)$ 라면, 입력을 $t_0$ 만큼 늦춘 $x(t-t_0)$ 의 출력은 $y(t-t_0)$ 이다. 모든 입력과 모든 $t_0$ 에서 이 관계가 성립해야 한다.

판정은 두 경로를 비교해서 한다. 위 경로는 시스템을 먼저 거치고 출력을 늦춘다. 아래 경로는 입력을 먼저 늦추고 시스템에 넣는다.

\begin{aligned} &x(t)\xrightarrow{\ \mathcal H\ }y(t)\xrightarrow{\ \text{지연 }t_0\ }y(t-t_0)\\ &x(t)\xrightarrow{\ \text{지연 }t_0\ }x(t-t_0)\xrightarrow{\ \mathcal H\ }w(t) \end{aligned}

두 결과가 같으면( $w(t)=y(t-t_0)$ ) 시불변이다. 식으로 판정할 때는 순서를 지킨다.

$w(t)$ : 늦춘 입력 $x_1(t)=x(t-t_0)$ 을 시스템에 넣는다. 시스템 식이 $x(\square)$ 를 쓰는 자리마다 $x(\square-t_0)$ 로 쓴다. 괄호 안의 식 전체에서 $t_0$ 를 빼는 것이지, 괄호 안의 $t$ 마다 $t-t_0$ 를 넣는 것이 아니다. 식에 따로 드러난 $t$ 는 그대로 둔다.
$y(t-t_0)$ : 출력 식의 모든 $t$ 를 $t-t_0$ 로 바꾼다.
둘을 비교한다. 시스템 식에 $t$ 가 입력 밖에 따로 나타나면 대개 시변이다. $x(2t)$ , $x(-t)$ 처럼 $x(\cdot)$ 안에서 시간을 늘이거나 줄이거나 뒤집는 시스템도 시변이다.

첫 단계에서 흔히 틀리는 곳이 시간 압축이다. $y(t)=x(2t)$ 는 입력을 두 배 빠르게 재생하는 시스템이다.

\begin{aligned} w(t)&=x_1(2t)=x(2t-t_0)\\ y(t-t_0)&=x\big(2(t-t_0)\big)=x(2t-2t_0) \end{aligned}

둘이 다르므로 시변이다. $w(t)=x\big(2(t-t_0/2)\big)=y(t-t_0/2)$ 이므로, 입력을 $t_0$ 만큼 늦추면 출력은 $t_0/2$ 만큼만 늦어진다. 괄호 안의 $t$ 를 $t-t_0$ 로 바꾸면 $w(t)$ 자리에 $x(2(t-t_0))$ 가 나와 $y(t-t_0)$ 와 같아 보이므로 시불변이라는 잘못된 답에 이른다. $y(t)=x(-t)$ 도 같다. $w(t)=x(-t-t_0)$ 이지만 $y(t-t_0)=x(-t+t_0)$ 이어서, 입력을 늦추면 출력은 오히려 앞당겨진다.

직접 판정해 보기. Q1 $y(t)=\cos\big(x(t)\big)$ , Q2 $y(t)=x(t)\cos t$ 가 시불변인지 판단하라. 선형인지도 함께 판단하라.

풀이

Q1 $y(t)=\cos\big(x(t)\big)$

늦춘 입력의 출력: $w(t)=\cos\big(x(t-t_0)\big)$ .
늦춘 출력: $y(t-t_0)=\cos\big(x(t-t_0)\big)$ .
둘이 같으므로 시불변이다. 선형은 아니다. $x=0$ 을 넣으면 출력이 $\cos0=1$ 이다.

Q2 $y(t)=x(t)\cos t$

늦춘 입력의 출력: $w(t)=x(t-t_0)\cos t$ .
늦춘 출력: $y(t-t_0)=x(t-t_0)\cos(t-t_0)$ .
$\cos t\neq\cos(t-t_0)$ 이므로 시변이다. 예를 들어 $x(t)=1$ , $t_0=\pi$ 이면 $w(t)=\cos t$ 이지만 $y(t-\pi)=-\cos t$ 이다. 곱하는 $\cos t$ 가 입력과 상관없이 시계처럼 흘러가기 때문이다. 선형이기는 하다. $\big(\alpha x_1+\beta x_2\big)\cos t=\alpha x_1\cos t+\beta x_2\cos t$ .

두 문제에서 보듯 선형성과 시불변성은 서로 독립인 성질이다. Q1은 시불변이지만 비선형이고, Q2는 선형이지만 시변이다.

두 경로를 그래프로 겹쳐 보면 $y(t)=x(2t)$ , $t_0=1.5$ s에서 $w(t)$ 는 $y(t-t_0)$ 와 겹치지 않는다. $t_0$ 를 늘리면 $w(t)$ 는 $y(t-t_0)$ 의 절반만 움직인다.

입력 x(t)는 0.5 s 동안 1.5까지 오르고 1 s 동안 0으로 내려가는 삼각 펄스로, 오르는 쪽과 내려가는 쪽의 기울기가 달라 시간을 뒤집거나 압축하면 모양에 드러난다. 가운데 줄은 두 입력 x(t)와 x(t − t₀)를 각각 시스템에 넣은 출력 y(t)와 w(t)이고, 아래 줄은 ① 넣고 늦추기의 y(t − t₀)(굵은 띠)와 ② 늦추고 넣기의 w(t)(가는 선)를 겹치고 둘의 차이를 칠하며, t₀는 0부터 2.5 s까지 0.25 s 간격이다.

해 보기

$y(t)=x(t-1)$ 에서 $t_0$ 가 커져도 두 곡선이 겹치는지 확인하라.
관찰
$t_0$ 가 커져도 두 곡선이 계속 겹친다. 지연 시스템은 시불변이다.
Q1의 $\cos\big(x(t)\big)$ 에서 두 경로의 출력이 파이는 시각을 비교하라.
관찰
입력이 0인 곳의 출력이 1이라 선은 1 근처에 있지만, 파인 자리가 두 경로에서 같은 시각에 온다. 시불변이다.
Q2의 $x(t)\cos t$ 에서 $w(t)$ 와 $y(t-t_0)$ 가 같은 모양인지 확인하라.
관찰
늦춘 입력은 같지만 곱하는 $\cos t$ 는 늦춰지지 않아서 $w(t)$ 의 모양이 $y(t-t_0)$ 와 다르다. 시변이다.

Q1과 Q2의 선형성도 같은 방법으로 확인할 수 있다. 입력 두 개를 먼저 더해 넣은 출력 $\mathcal H\{\alpha x_1+\beta x_2\}$ 와, 따로 넣은 출력을 더한 $\alpha\mathcal H\{x_1\}+\beta\mathcal H\{x_2\}$ 가 모든 $\alpha$ , $\beta$ 에서 같아야 선형이다. Q1의 $\cos\big(x(t)\big)$ 는 시불변성 판정에서는 두 곡선이 겹쳤지만, 선형성 판정에서는 두 곡선이 어긋난다.

x₁은 위 그림의 삼각 펄스이고, x₂는 1–3 s에서 높이 1까지 올랐다 내려오는 매끄러운 언덕이다. 위 줄은 x₁, x₂와 그 합 αx₁ + βx₂이고, 아래 줄은 두 경로의 출력을 겹치고 차이를 칠하며, α와 β는 −1부터 2까지 0.5 간격이다.

해 보기

Q2의 $x(t)\cos t$ 에서 $\alpha=2$ , $\beta=-1$ 일 때 두 곡선이 겹치는지 확인하라.
관찰
두 곡선이 겹친다. 시변이지만 선형이다.
$\cos\big(x(t)\big)$ 에서 $\alpha=\beta=0$ 이면 두 경로의 출력이 각각 얼마인지 확인하라.
관찰
입력이 0인데 ① 더하고 넣기의 출력은 $\cos 0=1$ 이고 ② 넣고 더하기의 출력은 0이다. 입력이 0일 때 출력이 0이 아니면 선형이 아니다.
$y(t)=x(2t)$ 에서 두 곡선이 겹치는지 보고, 시불변성 그림의 결과와 비교하라.
관찰
두 곡선이 겹친다. 시불변성 그림에서는 시변이었지만 선형이다.

시불변인 시스템을 모두 고르라.

(가) $y(t)=t\,x(t)$
(나) $y(t)=x(t/2)$
(다) $y(t)=x(t)+x(t-1)$
(라) $y(t)=x(t)^2$

풀이

답 (다) $y(t)=x(t)+x(t-1)$ , (라) $y(t)=x(t)^2$

(가) 곱하는 $t$ 는 입력을 늦춰도 늦춰지지 않는다. $w(t)=t\,x(t-t_0)$ 이지만 $y(t-t_0)=(t-t_0)\,x(t-t_0)$ 이다.
(나) $w(t)=x(t/2-t_0)=y(t-2t_0)$ 이다. 입력을 $t_0$ 늦추면 출력은 $2t_0$ 늦어진다.

$x(\square)$ 를 $x(\square-t_0)$ 로 바꾼 $w(t)$ 와, 출력 식의 모든 $t$ 를 $t-t_0$ 로 바꾼 $y(t-t_0)$ 를 비교한다. $x(t)+x(t-1)$ 은 $w(t)=x(t-t_0)+x(t-1-t_0)=y(t-t_0)$ 이고, $x(t)^2$ 은 $w(t)=x(t-t_0)^2=y(t-t_0)$ 이다. $x(t)^2$ 은 비선형이지만 시불변이다.

그림은 $y(t)=x(2t)$ 에서 시작한다. $t_0=1.5$ s에서 ① 넣고 늦추기와 ② 늦추고 넣기가 겹치는 시스템을 하나 고르라.

풀이

답 $y(t)=x(t-1)$ 또는 $y(t)=\cos\big(x(t)\big)$

힌트 식에 $t$ 가 입력 밖에 따로 있거나, $x(\cdot)$ 안에서 시간을 늘이거나 뒤집는 시스템은 시변이다.

두 시스템은 식에 $t$ 가 $x(\cdot)$ 의 인자로만 들어 있고 그 인자가 $t$ 에 상수를 더하거나 뺀 꼴이라 시불변이다. $x(2t)$ 는 출력이 $t_0/2$ 만, $x(-t)$ 는 반대 방향으로 움직이고, $x(t)\cos t$ 는 곱하는 $\cos t$ 가 늦춰지지 않아 모양이 달라진다.