직교 기저

벡터의 좌표는 내적으로 구한다. 신호의 계수도 같은 방법으로 구할 수 있을까? 그렇다면 기저는 어떤 성질을 가져야 할까?

직교 기저로 나누기

평면의 점 $P=(3,2)$는 $P=3\mathbf e_1+2\mathbf e_2$이다. 좌표 3과 2는 $P$를 $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$ 방향으로 투영한 길이이고, 두 기저가 서로 직각이며 길이가 1이기 때문에 내적 $P\cdot\mathbf e_1$, $P\cdot\mathbf e_2$가 곧 좌표가 된다.

그림은 두 계산을 한 평면에 겹쳐 그린다. 좌표는 원점에서 $\mathbf e_1$ 방향으로 $c_1$, 이어서 $\mathbf e_2$ 방향으로 $c_2$만큼 걸어 $P$에 닿는 두 화살표이고, 내적은 $P$에서 각 기저 방향으로 내린 수선의 발이다. 표준 기저에서는 $P$가 어디에 있든 평행사변형의 꼭짓점과 수선의 발이 같은 점이다.

점 P = (3, 2)의 좌표 cᵢ와 내적 ⟨P, eᵢ⟩를 표에 나란히 적고, 극좌표 그림은 같은 점을 r과 θ로 나타낸다. 기울어진 기저는 e₁–e₂ 각이 60°인 길이 1의 두 벡터이다.

신호도 같은 방식으로 쓴다. 구간 $[0,3)$에서 정의한 신호 $x_1(t)$가 $[0,1)$에서 2, $[1,2)$에서 0, $[2,3)$에서 1이라고 하자. 폭 1, 높이 1인 사각 펄스 $\phi_1,\phi_2,\phi_3$($\phi_i(t)$는 $[i-1,i)$에서 1, 나머지에서 0)를 기저로 잡으면 다음과 같다. 세 계수를 모은 [2 0 1]이 $x_1(t)$의 좌표이다.

벡터의 내적은 같은 자리의 성분을 곱해 더한다. 함수에서는 같은 시각의 값을 곱해 적분한다. 4장에서는 복소 신호의 내적을 켤레를 붙여 정의했는데, 여기서 쓰는 사각 펄스는 실수라서 켤레가 필요 없다.

세 사각 펄스는 서로 겹치지 않으므로 $i\ne j$이면 $\langle\phi_i,\phi_j\rangle=0$이고, 자기 자신과의 내적은 $\int_0^1 1\,dt=1$이다. 즉 정규직교(orthonormal) 기저이다. 그래서 계수는 내적 한 번으로 나온다.

"원래 함수 = 계수 × 직교 함수의 합"은 행렬 곱과 같은 구조이다. 기저 함수를 열로 세운 행렬에 계수 벡터를 곱하면 신호가 되고, 거꾸로 신호와 각 기저의 내적을 모으면 계수 벡터가 된다. 푸리에 급수는 기저를 사각 펄스 대신 정현파로 바꾼 같은 계산이다.

그림은 같은 계산을 신호 $x_1(t)$에 한다. 큰 그림은 $x_1(t)$와, 계수를 곱한 세 사각 펄스이다. 작은 그림 셋은 곱 $x_1(t)\phi_i(t)$와 그 면적, 곧 내적이다. 세 면적은 계수 [2 0 1]과 같고, 계수 하나를 바꾸면 그 곱의 면적만 바뀐다. 서로 겹치는 사각 펄스 $\psi_i$를 기저로 쓰고 x를 [1 2 3]으로 두면, 이 기저는 직교하지 않아 좌표 [−1 −1.414 5.196]과 내적 [1 2.121 3.464]가 모두 다르다.

x의 계수 1–3이 사각 펄스의 높이이고, 작은 그림 셋은 곱 x(t)φᵢ(t)와 그 면적, 곧 내적 ⟨x, φᵢ⟩이다.

직교와 정규직교

두 벡터의 내적이 0이면 직교이다. 4장에서 곱의 적분이 0인 두 함수를 직교한다고 한 것과 같은 뜻이다. 길이는 상관없다. 직교하면서 두 벡터의 길이가 모두 1이면 정규직교이다. 서로 수직인 길이 2와 0.5의 두 벡터는 직교하지만 정규직교는 아니다. 둘을 각자의 길이로 나누면 단위원 위의 정규직교 쌍이 된다.

그림은 기준 $\mathbf a$와 벡터 $\mathbf b$의 내적 $D$와, $\mathbf b$를 $\mathbf a$ 방향으로 투영한 길이 $s=D/\lvert a\rvert$를 함께 계산한다. 처음에는 $\lvert a\rvert=\lvert b\rvert=2$이고 두 벡터 사이 각은 $\theta=55^\circ$이다. $\theta$가 $\pm90^\circ$를 지나면 초록 투영 화살표가 $\mathbf a$와 같은 쪽에서 반대쪽으로 넘어간다.

셋째 줄은 두 좌표의 곱을 그대로 더한다(처음 상태 2·1.147 + 0·1.638 ≈ 2.294).

선형대수의 직교 행렬(orthogonal matrix)은 $A^{\mathsf T}=A^{-1}$, 즉 $A^{\mathsf T}A=AA^{\mathsf T}=I$인 정사각 행렬이다. 이름은 "직교"지만 이 조건은 열들이 정규직교일 때 성립한다. 열 $\mathbf u=(2,1)$, $\mathbf v=(-0.5,1)$은 $\mathbf u\cdot\mathbf v=0$으로 직교하지만, 이 둘을 열로 세운 $A$는 $A^{\mathsf T}A=\operatorname{diag}(5,\;1.25)\ne I$이다. 대각선에 남는 값이 각 열의 길이 제곱이다.

함수에서도 같은 구분이 나온다. 구간 $[0,L]$에서 사인 함수들을 비교하면 다음과 같다.

여기서 $n,m=1,2,3,\dots$이다. 차수가 다르면 적분이 0이므로 직교한다. 같은 차수끼리의 적분(함수의 길이 제곱)은 $L/2$라서 1이 아니다. 직교하지만 정규직교는 아닌 기저이다. 이런 기저로 계수를 구할 때는 내적을 길이 제곱으로 나눈다. 뒤에 나올 계수 공식의 $1/\pi$, $1/(2\pi)$가 이 나눗셈이다.

이 결과에는 조건이 있다. 차수 $n,m$이 정수이고, 두 함수가 모두 사인이고, 구간이 $[0,L]$일 때이다. 4장에서 본 반 주기 사인의 직교성과 같은 결과이다. 사인과 코사인을 섞으면 같은 구간에서 0이 되지 않을 수 있다.

두 함수에 공통인 한 주기 $[0,2L]$ 전체에서 적분하면 0이 된다. 4장에서 본 대로, 서로 다른 정수 차수의 정현파는 공통 주기 전체에서 직교한다. 아무 구간에서나 직교하는 것은 아니다.

곱을 차·합 주파수로 나눌 때는 $\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$와 4장에서 쓴 사인·코사인의 곱 공식을 쓴다.

그림은 입력 $x(t)=\cos 2\pi ft$ 하나를 기준 $\cos 2\pi kt$, $-\sin 2\pi kt$와 같은 시각끼리 곱해 구간 $[a,a+L]$에서 평균한다. 두 평균이 복소 계수 $c$의 실수부와 허수부이다. 곱 그래프 아래의 두 줄은 그 곱을 차 주파수 $f-k$와 합 주파수 $f+k$의 정현파로 나눈 것이고, 두 줄의 면적을 더하면 곱의 면적이 된다. 처음 상태는 $f=1.5$ Hz, $k=1$ Hz, $a=0$, $L=1$ s이다.

두 곱과 그 성분의 부호 있는 면적을 색으로 칠하고, 두 평균을 복소평면의 한 점 c로 모은다. 성분 줄의 회색 점선은 ±A/2(입력 진폭의 절반)이고, 검정 점선은 평균이다.

두 곱은 차 주파수 $f-k$와 합 주파수 $f+k$의 정현파로 나뉜다. $f\ne k$일 때 구간 안에서 두 주파수가 모두 정수 번 돌면 구간이 어디서 시작하든 면적이 상쇄되어 $c=0$이 보장된다. 이를 정하는 것은 입력 자체의 주기 수가 아니라 차·합 주파수의 주기 수이다.

처음 상태에서는 1 s 동안 0.5번, 2.5번이라 그 보장이 없다. $a=0$이면 cos 곱의 두 항은 마루에서 시작한 코사인이 반 주기의 정수배만큼 도는 것이라 면적이 0이 된다. $-\sin$ 곱의 두 항은 0에서 시작한 사인이 반 주기를 홀수 번 돌아 한쪽 부호의 면적이 남는다. 그래서 cos 평균은 0이고 $-\sin$ 평균 0.255만 남는다($c=j0.255$). 이 cos 평균의 상쇄는 시작점이 달라지면 유지되지 않을 수 있다.

$f=k$이고 공통 주기 전체에서 평균하면 $\cos^2(2\pi ft)=\tfrac12[1+\cos(4\pi ft)]$의 진동 항은 사라지고 상수 $1/2$만 남는다. 같은 정현파끼리 곱한 평균이 1이 아닌 $1/2$인 것은 이 기저가 직교하지만 정규직교는 아니기 때문이다.