신호의 분류

신호를 다룰 때 먼저 무엇을 물어야 할까? 값이 몇 가지인지, 시간축이 연속인지, 모양이 되풀이되는지, 좌우 대칭인지, 어느 쪽 시간에서 0인지를 차례로 묻는다.

아날로그 신호와 디지털 신호

신호 값이 어떤 범위 안의 모든 값을 가질 수 있으면 아날로그 신호(analog signal), 정해진 몇 개의 값만 가지면 디지털 신호(digital signal)라고 한다. 이 구분은 신호의 값(세로축)에 관한 것이다. 시간축(가로축)이 연속인지는 다음 절의 연속시간·이산시간 구분이 따로 맡는다.

위성 항법 시스템인 GPS는 위치 계산용 데이터인 항법 메시지와 위성을 구별하는 코드열인 C/A 코드를 함께 보낸다. 둘은 0과 1만 갖는 디지털 수열이고, 코드의 한 자리를 칩(chip)이라고 한다. 두 수열을 XOR(두 값이 같으면 0, 다르면 1)로 합쳐 $0\to+1$ , $1\to-1$ 로 바꾼 뒤, 정보를 싣는 정현파인 반송파에 곱한다. 이 부호가 바뀔 때마다 반송파의 위상이 180° 뒤집히는 방식이 BPSK(binary phase-shift keying)이다. 위성이 실제로 내보내는 전파는 연속시간 아날로그 파형이고, 그 파형이 디지털 정보를 싣고 있다.

확대 창의 점선은 부호를 바꾸지 않은 반송파이고 실선은 방송 신호이다. 둘째 비트가 시작하는 칩 7에서는 비트가 1에서 0으로 바뀌고 합도 1에서 0으로 바뀐다. 그래서 점선과 반대이던 실선이 경계에서 반대쪽 끝으로 뛰고, 그 뒤로는 점선과 겹친다. 합이 그대로인 경계에서는 실선이 끊기지 않고 이어진다.

실제 신호에는 비트 하나에 칩이 20460개(1023칩 코드가 20번 반복), 칩 하나에 반송파가 1540주기 들어가 그대로는 그릴 수 없으므로, 그림은 비트 하나에 7칩짜리 코드 한 번, 칩 하나에 반송파 3주기로 수를 줄였다. 더하는 규칙, ±1로 바꾸는 규칙, 위상이 뒤집히는 자리는 실제 신호와 같고, 처음 상태는 비트 1001, 칩 7이다.

해 보기

칩 6에서 코드 칩이 바뀔 때 합과 반송파의 위상이 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
비트는 1 그대로이고 코드 칩이 1에서 0으로 바뀌어 합이 0에서 1이 된다. 코드 칩만 바뀌어도 반송파의 위상이 뒤집힌다.
첫 비트가 0일 때 칩 7의 경계에서 합이 바뀌는지 확인하라.
관찰
경계 양쪽의 비트와 코드 칩이 모두 0이라 합이 바뀌지 않는다. 확대 창의 실선이 점선을 따라 그대로 이어진다.
비트가 0110일 때 칩마다 $d\oplus c$ 가 코드 $c$ 와 어떤 관계인지 확인하라.
관찰
비트가 0인 칩 0–6과 21–27에서는 $d\oplus c$ 가 코드 $c$ 와 같고, 비트가 1인 칩 7–20에서는 코드가 뒤집혀 실린다.

연속시간 신호와 이산시간 신호

$x(t)=\sin(\pi t)$ 처럼 모든 실수 시각 $t$ 에서 값이 정의된 신호를 연속시간 신호(continuous-time signal)라고 한다. 실제 물리량과 수학에서 쓰는 함수가 여기에 속한다. $x[n]=\sin(0.25\pi n)$ 처럼 정수 $n$ 에서만 값이 있는 신호는 이산시간 신호(discrete-time signal)이다. 시간 번호는 $n$ , 주파수 번호는 $k$ 로 쓴다. 두 글자를 다른 뜻으로 쓰는 곳(4장의 근 번호 $k$ , 5장 실수 급수의 차수 $n$ )은 그 자리에서 밝힌다. 컴퓨터가 다루는 신호는 모두 이산시간 신호이다. 괄호로 둘을 구분해, 연속시간은 $x(t)$ , 이산시간은 $x[n]$ 으로 쓴다.

앞의 두 신호는 그래프 모양이 닮았지만 가로축이 다르다. $\sin(\pi t)$ 는 2 s마다 되풀이되고, $\sin(0.25\pi n)$ 은 샘플 8개마다 되풀이된다. 이산시간 신호의 번호 $n$ 에는 단위가 없다.

연속시간 신호를 일정한 간격 $T_s$ 로 재서 이산시간 신호를 만들었다면, $n$ 번 샘플은 시각 $t=nT_s$ 의 값이다. 이 간격 $T_s$ 를 샘플 간격(sampling interval)이라고 한다.

x[n]=x(nT_s),\qquad n=\dots,-1,0,1,2,\dots

이산시간 신호는 $t=nT_s$ 에서만 존재한다. 샘플 사이의 시각에서는 값이 0인 것이 아니라 정의되어 있지 않다.

직접 풀어 보기. 앞의 $x[n]=\sin(0.25\pi n)$ 을 만든 샘플 간격 $T_s$ 를 구하라.

풀이

수열만 보고는 정할 수 없다. $x[n]$ 은 숫자의 나열이고, 각 숫자를 몇 초에 쟀는지는 수열 안에 들어 있지 않다.

앞의 $x(t)=\sin(\pi t)$ 에서 얻은 샘플이라면 $\sin(\pi nT_s)=\sin(0.25\pi n)$ 이어야 하므로 $T_s=0.25$ s이다. 한 주기 2 s에 샘플이 8개 들어간다. 그런데 $x(t)=\sin(2\pi t)$ 를 $T_s=0.125$ s로 재도 $\sin(2\pi n\cdot0.125)=\sin(0.25\pi n)$ 로 똑같은 수열이 나온다. $T_s$ 는 수열 밖에서 따로 알려 주어야 하는 정보이다.

$\sin(\pi t)$ 를 $T_s=2.25$ s로 재도 $\sin(2.25\pi n)=\sin(0.25\pi n+2\pi n)=\sin(0.25\pi n)$ 로 같은 수열이 된다. 이 현상(aliasing)은 7장에서 다룬다.

1초에 재는 샘플의 수 $f_s=1/T_s$ 를 샘플링 주파수(sampling rate)라고 한다. 아래 그림은 $x(t)=\cos(2\pi t)$ 를 $f_s=8$ Hz( $T_s=0.125$ s)로 잰 여덟 샘플을 두 가로축에 나란히 그린다. 위는 초 단위 시간이고 아래는 샘플 번호이다. 샘플 하나마다 위상이 $2\pi\times0.125=0.25\pi$ 씩 나아가므로, 샘플 번호로 쓰면 $x[n]=\cos(0.25\pi n)$ 이다. 아래 그림의 스템 $n$ 은 위 그림에서 시각 $t=nT_s$ 의 값이다. $T_s$ 를 바꾸면 위 그림의 샘플 자리는 바뀌어도 아래 그림의 가로축 $n$ 은 그대로이다.

처음 상태는 x(t) = cos(2πt)를 fₛ = 8 Hz로 잰 여덟 샘플이다. 위와 아래 그림의 값은 같고 가로축만 다르다. 구성 참고: Jack Schaedler, Discrete Signals.

해 보기

샘플 $n=4$ 가 연속시간 곡선의 어느 자리에서 온 값인지 확인하라.
관찰
위 그림의 보라 점은 $t=4T_s=0.5$ s, 곡선의 가장 낮은 자리이다. 아래 그림에서는 같은 값 −1이 $n=4$ 에 선다.
앞 절의 $\sin(\pi t)$ 를 $T_s=0.25$ s로 잰 수열을 보고, $n=2$ 의 값이 곡선의 어디에서 왔는지 확인하라.
관찰
17개 샘플이 $t=-2\ldots2$ s에 놓이고 수열은 $x[n]=\sin(0.25\pi n)$ 이다. $n=2$ 는 $t=0.5$ s의 꼭대기 값 1이다.
$\sin(2\pi t)$ 를 $T_s=0.125$ s로 잰 수열을 바로 앞의 수열과 비교하라.
관찰
아래 그림이 바로 앞 상태와 똑같다. 위 그림의 곡선과 점도 같은 모양이고, 시간 눈금만 $-2\ldots2$ s에서 $-1\ldots1$ s로 절반이 되었다. 서로 다른 신호 $\sin(\pi t)$ 와 $\sin(2\pi t)$ 가 같은 샘플을 주므로, 수열만 보고는 $T_s$ 를 알 수 없다.

연속성

신호의 모양을 말할 때 자주 쓰는 성질이 연속성(continuity)이다. 함수 $x$ 가 $t=a$ 에서 연속이려면 다음 세 조건이 모두 필요하다.

$x(a)$ 가 정의되어 있다.
극한 $\lim_{t\to a}x(t)$ 가 있다. 즉 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 같다.
그 극한이 함숫값과 같다: $\lim_{t\to a}x(t)=x(a)$ .

채운 점은 그 시각의 함숫값, 빈 점은 곡선이 다가가지만 함숫값은 아닌 자리이다.

그림의 함수는 $t=-1$ 에서 왼쪽 극한 1.5와 오른쪽 극한 −0.5가 달라 극한이 없다. $t=2$ 에서는 극한 0.5가 있지만 함숫값 1.5와 다르다. $t=0.5$ 처럼 곡선이 끊기지 않는 점에서는 세 조건이 모두 성립한다.

"연속시간 신호"의 "연속"은 시간축이 연속이라는 뜻이다. 신호 값이 연속 함수라는 뜻이 아니다. 값이 뛰는 사각 펄스도 연속시간 신호이다.

다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. "연속시간 신호는 모든 $t$ 에서 연속인 함수이다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 "연속시간"은 가로축 $t$ 가 모든 실수라는 뜻이다. 값이 뛰는 사각 펄스를 떠올려 본다.

연속시간 신호는 모든 실수 $t$ 에서 값이 정의된 신호이다. 값이 연속일 필요는 없다. 모서리에서 값이 뛰는 사각 펄스나 펄스열도 연속시간 신호이고, 연속 함수는 아니다.

펄스열과 조각별 연속

펄스열은 높이 $A$ , 폭 $\tau$ 인 사각 펄스가 주기 $T$ 로 되풀이되는 신호이다. 뒤에서 정의할 사각 펄스 $\mathrm{rect}(t)$ 를 쓰면 다음과 같다.

x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{t-nT}{\tau}\right)

펄스열은 모서리마다 값이 뛰므로 연속 함수가 아니다. 대신 조각별 연속(piecewise continuous)이다. 유한한 구간 안에 불연속점이 유한 개뿐이고, 불연속점마다 왼쪽·오른쪽 극한이 유한한 값으로 있는 함수를 말한다. 이 과목에서 다루는 신호는 대부분 조각별 연속이다.

주기 신호

모든 $t$ 에서 $x(t)=x(t+T)$ 를 만족하는 양수 $T$ 가 있으면 $x(t)$ 를 주기 신호(periodic signal)라고 한다. $T$ 가 주기이면 $2T, 3T, \dots$ 도 주기이므로 $x(t)=x(t+nT)$ ( $n$ 은 정수)로 써도 같다. 그런 $T$ 가운데 가장 작은 값 $T_0$ 를 기본 주기(fundamental period)라고 한다. 보통 "주기"라고 하면 이것을 말한다.

위에서부터 3 Hz, 6 Hz, 9 Hz 정현파(진폭 0.8)와 세 성분의 합이고, 세로 위치는 보기 좋게 띄워 놓았다. 가로축 0~1 s는 1/3 s씩 칠해 두었다.

3 Hz 성분은 1/3 s, 6 Hz 성분은 1/6 s, 9 Hz 성분은 1/9 s마다 되풀이된다. 1/3 s가 지나면 셋이 모두 제자리로 돌아오므로 합도 1/3 s마다 같은 모양을 되풀이한다. 합은 $T=1/3$ s인 주기 신호이다. 잡음 파형은 어떤 $T$ 를 잡아도 같은 모양이 되풀이되지 않는 비주기 신호의 예이다.

두 주기 신호의 합

두 주기 신호의 합은 언제 주기 신호일까? $x(t)=x_1(t)+x_2(t)$ 이고 $x_1$ 의 주기가 $T_1$ , $x_2$ 의 주기가 $T_2$ 라고 하자. $x$ 가 주기 $T$ 로 되풀이되려면 $x(t+T)=x_1(t+T)+x_2(t+T)$ 가 $x(t)$ 와 같아야 한다. 두 성분이 각각 제자리로 돌아오면 합도 제자리로 돌아온다. 따라서 $T$ 가 $T_1$ 의 정수배이면서 동시에 $T_2$ 의 정수배이면 $T$ 는 합의 주기이다.

T=kT_1=lT_2\quad\Longrightarrow\quad\frac{T_1}{T_2}=\frac{l}{k}

여기서 $k$ , $l$ 은 양의 정수이다. 즉 두 주기의 비가 유리수이면 합은 주기 신호이고, $T_1$ 과 $T_2$ 의 최소공배수(LCM), 곧 두 주기의 공통 배수 가운데 가장 작은 값이 합의 주기 가운데 하나이다. 이것은 충분조건이다. 성분끼리 서로 지워지면 합의 기본 주기가 LCM보다 짧아질 수 있다. 예를 들어 $x_1(t)=\cos 2t+\cos 3t$ (주기 $2\pi$ )와 $x_2(t)=-\cos 3t$ (주기 $2\pi/3$ )의 LCM은 $2\pi$ 이지만, 합은 $\cos 2t$ 라서 기본 주기가 $\pi$ 이다.

진폭이 0이 아니고 양의 주파수가 서로 다른 두 정현파만 더하면, 합이 주기 $T$ 로 되풀이될 때 각 성분도 같은 $T$ 뒤에 제자리로 돌아와야 한다. 합이 $T$ 마다 되풀이되면 $d_1(t)=x_1(t+T)-x_1(t)$ 와 $d_2(t)=x_2(t+T)-x_2(t)$ 는 모든 $t$ 에서 $d_1=-d_2$ 이다. $d_1$ 은 각주파수 $\omega_1$ , $d_2$ 는 $\omega_2$ 인 정현파이므로 두 번 미분하면 $-\omega_1^2d_1=-\omega_2^2d_2=\omega_2^2d_1$ , 곧 $(\omega_1^2-\omega_2^2)d_1=0$ 이고, $\omega_1\ne\omega_2$ 이므로 $d_1=d_2=0$ 이다. 따라서 두 정현파의 기본 주기 $T_1,T_2$ 의 공통 배수가 필요하고, $T_1/T_2$ 가 무리수이면 합은 비주기 신호이며 유리수이면 최소공배수가 합의 기본 주기이다.

이 두 정현파는 주기 대신 각주파수로 따져도 된다. $\omega=2\pi/T$ 이므로 $\omega_1/\omega_2$ 가 유리수인지 보면 되고, 두 각주파수를 모두 정수배로 만드는 가장 큰 값 $\omega_0$ 가 합의 기본 각주파수, $2\pi/\omega_0$ 가 합의 주기이다.

직접 풀어 보기. 다음 합이 주기 신호인지 판단하고, 주기 신호이면 주기를 구하라.

Q1. $x(t)=\cos t+\sin(2.5t)$

풀이

$T_1=2\pi$ , $T_2=2\pi/2.5=0.8\pi$ 이고 $T_1/T_2=5/2$ 로 유리수이다. $2T_1=5T_2=4\pi$ 이므로 주기는 $T=4\pi$ 이다. 각주파수로 보면 $1=2\times0.5$ , $2.5=5\times0.5$ 라서 $\omega_0=0.5$ 이고 $T=2\pi/0.5=4\pi$ 로 같다.

Q2. $x(t)=\cos t+\sin(\sqrt3\,t)$

풀이

$T_1/T_2=\sqrt3$ 은 무리수이므로 주기 신호가 아니다. 그래프를 아무리 길게 그려도 처음 모양이 정확히 되풀이되지 않는다. 비슷해지는 곳은 있어도 똑같아지지는 않는다.

Q3. $x(t)=\cos(\sqrt{12}\,t)+\sin(\sqrt3\,t)$

풀이

$\sqrt{12}=2\sqrt3$ 이므로 $T_1=2\pi/(2\sqrt3)=\pi/\sqrt3$ , $T_2=2\pi/\sqrt3$ 이고 $T_1/T_2=1/2$ 이다. 주기는 $T=2T_1=T_2=2\pi/\sqrt3\approx3.63$ 이다. 각 주기는 무리수이지만 두 주기의 비가 유리수라서 주기 신호이다. 합이 주기 신호인지는 두 주기의 비로 정해진다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 합을 $\cos t$ 의 주기 $2\pi$ 만큼 더 옮긴다. 그동안 $\sin(rt)$ 가 돈 바퀴 수가 그 자리에 적히고, 옮긴 합 $x(t+s)$ 가 원래 합 $x(t)$ 와 다른 자리가 칠해진다. $r=2.5$ 는 Q1의 합이고, $r$ 를 $\sqrt3$ 으로 바꾸면 Q2의 합이 된다.

①은 cos t, ②는 sin(rt), ③은 둘의 합 x(t)이고, 붉게 칠한 구간이 지금까지 옮긴 거리 s이다. ③의 점선은 s만큼 옮긴 합 x(t + s)이고, 실선과 점선 사이를 칠했다.

$x(t)=\cos 4t+\sin 6t$ 의 기본 주기를 구하라(단위 s, $\pi$ 를 써도 된다).

풀이

답 π

힌트 두 성분의 주기는 $2\pi/4$ 와 $2\pi/6$ 이다. 둘의 공통 배수 가운데 가장 작은 값을 찾는다.

$T_1=\pi/2$ , $T_2=\pi/3$ 이고 $T_1/T_2=3/2$ 로 유리수이다. $2T_1=3T_2=\pi$ 이므로 기본 주기는 $\pi\approx3.14$ s이다. 각주파수로 보면 4와 6을 모두 정수배로 만드는 가장 큰 값이 $\omega_0=2$ 라서 $T=2\pi/2=\pi$ 이다.

정현파

정현파(sinusoid)는 세 수로 정해진다.

x(t)=A\cos(\omega t+\phi)=A\cos(2\pi ft+\phi)

진폭(amplitude) $A$ 는 신호와 같은 단위(예: V)를 갖는다. 주파수(frequency) $f$ 는 1초에 몇 번 되풀이하는지(Hz)이고, 각주파수(angular frequency) $\omega=2\pi f$ 는 1초에 도는 각도(rad/s)이다. 주기는 $T=1/f$ 이다. 위상(phase) $\phi$ 는 $t=0$ 에서의 각도로, 라디안이나 도로 쓴다. 사인과 코사인은 위상만 다른 같은 모양이고 $\sin\theta=\cos(\theta-\pi/2)$ 이다. $\sin\phi$ 곡선은 $\cos\phi$ 곡선을 오른쪽으로 $\pi/2$ (90°) 옮긴 것이다.

진폭은 가운데(0)에서 꼭대기까지의 높이 $A$ 이다. 최댓값에서 최솟값을 뺀 $2A$ 는 peak-to-peak 값이라고 따로 부른다. 두 값은 두 배 차이가 나므로 값을 적을 때 어느 쪽인지 밝힌다. 예를 들어 진폭 1 V인 정현파의 peak-to-peak 값은 2 V이다.

세 수 $A$ , $f$ , $\phi$ 는 그림에서 무엇일까? 아래 그림은 반지름 $A$ 인 원 위를 1초에 $f$ 바퀴 도는 점을 그리고, 그 점의 가로 좌표 $A\cos\theta$ 와 세로 좌표 $A\sin\theta$ 를 시간에 따라 펼쳐 두 파형으로 그린다. 점이 도는 동안 두 좌표는 파형 그림 위의 점을 함께 끌고 가고, $\phi$ 를 바꾸면 두 파형이 옆으로 밀린다. 이 원 그림은 4장의 복소수로 이어진다.

처음 상태는 A = 1, f = 1 Hz, φ = 0°이고, 시간 커서 t = 0.125 s에서 두 좌표가 x = y = 0.707이다. 맨 위 식은 지금의 f, t, φ를 넣어 θ = 2π·1·0.125 + 0 = 0.79 rad를 계산한다(φ는 rad로 바꿔 넣는다). 구성 참고: Jack Schaedler, Seeing Circles, Sines, and Signals의 사인·코사인 절.

해 보기

$t=0.25$ s에서 점이 원의 어디에 있는지, 두 파형의 값이 얼마인지 확인하라.
관찰
위 식은 $\theta=2\pi\cdot1\cdot0.25+0=1.57$ rad이다. 점이 1/4바퀴 돌아 원의 맨 위( $\theta=\pi/2$ )에 있고 $x=0$ , $y=1$ 이다. 파형 그림에서 파란 코사인은 0까지 내려왔고 보라 사인은 꼭대기에 있다.
$\phi=-90°$ 이면 파란 곡선이 어떤 모양이 되는지 $\sin(2\pi t)$ 와 비교하라.
관찰
위 식은 $\theta=2\pi\cdot1\cdot0.25-1.57=0$ rad이라 점이 오른쪽 끝에 있다( $x=1$ , $y=0$ ). 파란 곡선 $\cos(2\pi t-90°)$ 가 0에서 올라가, $\phi=0$ 일 때의 보라 곡선 $\sin(2\pi t)$ 와 같은 모양이 된다. $\sin\theta=\cos(\theta-\pi/2)$ 이다.
$f=2$ Hz이면 점이 언제 원의 맨 위에 오는지, 한 주기가 얼마인지 확인하라.
관찰
점이 1초에 두 바퀴 돌아 $t=0.125$ s에 벌써 맨 위( $\theta=2\pi\cdot2\cdot0.125=1.57$ rad)에 있다. 한 바퀴 $T=0.5$ s이고, 2초 동안 두 파형이 네 번씩 되풀이된다.

$x(t)=3\cos(20\pi t-\pi/4)$ V의 주파수와 peak-to-peak 값을 고르라.

(가) 20 Hz, 6 V
(나) 10 Hz, 6 V
(다) 10 Hz, 3 V
(라) $20\pi$ Hz, 3 V

풀이

답 (나) 10 Hz, 6 V

(가) $20\pi$ 는 각주파수 $\omega$ (rad/s)이다. $f=\omega/2\pi$ 이다.
(다) 3 V는 가운데에서 꼭대기까지인 진폭이다. peak-to-peak는 최댓값에서 최솟값을 뺀 값이다.
(라) $20\pi$ 는 rad/s 단위의 각주파수이고, 3 V는 진폭이다.

$\omega=20\pi$ rad/s이므로 $f=\omega/2\pi=10$ Hz이고 주기는 0.1 s이다. 진폭은 3 V, peak-to-peak 값은 $2A=6$ V이다. 위상 $-\pi/4$ 는 주파수와 진폭을 바꾸지 않는다.

짝함수와 홀함수

모든 $t$ 에서 $x(-t)=x(t)$ 이면 짝함수(even function), $x(-t)=-x(t)$ 이면 홀함수(odd function)라고 한다. 짝함수의 그래프는 세로축을 기준으로 좌우 대칭이고, 홀함수의 그래프는 원점을 중심으로 180° 돌려도 같다. $\cos t$ 는 짝함수, $\sin t$ 는 홀함수이다.

왼쪽은 e^−t²/1.5, 오른쪽은 t·e^−t²/1.5이다. t₀와 −t₀에서 짝함수는 같은 값을, 홀함수는 부호만 반대인 값을 갖는다.

짝도 홀도 아닌 신호는 짝 부분과 홀 부분의 합으로 쓸 수 있다.

x(t)=\underbrace{\frac{x(t)+x(-t)}{2}}_{x_e(t)}+\underbrace{\frac{x(t)-x(-t)}{2}}_{x_o(t)}

곱은 부호처럼 따지면 된다. 짝 × 짝과 홀 × 홀은 짝이고, 짝 × 홀은 홀이다. 대칭 구간 $[-a,a]$ 에서 홀함수의 적분은 0이다. 5장에서 푸리에 계수를 구할 때 이 성질로 적분의 절반을 덜어 낸다.

단측·유한 길이·인과·유계 신호

신호가 어느 쪽 시간에서 0인지로도 나눈다. $t>t_0$ 에서 0이면 왼쪽 신호(left-sided signal), $t<t_0$ 에서 0이면 오른쪽 신호(right-sided signal), 유한한 구간 $[t_0,t_1]$ 밖에서 0이면 유한 길이 신호(time-limited signal)이다.

(a) t > t₀에서 0, (b) t < t₀에서 0, (c) t₀ ≤ t ≤ t₁ 밖에서 0, (d) 어느 쪽으로도 끝나지 않는 신호. (b)에서 t₀ ≥ 0이면 인과 신호이다.

$t<0$ 에서 $x(t)=0$ 인 신호를 인과 신호(causal signal)라고 한다. 스위치를 $t=0$ 에 켠 뒤에야 생기는 전압처럼, 시각 0 이전에는 아무것도 없는 신호이다. 시스템의 인과성은 3장에서 따로 정의한다.

모든 $t$ 에서 $|x(t)|\le B$ 인 유한한 수 $B$ 가 있으면 유계 신호(bounded signal)이다. $\tan t$ 는 $t$ 가 $\pm\pi/2$ 에 다가가면 끝없이 커지므로 유계가 아니다.