REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L02

2장 신호의 표현

계단으로 신호 나타내기

구간마다 식이 다른 신호를 한 줄의 식으로 쓸 수 있을까? 계단 두 개의 차로 윈도우를 만들고, 윈도우를 곱한 조각을 더한다.

두 계단의 차로 만든 사각 펄스

직접 확인해 보기. 다음 식이 성립함을 보여라.

rect(t)=u ⁣(t+12)−u ⁣(t−12)\mathrm{rect}(t)=u\!\left(t+\tfrac12\right)-u\!\left(t-\tfrac12\right)
u(t + ½)tu(t + ½)−½1u(t − ½)tu(t − ½)½1u(t + ½) − u(t − ½)tu(t + ½) − u(t − ½)−½½1
앞의 계단이 t = −½에서 켜고 뒤의 계단이 t = ½에서 끈다. 두 계단의 차는 두 시각 사이에서만 1이다.
풀이

u(t+12)u(t+\tfrac12)는 t≥−12t\ge-\tfrac12에서 1이고, u(t−12)u(t-\tfrac12)는 t≥12t\ge\tfrac12에서 1이다. 구간을 셋으로 나누어 오른쪽 식을 계산한다.

  • t<−12t<-\tfrac12: 0−0=00-0=0
  • −12≤t<12-\tfrac12\le t<\tfrac12: 1−0=11-0=1
  • t≥12t\ge\tfrac12: 1−1=01-1=0

세 구간 모두 rect(t)\mathrm{rect}(t)의 정의와 같다. 끝점 t=−12t=-\tfrac12은 포함하고 t=12t=\tfrac12은 포함하지 않는 것도 u(0)=1u(0)=1이라는 약속과 맞다.

같은 방법으로 u(t−a)−u(t−b)u(t-a)-u(t-b) (a<ba<b)는 a≤t<ba\le t<b에서만 1인 윈도우(window)가 된다. 어떤 식 f(t)f(t)에 이 윈도우를 곱하면 [a,b)[a,b) 구간의 f(t)f(t)만 남고 나머지는 0이 된다.

f(t) [u(t−a)−u(t−b)]={f(t),a≤t<b0,otherwisef(t)\,\bigl[u(t-a)-u(t-b)\bigr]=\begin{cases}f(t), & a\le t<b\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}

조각으로 나누어 나타내기

구간마다 식이 다른 신호는 구간마다 윈도우를 곱한 조각을 더해 한 줄로 쓸 수 있다. 다음 사다리꼴 x(t)x(t)는 0≤t<10\le t<1에서 tt로 올라가고, 1≤t<21\le t<2에서 1이고, 2≤t<32\le t<3에서 3−t3-t로 내려간다.

x(t)=v1(t)+v2(t)+v3(t)v1(t)=t [u(t)−u(t−1)]v2(t)=u(t−1)−u(t−2)v3(t)=(3−t) [u(t−2)−u(t−3)]\begin{aligned} x(t)&=v_1(t)+v_2(t)+v_3(t)\\ v_1(t)&=t\,\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]\\ v_2(t)&=u(t-1)-u(t-2)\\ v_3(t)&=(3-t)\,\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr] \end{aligned}
x(t)tx(t)1231v₁(t) = t[u(t) − u(t − 1)]tv₁(t) = t[u(t) − u(t − 1)]1231v₂(t) = u(t − 1) − u(t − 2)tv₂(t) = u(t − 1) − u(t − 2)1231v₃(t) = (3 − t)[u(t − 2) − u(t − 3)]tv₃(t) = (3 − t)[u(t − 2) − u(t − 3)]1231
사다리꼴 x(t)를 세 조각으로 나눈 것이고, 각 조각은 윈도우 u(t − a) − u(t − b)에 그 구간의 식을 곱한 것이다.

조각마다 t=1,2t=1, 2에서 값이 뛰지만, 더하면 뛴 만큼이 서로 메워져 x(t)x(t)는 연속이다. 첫 조각에는 윈도우 u(t)−u(t−1)u(t)-u(t-1)에 그 구간의 식 tt를 곱해야 한다. 윈도우만 쓰면 높이 1인 사각이 되어 램프가 나오지 않는다.

꺾이는 점마다 기울기가 얼마나 바뀌는지 보면 램프(ramp) r(t)=t u(t)r(t)=t\,u(t)로도 쓸 수 있다. 이동한 램프 r(t−a)=(t−a)u(t−a)r(t-a)=(t-a)u(t-a)를 더하면 t<at<a에서는 변화가 없고, t=at=a부터 기울기가 +1만큼 더해진다. 이 사다리꼴의 기울기는 t=0t=0에서 +1, t=1t=1에서 −1, t=2t=2에서 −1, t=3t=3에서 +1만큼 바뀌므로

x(t)=r(t)−r(t−1)−r(t−2)+r(t−3)x(t)=r(t)-r(t-1)-r(t-2)+r(t-3)

이다. 두 표현이 같은지는 구간마다 tt 값을 넣어 확인할 수 있다.

예제 2: 곡선 조각이 섞인 신호

이번 x(t)x(t)는 0≤t<10\le t<1에서 1, 1≤t<31\le t<3에서 포물선 (t−2)2(t-2)^2(t=1t=1에서 1, t=2t=2에서 0, t=3t=3에서 1), 3≤t<43\le t<4에서 1에서 0으로 내려가는 직선이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

x(t)=[u(t)−u(t−1)]+(t−2)2 [u(t−1)−u(t−3)]+(4−t) [u(t−3)−u(t−4)]\begin{aligned} x(t)={}&\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]\\ &+(t-2)^2\,\bigl[u(t-1)-u(t-3)\bigr]\\ &+(4-t)\,\bigl[u(t-3)-u(t-4)\bigr] \end{aligned}

윈도우의 경계 1, 3, 4는 그래프에서 식이 바뀌는 자리이다. t=0t=0에서는 값이 0에서 1로 뛰고, 나머지 경계에서는 앞 조각의 끝값과 뒤 조각의 시작값이 같아서 x(t)x(t)가 이어진다. 조각마다 값이 뛰는 자리가 있지만(첫 조각은 0과 1, 둘째는 1과 3, 셋째는 3), 1과 3에서는 더하면 뛴 만큼이 서로 메워진다.

자주 틀리는 두 가지

계단을 곱한 식과, 식 전체를 늦춘 신호는 다르다.

t u(t−2)≠(t−2) u(t−2)e−tu(t−1)≠e−(t−1)u(t−1)\begin{gathered} t\,u(t-2)\neq(t-2)\,u(t-2)\\ e^{-t}u(t-1)\neq e^{-(t-1)}u(t-1) \end{gathered}

t u(t−2)t\,u(t-2)는 t<2t<2에서 0이다가 t=2t=2에서 곧바로 2로 뛰고, 그 뒤 기울기 1로 올라간다. (t−2) u(t−2)(t-2)\,u(t-2)는 램프 r(t)r(t)를 2만큼 늦춘 것이라 t=2t=2에서 0부터 올라간다. 마찬가지로 e−tu(t−1)e^{-t}u(t-1)은 t=1t=1에서 e−1≈0.37e^{-1}\approx0.37로 시작하고, e−(t−1)u(t−1)e^{-(t-1)}u(t-1)은 e−tu(t)e^{-t}u(t)를 1만큼 늦춘 것이라 1로 시작한다. 계단 u(t−a)u(t-a)를 곱해도 식 안의 tt는 t−at-a로 바뀌지 않는다. 계단 뒤의 식에는 그 자리의 tt를 그대로 넣는다.

t=(t−2)+2t=(t-2)+2로 나누면 t u(t−2)=r(t−2)+2u(t−2)t\,u(t-2)=r(t-2)+2u(t-2)이다. 시작값 2만큼 뛰는 계단과, 그 뒤 기울기 1을 만드는 램프를 따로 더한 것이다.

목표 곡선은 경계 aa마다 둔 계단 A u(t−a)A\,u(t-a)와 램프 B r(t−a)B\,r(t-a)의 합으로 다시 만들 수 있다. 처음 상태는 목표 t u(t−2)t\,u(t-2)를 r(t−2)=(t−2) u(t−2)r(t-2)=(t-2)\,u(t-2) 하나로 만든 흔한 실수이다. 두 곡선은 t=2t=2부터 2u(t−2)2u(t-2)만큼 벌어진다.

굵은 띠가 목표, 초록 선이 표의 항을 더한 곡선이고, 새로 더하는 항은 점선으로 그린다. 값이 뛰는 자리에서 속이 빈 점은 왼쪽 극한, 속이 찬 점은 그 자리의 값이다(u(0) = 1).

해 보기

  1. 경계 2의 계단 AA가 2이면 두 곡선이 겹치는지 확인하고, 그 까닭을 식으로 설명하라.
    관찰

    두 곡선이 겹친다. t u(t−2)=r(t−2)+2u(t−2)t\,u(t-2)=r(t-2)+2u(t-2)이다. t=2t=2에서 그 자리의 값 2만큼 뛰고, 그 뒤 기울기 1로 올라간다.

  2. 사다리꼴의 램프 네 개를 경계가 작은 것부터 하나씩 더할 때 기울기가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
    관찰

    램프를 하나 더할 때마다 그 경계부터 기울기가 바뀐다. 기울기는 0에서 1, 0, −1을 거쳐 다시 0이 된다.

  3. 윈도우와 계단으로 쓴 목표를 램프 두 개로 쓸 수 있는지 보고, 계단이 왜 필요 없는지 확인하라.
    관찰

    [u(t−1)−u(t−3)](t−1)+2u(t−3)=r(t−1)−r(t−3)\bigl[u(t-1)-u(t-3)\bigr](t-1)+2u(t-3)=r(t-1)-r(t-3)이다. 윈도우가 끝나는 t=3t=3에서 값이 뛰지 않으므로 계단은 필요 없다.

x(t)=t u(t−2)x(t)=t\,u(t-2)의 그래프를 고르라.

풀이

답 (나)

힌트 계단을 곱해도 식 안의 tt는 그대로이다. t=2t=2와 t=3t=3을 식에 넣어 본다.

t<2t<2에서는 u(t−2)=0u(t-2)=0이라 0이다. t≥2t\ge2에서는 u(t−2)=1u(t-2)=1이라 x(t)=tx(t)=t이므로 t=2t=2에서 2로 뛰고 t=3t=3에서 3이다. (가)는 (t−2) u(t−2)(t-2)\,u(t-2)로 t=2t=2에서 0부터 올라가고, (다)는 t u(t)t\,u(t), (라)는 t [u(t)−u(t−2)]t\,[u(t)-u(t-2)]이다.

x(t)=e−(t−1)u(t−1)x(t)=e^{-(t-1)}u(t-1)의 그래프를 고르라.

풀이

답 (다)

힌트 지수 안이 −(t−1)-(t-1)이므로 t=1t=1에서 지수가 0이다.

t<1t<1에서는 0이고, t=1t=1에서 e0=1e^{0}=1로 시작해 줄어든다. e−tu(t)e^{-t}u(t)를 1만큼 늦춘 것이다. (가)는 e−tu(t−1)e^{-t}u(t-1)로 t=1t=1에서 e−1≈0.37e^{-1}\approx0.37로 시작하고, (나)는 e−tu(t)e^{-t}u(t), (라)는 e−(t+1)u(t+1)e^{-(t+1)}u(t+1)로 t=−1t=-1에서 시작한다.

표의 경계와 계수를 골라, 굵은 띠로 그린 목표를 계단과 램프로 다시 만들라.

풀이

답 경계 0에 램프 1, 경계 2에 계단 −2와 램프 −1이다.

힌트 기울기가 바뀌는 자리와 값이 뛰는 자리를 먼저 찾는다. 한 경계에 계단과 램프를 함께 둘 수 있다.

목표는 0≤t<20\le t<2에서 tt이고 나머지에서 0인 t [u(t)−u(t−2)]t\,[u(t)-u(t-2)]이다. t=0t=0에서 기울기가 0에서 1로 바뀌므로 r(t)r(t)가 필요하다. t=2t=2에서는 값이 2에서 0으로 떨어지고(계단 −2-2) 기울기가 1에서 0으로 돌아온다(램프 −1-1). 따라서 t [u(t)−u(t−2)]=r(t)−2u(t−2)−r(t−2)t\,[u(t)-u(t-2)]=r(t)-2u(t-2)-r(t-2)이다.