신호의 변환

녹음한 소리를 늦게 틀거나, 두 배 빠르게 틀거나, 거꾸로 틀면 식은 어떻게 바뀔까?

이미 있는 신호 $x(t)$에서 새 신호를 만드는 가장 단순한 방법은 값(세로축)이나 시간(가로축)을 바꾸는 것이다. 값을 바꾸는 연산은 $y(t)=a\,x(t)+c$ 꼴이고 가로 위치는 그대로 둔다. 시간을 바꾸는 연산은 $y(t)=x(at-b)$ 꼴이고 값은 그대로 둔 채 그래프를 가로로 옮기거나 늘린다.

진폭 스케일링과 이동

$y(t)=a\,x(t)$는 모든 값에 $a$를 곱한다. $|a|>1$이면 세로로 늘어나고 $|a|<1$이면 줄어들며, $a<0$이면 위아래가 뒤집힌다. $x(t)$에 2, ½, −2를 곱해도 0이던 자리는 그대로 0이고 가로 위치는 하나도 바뀌지 않는다.

$y(t)=x(t)+c$는 그래프 전체를 $c$만큼 위($c>0$)나 아래($c<0$)로 옮긴다. $x(t)-2$는 꼭대기 값 2가 0으로, 0이던 자리가 −2로 내려간 그래프이다.

시간 스케일링과 반전

$y(t)=x(at)$에서 $a>1$이면 신호가 시간축 방향으로 압축되고, $0<a<1$이면 늘어난다. 원래 신호에서 시각 $t_1$에 있던 점은 $at=t_1$인 $t=t_1/a$로 옮겨 간다. 소리라면 $x(2t)$는 두 배 빠르게 재생한 것이다. $a=-1$이면 $x(-t)$가 되어 $t=0$을 기준으로 좌우가 뒤집히는데, 이것을 시간 반전(time reversal)이라고 한다.

$x(2t)$의 꺾이는 점은 절반 자리(−0.5, −0.25, 0, 0.25, 0.5)로, $x(t/2)$의 꺾이는 점은 두 배 자리로 옮겨 간다. $x(-t)$는 $t=0$을 기준으로 좌우가 뒤집힌다. 꼭짓점은 $x(2t)$에서 $-0.5/2=-0.25$로, $x(t/2)$에서 $-0.5/(1/2)=-1$로, $x(-t)$에서 0.5로 옮겨 간다.

시간 이동

$y(t)=x(t-t_0)$는 $x(t)$를 $t_0$만큼 늦춘 신호이다. $t_0>0$이면 그래프가 오른쪽으로 옮겨 간다. 원래 $t=0$에 있던 값이 이제 $t-t_0=0$, 곧 $t=t_0$에서 나타나기 때문이다. 식에는 빼기가 있는데 그래프는 $+$ 방향으로 가므로 헷갈리기 쉽다.

$x(t-1)$의 꼭짓점은 $t-1=0$인 $t=1$에, $x(t+1)$의 꼭짓점은 $t=-1$에 있다. 식의 $-1$은 오른쪽으로, $+1$은 왼쪽으로 1만큼 옮긴다.

여러 연산의 조합

시간 스케일링과 이동이 함께 있으면 괄호 안에서 $a$를 묶어 낸다.

예를 들어 $x(2t-2)$는 $x(t)$를 두 배로 압축한 뒤 2가 아니라 1만큼 오른쪽으로 옮긴 것이다. 점 하나를 따라가면 가장 확실하게 확인할 수 있다. $x(t)$의 꼭짓점이 $t=0$에 있었다면, $x(2t-2)$의 꼭짓점은 $2t-2=0$인 $t=1$에 있다.

연산을 차례로 적용할 때는 매번 바로 앞 단계의 식 전체에서 $t$를 바꾼다. $b>0$일 때 $x(t)$를 왼쪽으로 $b$만큼 옮긴 $x(t+b)$에서 $t\to-t$로 뒤집으면 $x(-t+b)$이고, 먼저 뒤집은 $x(-t)$에서 $t\to t-b$로 오른쪽으로 옮겨도 $x(-(t-b))=x(-t+b)$이다. 순서를 바꾸면 같은 결과를 얻는 이동 방향도 바뀐다.

그림의 원래 신호 $s(u)$는 $0\le u<1$에서 $u$로 올라가고 그 밖에서는 0인 램프이고, 표시한 점은 그 위의 $u_0=0.5$이다. 그림은 $y(t)=A\,s\bigl(a(t-\tau)\bigr)$를 두 단계로 나눠 그린다. ①은 시간 스케일링만 적용한 $s(at)$이고, 점은 $at=0.5$인 $t=0.5/a$로 간다. ②는 ①을 $\tau$만큼 옮긴 $s\bigl(a(t-\tau)\bigr)$이고, 점은 $a(t-\tau)=0.5$인 $t=\tau+0.5/a$에 놓인다. 각 줄에는 앞 단계의 신호가 점선으로 겹쳐 있고, 화살표가 점이 어디서 어디로 갔는지 보여 준다. 시간 스케일링 $a$는 ①에서 점과 램프의 자리를 바꾸고, 이동 $\tau$는 ②에서 그 자리를 다시 옮긴다. 진폭 스케일링 $A$는 ②에서 값에만 곱해진다.

처음 상태는 A = 1, a = 1, τ = 0 s라서 두 단계 모두 점이 움직이지 않고 y(t)가 s(t)와 같으며, 표시한 점 u₀ = 0.5는 t = 0.5 s에 있다. 곡선 끝의 속이 찬 점은 그 자리의 값, 속이 빈 점은 곡선이 다가가지만 그 자리의 값은 아닌 끝이고, 화살표가 시작하는 속이 빈 점은 앞 단계에서 표시한 점이 있던 자리이다.

예제 1: 두 센서가 잰 같은 속도

이 연산들은 실제 측정 데이터를 다룰 때 바로 쓰인다. 한 차량의 속도를 레이다와 바퀴 엔코더(wheel encoder)로 따로 재서 두 기록을 엔코더의 시간축에 겹쳐 그린다고 하자. 두 센서는 같은 속도를 재지만 기록을 시작한 시각, 샘플 간격, 잡음이 서로 다르다. 두 기록을 비교하려면 한쪽을 시간 이동하고 시간 스케일링을 바꿔 다른 쪽에 맞춰야 한다.

아래 그림에서 레이다 샘플 $n$은 엔코더 시각 $t=\tau+n/a$에 놓인다. 그러면 레이다 기록은 $y(t)=r\bigl(a(t-\tau)\bigr)=r(at-a\tau)$가 되어 위의 $x(at-b)$와 같은 꼴이다. $a$는 샘플 사이의 간격을, $\tau$는 기록이 시작하는 자리를 바꾼다. 시작 시각 $\tau$로 두 기록이 올라가기 시작하는 자리를 맞추고, 샘플링 주파수 $a$로 내려가는 자리까지 맞춘다. 두 기록이 얼마나 맞았는지는 RMS 차이로 잰다.

합성 데이터로, 엔코더는 자기 시계 t로 0.05 s마다 속도를 기록했고 레이다는 샘플 번호 n만 남겼다. 처음 상태는 a = 10 샘플/s, τ = 0 s이고 RMS 차이는 6.86 m/s이다.

RMS 차이는 $a=8$ 샘플/s, $\tau=1.5$ s에서 0.24 m/s로 가장 작고, 남은 차이는 두 센서의 잡음이다.