REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L02

2장 신호의 표현

정리

  • 연속시간 신호 x(t)x(t)는 모든 실수 tt에서, 이산시간 신호 x[n]x[n]은 정수 nn에서만 값이 있다. 간격 TsT_s로 재면 x[n]=x(nTs)x[n]=x(nT_s)이다.
  • 두 주기 신호의 합은 두 주기의 비가 유리수이면 주기 신호이다. 주파수가 서로 다른 두 정현파의 합에서는 이 조건이 필요충분조건이다.
  • x(at−b)=x ⁣(a(t−ba))x(at-b)=x\!\left(a\left(t-\frac{b}{a}\right)\right)는 시간 스케일링 aa를 먼저 적용한 뒤 b/ab/a만큼 옮긴 신호이다.
  • 임펄스는 t=0t=0 밖에서 0이고 면적이 1이다. t0t_0에서 연속인 x(t)x(t)에 대해 ∫−∞∞x(t) δ(t−t0) dt=x(t0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0)이고, 배율 a≠0a\neq0이 붙으면 δ(at)=1∣a∣ δ(t)\delta(at)=\frac{1}{|a|}\,\delta(t)이다.
  • 윈도우 u(t−a)−u(t−b)u(t-a)-u(t-b)를 곱하면 [a,b)[a,b) 구간만 남으므로 조각별로 다른 신호를 한 줄로 쓸 수 있다. 계단을 곱해도 식 안의 tt는 그대로라서 t u(t−2)≠(t−2) u(t−2)t\,u(t-2)\neq(t-2)\,u(t-2)이다.

3장은 가중 임펄스의 합 x(t)=∫−∞∞x(τ) δ(t−τ) dτx(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau에서 출발해 선형·시불변(LTI) 시스템의 출력을 컨볼루션으로 구한다.

개념 확인

1. 다음 문장 가운데 참인 것을 모두 고르라.

  1. (가) x(t)=tcos⁡tx(t)=t\cos t는 홀함수이다.
  2. (나) t<0t<0에서 0인 신호는 인과 신호이다.
  3. (다) x(t)=t e−tu(t)x(t)=t\,e^{-t}u(t)는 유계 신호가 아니다.
풀이

답 (가) x(t)=tcos⁡tx(t)=t\cos t는 홀함수이다., (나) t<0t<0에서 0인 신호는 인과 신호이다.

  • (다) t e−tt\,e^{-t}는 tt가 커지면 0으로 줄어든다. 최댓값이 있는지 본다.

(가) 참. 홀함수 tt와 짝함수 cos⁡t\cos t의 곱은 홀함수이다. (나) 참. 인과 신호의 정의이다. (다) 거짓. t e−tt\,e^{-t}는 t=1t=1에서 최댓값 e−1≈0.37e^{-1}\approx0.37을 갖고 그 뒤 0으로 줄어들므로 ∣x(t)∣≤e−1|x(t)|\le e^{-1}로 유계이다.

2. ∫02(t2+1) δ(t+1) dt\displaystyle\int_{0}^{2}(t^2+1)\,\delta(t+1)\,dt를 구하라.

풀이

답 0

힌트 임펄스가 어느 시각에 있는지 먼저 찾고, 그 시각이 적분 구간 안에 있는지 본다.

  1. 임펄스는 t=−1t=-1에 있고 적분 구간 [0,2][0,2] 밖이다.

3. ∫−∞∞cos⁡(πt) δ(3t−1) dt\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\pi t)\,\delta(3t-1)\,dt를 구하라.

풀이

답 1/6

힌트 δ(3t−1)=δ(3(t−13))\delta(3t-1)=\delta\bigl(3(t-\tfrac13)\bigr)로 묶고 δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)를 쓴다.

13cos⁡π3=16≈0.167\tfrac13\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac16\approx0.167. δ(3t−1)=13 δ(t−13)\delta(3t-1)=\tfrac13\,\delta\bigl(t-\tfrac13\bigr)이기 때문이다.

4. x(t)x(t)가 시간 이동 절의 삼각 펄스(꼭짓점 t=0t=0, −1≤t≤1-1\le t\le1에서만 0이 아님)일 때, x(3t−6)x(3t-6)의 꼭짓점 위치와 0이 아닌 구간을 고르라.

  1. (가) 꼭짓점 t=2t=2, 구간 1≤t≤31\le t\le3
  2. (나) 꼭짓점 t=2t=2, 구간 5/3≤t≤7/35/3\le t\le7/3
  3. (다) 꼭짓점 t=−2t=-2, 구간 −7/3≤t≤−5/3-7/3\le t\le-5/3
  4. (라) 꼭짓점 t=6t=6, 구간 17/3≤t≤19/317/3\le t\le19/3
풀이

답 (나) 꼭짓점 t=2t=2, 구간 5/3≤t≤7/35/3\le t\le7/3

  • (가) 꼭짓점은 맞지만 폭을 줄이지 않았다. 구간은 −1≤3t−6≤1-1\le3t-6\le1을 풀어 얻는다.
  • (다) 3t−6=03t-6=0을 풀면 t=2t=2이다. 괄호 안에서 빼면 그래프는 오른쪽으로 간다.
  • (라) 3배 압축한 뒤 6만큼 옮긴 x(3(t−6))x\bigl(3(t-6)\bigr)이다. x(3t−6)=x(3(t−2))x(3t-6)=x\bigl(3(t-2)\bigr)이다.

꼭짓점은 t=2t=2, 0이 아닌 구간은 5/3≤t≤7/35/3\le t\le7/3이다. 꼭짓점은 3t−6=03t-6=0에서, 구간은 −1≤3t−6≤1-1\le3t-6\le1에서 나온다. 3배 압축한 뒤 6만큼 옮기면 x(3(t−6))x\bigl(3(t-6)\bigr)가 되어 꼭짓점을 t=6t=6에 놓는 실수를 한다.

5. 다음 가운데 주기 신호를 고르라.

  1. (가) cos⁡2t+sin⁡πt\cos 2t+\sin\pi t
  2. (나) cos⁡(8 t)+sin⁡(2 t)\cos(\sqrt8\,t)+\sin(\sqrt2\,t)
  3. (다) cos⁡(2 t)+cos⁡2t\cos(\sqrt2\,t)+\cos 2t
풀이

답 (나) cos⁡(8 t)+sin⁡(2 t)\cos(\sqrt8\,t)+\sin(\sqrt2\,t)

  • (가) 각주파수의 비가 2/π2/\pi로 무리수이다.
  • (다) 각주파수의 비가 2/2\sqrt2/2로 무리수이다.

(나). 8=22\sqrt8=2\sqrt2이므로 각주파수의 비가 2로 유리수이고, ω0=2\omega_0=\sqrt2라서 주기는 2π/2=2 π≈4.442\pi/\sqrt2=\sqrt2\,\pi\approx4.44이다. (가)는 비가 2/π2/\pi, (다)는 비가 2/2\sqrt2/2로 무리수이다.

6. x(t)=e−2tu(t−1)x(t)=e^{-2t}u(t-1)과 y(t)=e−2(t−1)u(t−1)y(t)=e^{-2(t-1)}u(t-1)의 t=1t=1에서의 값을 각각 고르라.

  1. (가) x(1)=0x(1)=0, y(1)=0y(1)=0
  2. (나) x(1)=e−2x(1)=e^{-2}, y(1)=e−2y(1)=e^{-2}
  3. (다) x(1)=1x(1)=1, y(1)=1y(1)=1
  4. (라) x(1)=e−2≈0.135x(1)=e^{-2}\approx0.135, y(1)=1y(1)=1
풀이

답 (라) x(1)=e−2≈0.135x(1)=e^{-2}\approx0.135, y(1)=1y(1)=1

  • (가) 이 책에서는 u(0)=1u(0)=1로 둔다. t=1t=1에서 u(t−1)=1u(t-1)=1이다.
  • (나) yy의 지수는 −2(t−1)-2(t-1)이라 t=1t=1에서 0이다.
  • (다) 계단을 곱해도 식 안의 tt는 그대로이다. x(1)=e−2⋅1x(1)=e^{-2\cdot1}이다.

x(1)=e−2≈0.135x(1)=e^{-2}\approx0.135, y(1)=e0=1y(1)=e^{0}=1. yy는 e−2tu(t)e^{-2t}u(t)를 1만큼 늦춘 것이고, xx는 e−2te^{-2t}에서 t≥1t\ge1 부분만 남긴 것이다.

7. t<3t<3에서 0이다가 t=3t=3에서 3으로 뛰어오르고, 그 뒤 기울기 1로 올라가는 신호를 나타내는 식을 모두 고르라.

  1. (가) (t−3) u(t−3)(t-3)\,u(t-3)
  2. (나) t u(t−3)t\,u(t-3)
  3. (다) 3 u(t−3)+(t−3) u(t−3)3\,u(t-3)+(t-3)\,u(t-3)
  4. (라) t u(t)−t u(t−3)t\,u(t)-t\,u(t-3)
풀이

답 (나) t u(t−3)t\,u(t-3), (다) 3 u(t−3)+(t−3) u(t−3)3\,u(t-3)+(t-3)\,u(t-3)

  • (가) t=3t=3에서 0부터 올라가는 늦춘 램프이다.
  • (라) 0≤t<30\le t<3에서만 tt이고 그 뒤로는 0인 신호이다.

(나), (다). (다)를 정리하면 t u(t−3)t\,u(t-3)이 된다. (가)는 t=3t=3에서 0부터 올라가는 늦춘 램프이고, (라)는 0≤t<30\le t<3에서만 tt이고 그 뒤로는 0인 신호이다.

8. 0≤t<20\le t<2에서 2이고, 2≤t<32\le t<3에서 2에서 0까지 직선으로 내려가며, 그 밖에서는 0인 신호의 식을 고르라.

  1. (가) 2[u(t)−u(t−2)]+(3−t)[u(t−2)−u(t−3)]2\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+(3-t)\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr]
  2. (나) 2[u(t)−u(t−2)]+2(3−t)[u(t−2)−u(t−3)]2\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+2(3-t)\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr]
  3. (다) 2 u(t)+2(3−t) u(t−2)2\,u(t)+2(3-t)\,u(t-2)
  4. (라) 2[u(t)−u(t−2)]+2(t−2)[u(t−2)−u(t−3)]2\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+2(t-2)\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr]
풀이

답 (나) 2[u(t)−u(t−2)]+2(3−t)[u(t−2)−u(t−3)]2\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+2(3-t)\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr]

  • (가) t=2t=2에서 3−t=13-t=1이라 1로 떨어지며 시작한다.
  • (다) 윈도우를 닫지 않아 2u(t)2u(t)가 t≥2t\ge2에도 남는다.
  • (라) 2(t−2)2(t-2)는 0에서 2로 올라가는 직선이다.

(나). (2,2)(2,2)와 (3,0)(3,0)을 잇는 직선은 2(3−t)2(3-t)이다. (가)는 t=2t=2에서 1로 떨어지며 시작하고, (다)는 윈도우를 닫지 않아 2u(t)2u(t)가 t≥2t\ge2에도 남으며, (라)는 0에서 2로 올라가는 직선이다.

참고 자료

  • A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, 2nd ed., Prentice Hall, 1997, 1.1–1.4절: 연속시간·이산시간 신호, 독립변수의 변환, 주기·짝·홀 신호, 정현파, 단위 계단과 단위 임펄스.

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