기본 신호

복잡한 신호를 식으로 쓸 때 부품으로 쓰는 신호는 무엇일까?

단위 계단

단위 계단(unit step function) $u(t)$는 $t=0$에서 0에서 1로 올라서는 신호이다. 단위 계단 함수 또는 Heaviside 함수라고도 한다.

$t=0$에서의 값은 교재마다 다르다. 1로 두기도 하고, ½로 두기도 하고, 정의하지 않기도 한다. 이 책에서는 $u(0)=1$로 둔다. 계단은 스위치를 $t=0$에 켜는 순간을 나타내고, 다른 신호에 곱하면 $t<0$ 부분을 지운다. 예를 들어 $e^{-t}u(t)$는 $t\ge0$에서만 $e^{-t}$이고 그 전에는 0이다.

사각 펄스

사각 펄스(rectangular function) $\mathrm{rect}(t)$는 폭 1, 높이 1인 펄스이다. 사각 함수 또는 펄스 신호라고도 부른다.

폭을 $T$로 바꾸려면 시간 스케일링을 쓴다. $\mathrm{rect}(t/T)$는 $-T/2\le t<T/2$에서 1이다. 면적은 $\mathrm{rect}(t)$가 1, $\mathrm{rect}(t/T)$가 $T$이다.

디랙 델타

디랙 델타 함수(Dirac delta function) $\delta(t)$는 단위 임펄스(unit impulse)라고도 부르며, 줄여서 임펄스라고 한다. 다음 두 성질로 정의한다.

$t=0$ 한 점을 빼면 0인데 면적은 1이어야 하므로 $\delta(0)$은 유한한 값일 수 없다($\delta(0)\to\infty$). 그래서 $\delta(t)$는 보통의 함수가 아니다. 한 점에서만 0이 아닌 보통의 함수는 적분하면 0이기 때문이다. $\delta(t)$는 적분 안에서 무엇을 하는지로 정의되는 대상이고, 수학에서는 일반화 함수(generalized function) 또는 분포(distribution)라고 부른다. 그림에서는 화살표로 그리고, 화살표 옆에 적은 수는 높이가 아니라 면적이다.

펄스의 극한으로 본 δ(t)

$\delta(t)$는 폭이 좁아지는 펄스로 생각하면 머릿속에 그리기 쉽다.

$g_\varepsilon$는 폭 $|\varepsilon|$, 높이 $1/|\varepsilon|$인 사각 펄스라서 $\varepsilon$가 얼마이든 면적이 1이다. $\varepsilon$를 줄이면 폭은 0으로, 높이는 무한대로 가고, 면적은 1로 남는다. 이 극한이 $\delta(t)$이다.

이 극한은 적분 안에서 뜻을 갖는다. $t=0$에서 연속인 신호 $x(t)$에 $g_\varepsilon$를 곱해 적분하면

이고, 이것은 폭 $|\varepsilon|$인 구간에서 $x$의 평균이다. 구간이 0으로 줄면 평균은 $x(0)$으로 간다. 즉 $\delta(t)$를 곱해 적분하면 $x(0)$만 남는다. 다음 절의 sifting 성질이 이것이다.

δ와의 곱과 sifting 성질

$t_0$에서 연속인 $x(t)$에 $\delta(t-t_0)$를 곱하면, $\delta$가 0이 아닌 곳은 $t=t_0$ 한 점뿐이다. 따라서 $x(t)$를 그 점의 값 $x(t_0)$로 바꿔 써도 된다.

δ 자리에 앞 절의 펄스 $g_\varepsilon$를 $t_0$로 옮겨 놓으면 이 등식이 극한으로 보인다. $g_\varepsilon(t-t_0)$는 $t_0$를 가운데 둔 폭 $\varepsilon$, 높이 $1/\varepsilon$의 펄스라서, 곱 $x(t)\,g_\varepsilon(t-t_0)$의 면적은 $t_0$ 둘레 폭 $\varepsilon$ 구간에서 $x$의 평균이다. 그림의 처음 상태 $t_0=0$, $\varepsilon=2$에서는 ①의 색칠한 윈도우 안의 평균(가로 선분)이 $x(t_0)$ 점보다 낮다. $\varepsilon$를 반씩 줄이면 ②의 곱은 좁고 높아지고, ③의 면적은 $x(t_0)$로 다가간다.

x(t) = 1 + 0.6 cos 2t + 0.3 sin t이고 x(0) = 1.6이다. 면적은 ε = 2에서 1.273, ε = 1에서 1.505, ε = ½에서 1.575이다.

$\varepsilon$를 반으로 줄일 때마다 면적과 $x(0)$의 차이는 약 ¼로 준다. 윈도우가 좁아지면 윈도우 안의 $x$가 직선에 가까워지고, 직선의 평균은 가운데 값과 같기 때문이다. 곱은 $\varepsilon$가 작아질수록 높이 $x(t_0)/\varepsilon$인 사각형 $x(t_0)\,g_\varepsilon(t-t_0)$에 가까워지고, 극한에서 위 식의 $x(t_0)\,\delta(t-t_0)$가 된다.

곱은 면적이 $x(t_0)$인 임펄스이다. 이것을 적분하면 $\delta$의 면적이 1이므로 다음을 얻는다.

신호 전체에서 $t_0$의 값 하나만 걸러 낸다는 뜻에서 sifting(체로 거르기) 성질이라고 부른다. 이름이 비슷한 shifting(이동)과는 다르다. 이 식은 $x(t)$가 $t_0$에서 연속일 때 성립한다.

가중 임펄스의 합

sifting 식에서 $t_0$ 자리에 $t$를, 적분변수 자리에 $\tau$를 넣고 $\delta$가 짝함수임($\delta(\tau-t)=\delta(t-\tau)$)을 쓰면 다음 식이 된다.

sifting 식과 같은 식이지만 뜻은 반대 방향이다. sifting 식은 "임펄스로 한 점의 값을 뽑는다"이고, 이 식은 "신호 $x(t)$는 시각 $\tau$마다 놓인 임펄스 $\delta(t-\tau)$에 그 시각의 값 $x(\tau)$를 가중치로 곱해 모두 더한 것"이다. 3장에서 시스템의 출력을 컨볼루션으로 구할 때 바로 이 분해에서 출발한다.

적분 안의 $\delta$에 배율이 붙어 있으면 먼저 풀어야 한다. $u=at$로 치환할 때 $a>0$이면 $dt=du/a$이고 적분 한계가 그대로라 $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,\delta(at)\,dt=x(0)/a$이다. $a<0$이면 $u$의 적분 한계가 $\infty$에서 $-\infty$로 바뀌므로, 이를 되돌리는 음의 부호가 더해져 적분값은 $-x(0)/a=x(0)/|a|$이다. 따라서 $a\neq0$인 두 경우 모두

이다. 면적이 $1/|a|$인 임펄스라는 뜻이다.

직접 계산해 보기. 다음 적분값을 구하라.

(1) $\displaystyle\int_{-2}^{1}(t+t^2)\,\delta(t-3)\,dt$

(2) $\displaystyle\int_{-2}^{4}(t+t^2)\,\delta(t-3)\,dt$

(3) $\displaystyle\int_{0}^{3}e^{t-2}\,\delta(2t-4)\,dt$

(4) $\displaystyle\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau$