REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L05

5장 푸리에 급수

정리

  • 주기 TT인 신호는 x(t)=∑k=−∞∞ckejkω0tx(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}, ck=1T∫Tx(t)e−jkω0t dtc_k=\frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt로 나뉜다. 여기서 ω0=2π/T\omega_0=2\pi/T이다. 계수는 신호와 기저의 내적을 기저의 길이 제곱으로 나눈 값이다.
  • 실수 급수 x(t)=a0+∑n=1∞(ancos⁡nω0t+bnsin⁡nω0t)x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos n\omega_0 t+b_n\sin n\omega_0 t\right)에서 a0a_0는 한 주기의 평균이고, 복소 계수와는 c0=a0c_0=a_0, cn=(an−jbn)/2c_n=(a_n-jb_n)/2로 이어진다.
  • 실수 신호는 c−k=ck‾c_{-k}=\overline{c_k}이다. 실수이면서 짝함수이면 ckc_k가 실수이고 짝이며, 실수이면서 홀함수이면 순허수이고 홀이다.
  • Dirichlet 조건을 만족하면 급수는 연속인 점에서 x(t)x(t)로, 불연속점에서 좌우 극한의 평균으로 수렴한다. 불연속 옆의 오버슈트는 NN을 늘려도 점프 크기의 약 9 %로 남는다.
  • 시간 이동은 e−jkω0t0cke^{-jk\omega_0 t_0}c_k, 주기 컨볼루션은 TckdkT c_k d_k를 준다. LTI 시스템의 출력 계수는 H(kω0) ckH(k\omega_0)\,c_k이고, 평균 전력은 1T∫T∣x(t)∣2 dt=∑k=−∞∞∣ck∣2\frac{1}{T}\int_T\lvert x(t)\rvert^2\,dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\lvert c_k\rvert^2이다.

주기 TT를 끝없이 늘리면 이 급수는 주기가 없는 신호의 푸리에 변환이 된다(6장).

개념 확인

1. 주기 신호가 t=0t=0 바로 왼쪽에서 −3-3, 바로 오른쪽에서 55로 뛰고, Dirichlet 조건을 만족한다. 이 신호의 푸리에 급수가 t=0t=0에서 수렴하는 값을 구하라.

풀이

답 1

힌트 불연속점에서 급수는 한쪽 극한이 아니라 두 극한의 가운데로 간다.

(−3+5)/2=1(-3+5)/2=1이다. 불연속점에서 급수는 좌우 극한의 평균으로 수렴한다.

2. 실수이면서 홀함수인 주기 신호의 계수 ckc_k가 갖는 성질을 고르라.

  1. (가) 실수이고 홀
  2. (나) 순허수이고 짝
  3. (다) 순허수이고 홀
  4. (라) 실수이고 짝
풀이

답 (다) 순허수이고 홀

  • (가) 실수 계수가 홀이면 c−k=−ckc_{-k}=-c_k와 c−k=ck‾=ckc_{-k}=\overline{c_k}=c_k가 함께 성립해 모두 0이 된다.
  • (나) 순허수이면 ck‾=−ck\overline{c_k}=-c_k라서 c−k=ck‾=−ckc_{-k}=\overline{c_k}=-c_k, 곧 홀이다.
  • (라) 실수이면서 짝함수인 신호(펄스열)의 계수이다.

실수이므로 c−k=ck‾c_{-k}=\overline{c_k}, 홀함수이므로 c−k=−ckc_{-k}=-c_k이다. 두 식을 같이 만족하려면 ck‾=−ck\overline{c_k}=-c_k, 즉 실수부가 0이어야 한다.

3. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하라. "x(t)=sin⁡2ω0tx(t)=\sin 2\omega_0 t를 cos⁡2ω0t\cos 2\omega_0 t와 곱해 한 주기 평균하면 0이다. 따라서 xx에는 2차 성분이 없다."

  1. 참
  2. 거짓
풀이

답 거짓

  • 참 코사인과의 내적만 0이다. −-사인과의 내적은 0이 아니다.

코사인과의 내적만 0이고 사인 계수는 b2=1b_2=1, 복소 계수는 c2=−j/2c_2=-j/2이다. 한 방향의 투영이 0이라고 그 주파수 성분이 없는 것은 아니다.

4. ω0=2π/T\omega_0=2\pi/T이다. 다음 세 문장 가운데 참인 것을 모두 고르라.

  1. (가) ∫0Tej3ω0t ejω0t‾ dt=0\int_0^{T}e^{j3\omega_0 t}\,\overline{e^{j\omega_0 t}}\,dt=0
  2. (나) ∫0T/4ej3ω0t ejω0t‾ dt=0\int_0^{T/4}e^{j3\omega_0 t}\,\overline{e^{j\omega_0 t}}\,dt=0
  3. (다) 켤레 없이 곱한 ∫0Tej2ω0t e−j2ω0t dt\int_0^{T}e^{j2\omega_0 t}\,e^{-j2\omega_0 t}\,dt도 0이다.
풀이

답 (가) ∫0Tej3ω0t ejω0t‾ dt=0\int_0^{T}e^{j3\omega_0 t}\,\overline{e^{j\omega_0 t}}\,dt=0

  • (나) 피적분 함수 ej2ω0te^{j2\omega_0 t}가 T/4T/4 동안 반 바퀴만 돌아서 적분은 jT/(2π)jT/(2\pi)이다.
  • (다) 곱이 1이라 적분은 TT이다.

(가)는 참이다. 차수 차이가 정수 2이고 구간이 한 주기 전체이다. (나)는 거짓이다. 적분은 jT/(2π)jT/(2\pi)이다. (다)도 거짓이다. 곱이 1이라 적분은 TT이다. 서로 다른 두 기저의 내적은 켤레를 취해야 0이 된다.

5. (가) 주기 TT인 신호 x(t)x(t)의 3차 계수가 c3=0.4c_3=0.4(실수)이다. x(t−T/12)x(t-T/12)의 3차 계수의 크기를 구하라.

풀이

답 0.4

힌트 시간 이동이 계수에 곱하는 e−jkω0t0e^{-jk\omega_0t_0}의 크기를 생각한다.

∣e−jkω0t0∣=1\lvert e^{-jk\omega_0t_0}\rvert=1이므로 크기는 ∣c3∣=0.4\lvert c_3\rvert=0.4 그대로이다. 시간 이동은 계수의 크기를 바꾸지 않는다.

5. (나) 같은 x(t−T/12)x(t-T/12)의 3차 계수의 위상을 −180°-180°보다 크고 180°180° 이하인 도 단위 값으로 구하라.

풀이

답 -90 °

힌트 위상 변화는 −kω0t0-k\omega_0t_0이고 ω0t0=2π/12\omega_0t_0=2\pi/12이다.

−3ω0⋅T/12=−3⋅2π/12=−π/2-3\omega_0\cdot T/12=-3\cdot2\pi/12=-\pi/2, 즉 −90°이다. c3c_3이 양의 실수라 처음 위상이 0°이므로 이동한 뒤의 위상은 −90°이다. 위상 변화는 차수에 비례하므로 1차 계수였다면 −30°이다.

6. x(t)=2cos⁡ω0t+sin⁡3ω0tx(t)=2\cos\omega_0 t+\sin 3\omega_0 t의 평균 전력을 계수로 구하라.

풀이

답 2.5

힌트 계수 c±1c_{\pm1}과 c±3c_{\pm3}을 먼저 구하고, 크기의 제곱을 모두 더한다.

계수가 c±1=1c_{\pm1}=1, c3=−j/2c_3=-j/2, c−3=j/2c_{-3}=j/2이므로 ∑∣ck∣2=1+1+14+14=2.5\sum\lvert c_k\rvert^2=1+1+\tfrac14+\tfrac14=2.5이다. 시간 영역에서도 22/2+12/2=2.52^2/2+1^2/2=2.5이다.

7. (가) 진폭 ±2인 사각파(점프 크기 4)를 51차까지 더했다. 불연속 옆 부분합의 최댓값을 구하라.

풀이

답 2.36

힌트 51차면 넘치는 양이 이미 한계에 가깝다. 한계는 점프 크기의 약 9 %이다.

넘치는 양이 점프의 약 9 %(0.09×4≈0.360.09\times4\approx0.36)이므로 최댓값은 2+0.36≈2.362+0.36\approx2.36이다. 한계 8.95 %로 계산하면 2.358이다.

7. (나) 다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. "같은 사각파를 501차까지 더하면 불연속 옆 부분합의 최댓값이 51차일 때보다 뚜렷이 작아진다."

  1. 참
  2. 거짓
풀이

답 거짓

  • 참 차수를 올리면 넘치는 폭만 좁아지고, 높이는 점프의 약 9 %에 머문다.

501차로 올려도 최댓값은 거의 그대로 약 2.36이고, 넘치는 구간의 폭만 좁아진다. 그래서 급수는 불연속 옆에서 균일 수렴하지 않는다.

8. 주기 T=2T=2 s인 신호가 한 주기 −1<t<1-1<t<1에서 x(t)=t−2x(t)=t-2이다. 다음을 각각 구하거나 고르라.

  • (가) 평균 a0a_0를 구하라.
  • (나) "모든 an=0a_n=0", "모든 bn=0b_n=0", "둘 다 아님" 가운데 맞는 것을 고르라.
  • (다) bnb_n의 부호가 "모두 같음", "번갈아 바뀜", "짝수 차수만 0" 가운데 어느 것인지 고르라.
답

(가) a0=−2a_0=-2. tt의 한 주기 평균은 0이다. (나) 모든 an=0a_n=0. x+2=tx+2=t가 홀함수라서 코사인과의 내적이 0이다. (다) 번갈아 바뀜. ω0=π\omega_0=\pi rad/s이고 bn=∫−11tsin⁡(nπt) dt=2(−1)n+1/(nπ)b_n=\int_{-1}^{1}t\sin(n\pi t)\,dt=2(-1)^{n+1}/(n\pi)라서 b1≈0.64b_1\approx0.64, b2≈−0.32b_2\approx-0.32, b3≈0.21b_3\approx0.21이다.

참고 자료

  • A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, 2nd ed., Prentice Hall, 1997 — 3장: 연속시간 푸리에 급수, 수렴 조건, 성질 표.
  • E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., Wiley, 2011 — 11장: 실수 푸리에 급수, 삼각함수계의 직교성, 계수 공식 유도.
  • 3Blue1Brown, But what is a Fourier series? From heat flow to drawing with circles — 회전 벡터로 곡선 그리기.
  • jezzamon.com/fourier — 원과 파형을 잇는 대화형 설명.

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