정리·개념 확인·참고 자료 · 3장 연속시간 시스템과 컨볼루션

정리

선형 시스템은 중첩 $\mathcal H\{\alpha x_1+\beta x_2\}=\alpha\,\mathcal H\{x_1\}+\beta\,\mathcal H\{x_2\}$ 를 만족한다. 입력이 0인데 출력이 0이 아니면 비선형이다.
시불변 시스템은 늦춘 입력 $x(t-t_0)$ 에 늦춘 출력 $y(t-t_0)$ 를 낸다. 판정할 때는 $x(\square)$ 를 $x(\square-t_0)$ 로 바꾼 결과와 출력의 모든 $t$ 를 $t-t_0$ 로 바꾼 결과를 비교한다.
LTI 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션 $y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau=(x*h)(t)$ 이다. 선형성과 시불변성이 모두 있어야 이 식이 나온다.
컨볼루션은 교환·결합·분배 법칙을 따르고 $x*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$ 이다. 두 신호의 $\int|x|\,dt$ , $\int|h|\,dt$ 가 유한하면 출력의 면적은 두 면적의 곱이다.
임펄스 응답으로 성질을 판정한다. $t<0$ 에서 $h(t)=0$ 이면 인과이고, $\int|h(t)|\,dt$ 가 유한하면 BIBO 안정이다.

정현파의 진폭과 위상은 복소수 하나에 담을 수 있고(4장), 그 도구를 쓰면 컨볼루션이 주파수 응답과의 곱으로 바뀐다(6장).

개념 확인

1. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하라. "커널이 가운데를 기준으로 좌우 대칭이면(예: $[1,2,1]$ ) 상호상관과 컨볼루션의 결과가 같다."

답

참. 뒤집어도 커널이 그대로이기 때문이다. $[-1,0,1]$ 처럼 반대칭이면 두 결과의 부호가 반대가 된다.

2. 다음 중 역시스템이 있는 것을 모두 고르라.

(가) $y(t)=3x(t)$
(나) $y(t)=|x(t)|$
(다) $y[n]=x[n]-x[n-1]$ , $x[-1]=0$
(라) 행렬 $\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$ 로 나타낸 시스템

답

(가), (다). (나)는 $x$ 와 $-x$ 가 같은 출력을 낸다. (라)는 행렬식이 $4-4=0$ 이고, 입력 $[2,-1]$ 이 출력 $[0,0]$ 을 낸다.

3. 다음 두 시스템이 각각 선형인지, 시불변인지 판단하라.

(가) $y(t)=x(1-t)$
(나) $y(t)=x(t-1)+2$

답

(가) 선형이고 시변이다. 늦춘 입력의 출력은 $w(t)=x(1-t-t_0)$ 인데 늦춘 출력은 $y(t-t_0)=x(1-t+t_0)$ 이다. 시간 반전 때문에 입력을 늦추면 출력은 앞당겨진다.

(나) 비선형이고( $x=0$ 이면 출력이 2) 시불변이다. $w(t)=x(t-t_0-1)+2=y(t-t_0)$ .

4. 차분 시스템 $y[n]=x[n]-x[n-1]$ ( $x[-1]=0$ )에 $x=[2,\ 3,\ 3,\ 1]$ 을 넣었다. $4\times4$ 행렬로 $y$ 를 구하라.

답

$y=[2,\ 1,\ 0,\ -2]$ . 행렬의 행 $n$ 은 $(n-1)$ 열에 −1, $n$ 열에 1을 가진다.

5. $x(t)=u(t)-u(t-1)$ , $h(t)=2\,\delta(t-1)-\delta(t-3)$ 일 때 $y=x*h$ 의 $y(1.5)$ , $y(2.5)$ , $y(3.5)$ 를 구하라.

답

$y(1.5)=2$ , $y(2.5)=0$ , $y(3.5)=-1$ . $y(t)=2x(t-1)-x(t-3)$ 이기 때문이다.

6. 다음 두 문장이 각각 참인지 거짓인지 판단하라.

(가) $x(t)$ 가 $0\le t<3$ 에서 2인 펄스이고 $h(t)=e^{-2t}u(t)$ 이면 $\int y\,dt=3$ 이다.
(나) $x(t)=u(t)$ , $h(t)=e^{-t}u(t)$ 에도 면적 성질을 써서 $\int y\,dt$ 를 구할 수 있다.

답

(가) 참. $6\times\tfrac12=3$ . (나) 거짓. $u(t)$ 의 면적이 유한하지 않다. 실제로 $y=(1-e^{-t})u(t)$ 의 면적은 무한하다.

7. $x(t)=u(t)-u(t-2)$ 와 $h(t)=u(t)-u(t-3)$ 의 컨볼루션에서 출력이 꺾이는 시각을 모두 쓰고, 출력의 최댓값을 구하라.

답

$t=0,\ 2,\ 3,\ 5$ . 모서리 위치의 합 $0+0$ , $2+0$ , $0+3$ , $2+3$ 이다. $0\le t<2$ 에서 $y=t$ 로 오르고, $2\le t<3$ 에서 짧은 펄스가 긴 펄스 안에 모두 들어가 최댓값 2를 유지하며, $3\le t<5$ 에서 $y=5-t$ 로 내려간다.

8. $x(t)=e^{-3t}u(t)$ , $h(t)=u(t+1)$ 일 때 출력이 0이 아니게 되는 첫 시각과 $t\to\infty$ 에서의 출력값을 구하라.

답

출력은 $t=-1$ 에서 시작하고, $t\to\infty$ 이면 $\frac13$ 로 간다. $y(t)=\int_{-\infty}^{t+1}x(\tau)\,d\tau$ 이므로 $t\ge-1$ 에서 $y(t)=\frac{1-e^{-3(t+1)}}{3}$ 이다. 계단과의 컨볼루션은 누적 적분이고, 계단을 1만큼 앞당긴 만큼 출력도 1만큼 일찍 시작한다.

참고 자료

A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd ed., §1.5–1.6(시스템과 그 성질), §2.2–2.3(연속시간 컨볼루션 적분과 LTI 시스템의 성질).
S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Chapter 6: Convolution.

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