컨볼루션 연습

어느 컨볼루션이든 앞 절의 두 예제와 같은 순서로 푼다. 뒤집을 함수를 고르고, 움직이는 끝이 고정된 모서리를 지나는 $t$ 로 경우를 나누고, 경우마다 겹친 구간을 적분한 뒤, 경계에서 이어지는지와 면적으로 검산한다.

예제 3: 폭이 같은 두 사각 펄스

x(t)=u(t+1)-u(t-1),\qquad h(t)=u(t)-u(t-2)

$x(t)$ 는 $-1\le t<1$ 에서 1인 폭 2의 사각 펄스이다. $h(t)$ 는 $0\le t<2$ 에서 1인 사각 펄스로, 폭이 $x$ 와 같다.

어느 쪽을 뒤집을까. 둘 다 높이 1인 사각 펄스라 어느 쪽을 뒤집어도 피적분 함수는 1이다. 출력은 겹친 구간의 길이이다. 식대로 $h$ 를 뒤집는다.

경우 나누기. $h(t-\tau)$ 는 $t-2<\tau\le t$ 에서 1이다. 움직이는 끝 $t$ 가 모서리 $-1$ 에 닿는 $t=-1$ , 끝 $t$ 가 $1$ 에 닿고 동시에 끝 $t-2$ 가 $-1$ 에 닿는 $t=1$ , 끝 $t-2$ 가 $1$ 에 닿는 $t=3$ 에서 경우가 바뀐다. 폭이 같아서 $t=1$ 에서 두 만남이 한꺼번에 일어나고, 뒤집힌 펄스가 $x$ 안에 통째로 들어가 있는 구간이 없다.

직접 유도해 보기. 네 경우의 결과를 구하라.

풀이

$t<-1$ : 뒤집힌 펄스가 모두 $-1$ 보다 왼쪽에 있다. $y(t)=0$ .
$-1\le t<1$ : 겹치는 구간은 $-1\le\tau\le t$ 이다.

y(t)=\int_{-1}^{t}1\,d\tau=t+1

$1\le t<3$ : 겹치는 구간은 $t-2<\tau<1$ 이다.

y(t)=\int_{t-2}^{1}1\,d\tau=3-t

$t\ge3$ : 뒤집힌 펄스가 $x$ 의 오른쪽 끝 1을 지나갔다. $y(t)=0$ .

y(t)=\begin{cases}0, & t<-1\\ t+1, & -1\le t<1\\ 3-t, & 1\le t<3\\ 0, & t\ge3\end{cases}

밑변이 $-1\le t\le3$ 이고 높이가 2인 삼각형이다. 출력은 두 펄스의 시작 시각의 합 $-1+0$ 에서 시작해 끝 시각의 합 $1+2$ 에서 끝난다. 두 펄스의 폭이 같아 평평한 구간이 없다.

검산.

경계에서 이어진다: $y(-1)=0$ , $y(1)=2$ (두 식 모두), $y(3)=0$ .
몇 시각의 값은 $y(0)=1$ , $y(1)=2$ , $y(2.5)=0.5$ 이다.
면적은 삼각형 면적 $\tfrac12\times4\times2=4$ 로, 면적 성질의 $2\times2$ 와 같다.

예제 3. t = −1.5, 0, 2.5, 3.5에서 한 단계씩 계산한다. 피적분 함수가 1이라 적분 구간의 길이가 곧 출력이다: t = 0에서 [−1, 0]으로 1, t = 2.5에서 [0.5, 1]로 0.5. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

예제 4: 폭이 다른 두 사각 펄스

x(t)=u(t)-u(t-3),\qquad h(t)=2\,[u(t-1)-u(t-2)]

$x(t)$ 는 $0\le t<3$ 에서 1인 폭 3의 펄스이다. $h(t)$ 는 $1\le t<2$ 에서 2인 폭 1의 펄스이다.

어느 쪽을 뒤집을까. 좁은 $h$ 를 뒤집어 넓은 $x$ 위로 민다. 피적분 함수는 $x(\tau)\,h(t-\tau)=1\times2=2$ 이므로 출력은 겹친 길이의 2배이다.

경우 나누기. $h(t-\tau)$ 는 $t-2<\tau\le t-1$ 에서 2이다. 앞쪽 끝 $t-1$ 이 모서리 $0$ , $3$ 을 지나는 $t=1$ , $t=4$ 와 뒤쪽 끝 $t-2$ 가 $0$ , $3$ 을 지나는 $t=2$ , $t=5$ 가 경계이다. 경계가 넷이므로 경우는 다섯이고, 그중 0이 아닌 경우가 셋이다. 가운데 $2\le t<4$ 에서는 뒤집힌 펄스 전체가 $x$ 안에 있다.

직접 유도해 보기. 0이 아닌 세 경우의 적분 구간과 결과를 구하라.

풀이

$t<1$ : 겹침이 없다. $y(t)=0$ .
$1\le t<2$ : 앞쪽 끝만 $x$ 안에 들어왔다. 겹치는 구간은 $0\le\tau\le t-1$ 이다.

y(t)=\int_{0}^{t-1}2\,d\tau=2(t-1)

$2\le t<4$ : 뒤집힌 펄스 전체가 $x$ 안에 있다. 겹치는 구간은 $t-2<\tau\le t-1$ 이고 길이는 좁은 펄스의 폭 1이다.

y(t)=\int_{t-2}^{t-1}2\,d\tau=2

$4\le t<5$ : 뒤쪽 끝만 $x$ 안에 남았다. 겹치는 구간은 $t-2<\tau<3$ 이다.

y(t)=\int_{t-2}^{3}2\,d\tau=2(5-t)

$t\ge5$ : 겹침이 없다. $y(t)=0$ .

y(t)=\begin{cases}0, & t<1\\ 2(t-1), & 1\le t<2\\ 2, & 2\le t<4\\ 2(5-t), & 4\le t<5\\ 0, & t\ge5\end{cases}

사다리꼴이다. 오르막과 내리막의 길이는 좁은 폭 1이고, 평평한 구간의 길이는 두 폭의 차 $3-1=2$ 이다. 평평한 구간의 높이 2는 좁은 펄스의 면적 $2\times1$ 이다.

$x$ 를 뒤집어도 같다. $x(t-\tau)$ 는 $t-3<\tau\le t$ 에서 1이다. $2\le t<4$ 이면 이 윈도우가 $h$ 의 $1\le\tau<2$ 를 통째로 덮어 $y(t)=\int_1^2 2\,d\tau=2$ 이다. 적분 한계가 상수로 바뀔 뿐 값은 같다.

검산.

경계에서 이어진다: $y(1)=0$ , $y(2)=2$ , $y(4)=2$ (모두 두 식이 같은 값), $y(5)=0$ .
몇 시각의 값은 $y(1.5)=1$ , $y(3)=2$ , $y(4.5)=1$ 이다.
면적은 사다리꼴 면적 $\tfrac12\times(4+2)\times2=6$ 으로, 면적 성질의 $3\times2$ 와 같다.

예제 4. t = 0.5, 1.5, 3, 4.5, 5.5에서 한 단계씩 계산한다. 가운데 경우의 t = 3에서는 적분 한계가 a = t − 2 = 1, b = t − 1 = 2로 둘 다 t와 함께 움직이고, 값은 2 × (2 − 1) = 2이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

예제 5: 계단 입력

\begin{aligned} &\text{(가)}\quad x(t)=u(t),\quad h(t)=e^{-2t}u(t)\\ &\text{(나)}\quad x(t)=u(t),\quad h(t)=u(t) \end{aligned}

입력이 계단일 때의 출력을 계단 응답(step response)이라고 한다. 두 문제 모두 두 함수가 $t=0$ 에서 시작하고 끝나지 않는다.

어느 쪽을 뒤집을까. 계단 $x$ 를 뒤집는다. $u(t-\tau)$ 는 $\tau\le t$ 에서 1이므로

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)\,d\tau

이다. 계단과의 컨볼루션은 $h$ 를 $t$ 까지 누적한 적분이다.

경우 나누기. 움직이는 끝은 $\tau=t$ 하나이고 $h$ 의 모서리는 $\tau=0$ 하나이다. 경계는 $t=0$ 뿐이고 경우는 둘이다.

직접 유도해 보기. (가)와 (나)의 출력을 구하라.

풀이

$t<0$ : 누적할 $h$ 가 아직 없다. $y(t)=0$ .
$t\ge0$ : 겹치는 구간은 $0\le\tau\le t$ 이다.

\begin{aligned} &\text{(가)}\quad y(t)=\int_0^t e^{-2\tau}\,d\tau=\frac{1-e^{-2t}}{2}\\ &\text{(나)}\quad y(t)=\int_0^t 1\,d\tau=t \end{aligned}

(가)의 결과를 $s(t)$ 라 부르고 예제 7에서 다시 쓴다.

\text{(가)}\quad y(t)=s(t)=\begin{cases}0, & t<0\\ \dfrac{1-e^{-2t}}{2}, & t\ge0\end{cases}

\text{(나)}\quad y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\ t, & t\ge0\end{cases}

(나)의 출력 $t\,u(t)$ 는 램프이다. 끝없이 커진다.

검산.

두 출력 모두 $t=0$ 에서 0으로 이어진다.
(가)의 몇 값은 $y(0.5)=\frac{1-e^{-1}}{2}\approx0.316$ , $y(1)=\frac{1-e^{-2}}{2}\approx0.432$ 이다. (나)는 $y(2)=2$ 이다.
(가)는 $t\to\infty$ 에서 $\tfrac12$ 로 간다. 계단을 오래 넣으면 출력은 $h$ 의 면적 $\int_0^\infty e^{-2t}dt=\tfrac12$ 에 다가간다.
예제 1과 맞춰 본다. 예제 1의 입력은 $\operatorname{rect}(t-0.5)=u(t)-u(t-1)$ 이므로 선형성과 시불변성에서 예제 1의 출력은 $s(t)-s(t-1)$ 이다. $0\le t<1$ 에서는 $s(t)$ 만 남아 예제 1의 둘째 식과 같고, $t\ge1$ 에서는 $\frac{1-e^{-2t}}{2}-\frac{1-e^{-2(t-1)}}{2}=\frac{(e^2-1)\,e^{-2t}}{2}$ 로 셋째 식과 같다.
면적 성질은 쓸 수 없다. $u(t)$ 의 면적이 무한하고, 두 출력의 면적도 무한하다.

예제 5 (가). 계단 x를 뒤집어 t = −0.5, 0.5, 1에서 계산한다. 적분 구간이 늘 [0, t]라 출력은 뒤집은 계단의 끝 τ = t 왼쪽에 있는 h의 면적이고, t = 1에서 ½(1 − e⁻²) ≈ 0.4323이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

예제 6: 두 지수 감쇠 신호

x(t)=e^{-at}u(t),\qquad h(t)=e^{-bt}u(t)

(가) $a\ne b$ 일 때 $y$ 를 구하고 $a=1$ , $b=2$ 를 넣어라. (나) $a=b$ 일 때 $y$ 를 구하라.

$a>0$ , $b>0$ 이다. 두 함수 모두 $t=0$ 에서 1로 시작해 줄어들고, $a$ , $b$ 가 클수록 빨리 줄어든다.

어느 쪽을 뒤집을까. 둘 다 $t=0$ 에서 시작해 끝나지 않으므로 어느 쪽을 뒤집어도 적분 구간은 $0\le\tau\le t$ 로 같다. 식대로 $h$ 를 뒤집는다.

경우 나누기. 움직이는 끝 $\tau=t$ 가 모서리 $\tau=0$ 을 지나는 $t=0$ 하나가 경계이다.

직접 유도해 보기. $t\ge0$ 에서 적분을 계산하라.

풀이

$t<0$ : 겹침이 없다. $y(t)=0$ .
$t\ge0$ : 겹치는 구간은 $0\le\tau\le t$ 이다. $e^{-b(t-\tau)}=e^{-bt}e^{b\tau}$ 로 쓰면 $e^{-bt}$ 는 $\tau$ 와 상관없으므로 적분 밖으로 나온다.

\begin{aligned} y(t)&=\int_0^t e^{-a\tau}\,e^{-b(t-\tau)}\,d\tau=e^{-bt}\int_0^t e^{(b-a)\tau}\,d\tau\\ &=e^{-bt}\,\frac{e^{(b-a)t}-1}{b-a}=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a} \end{aligned}

y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\[2pt] \dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}, & t\ge0\end{cases}

(가) $a=1$ , $b=2$ 를 넣으면 $b-a=1$ 이다.

y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\ e^{-t}-e^{-2t}, & t\ge0\end{cases}

(나) $a=b$ 이면 피적분 함수가 $e^{-a\tau}e^{-a(t-\tau)}=e^{-at}$ 로 $\tau$ 와 상관없다. 적분은 $e^{-at}$ 에 구간 길이 $t$ 를 곱한 값이다. (가)의 식에서 $b\to a$ 로 보내도 같은 결과가 나온다. 분자와 분모가 함께 0으로 가고, 그 비의 극한은 $-\frac{d}{db}e^{-bt}\big|_{b=a}=t\,e^{-at}$ 이다.

y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\ t\,e^{-at}, & t\ge0\end{cases}

검산.

$t=0$ 에서 두 식 모두 0으로 이어진다.
부호: $a<b$ 이면 $e^{-at}>e^{-bt}$ 이고 $b-a>0$ 이다. $a>b$ 이면 분자와 분모가 함께 음수이다. 어느 쪽이든 $y\ge0$ 이다. 양수끼리의 컨볼루션이 음수일 수는 없다. $a$ 와 $b$ 를 바꾸어도 식이 같은 것은 교환법칙과 맞는다.
(가)의 몇 값은 $y(1)=e^{-1}-e^{-2}\approx0.233$ , $y(\ln2)=\tfrac12-\tfrac14=0.25$ 이다. $\ln2\approx0.693$ 에서 도함수 $-e^{-t}+2e^{-2t}$ 가 0이 되므로 이 값이 최댓값이다.
(나)에서 $a=1$ 이면 $y(1)=e^{-1}\approx0.368$ 이다.
면적: $\int x\,dt=\tfrac1a$ , $\int h\,dt=\tfrac1b$ 이다. (가)의 출력 면적은 $\frac{1}{b-a}\left(\frac1a-\frac1b\right)=\frac{1}{ab}$ 로 곱과 같다. $a=1$ , $b=2$ 이면 $1-\tfrac12=\tfrac12$ 이다. (나)는 $\int_0^\infty t\,e^{-at}dt=\frac{1}{a^2}$ 이다.

예제 6 (가), a = 1, b = 2. t = 0.7에서 피적분 함수 e^−τe^{−2(0.7−τ)}의 e^−1.4를 적분 밖으로 빼면 e^−1.4(e^0.7 − 1) ≈ 0.25이고, 이 근처에서 출력이 가장 크다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

예제 7: 늦춘 입력과 임펄스

x(t)=u(t-1)-u(t-3)

\begin{aligned} &\text{(가)}\quad h(t)=e^{-2t}u(t)\\ &\text{(나)}\quad h(t)=\delta(t)-\delta(t-1) \end{aligned}

$x(t)$ 는 $1\le t<3$ 에서 1인 펄스를 두 계단의 차로 쓴 것이다. 두 문제 모두 적분을 새로 하지 않고 푼다. (가)는 예제 5의 계단 응답 $s(t)$ 와 시불변성을, (나)는 $x*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$ 을 쓴다.

어느 쪽을 뒤집을까. (가) 시불변이므로 $u(t-t_0)$ 를 넣으면 $s(t)$ 가 $t_0$ 만큼 늦게 나온다. 선형이므로 $x$ 의 출력은 $y(t)=s(t-1)-s(t-3)$ 이다. 적분으로 확인할 때는 $h$ 를 뒤집는다. (나) 분배법칙과 이동 성질로 $y(t)=x*\delta(t)-x*\delta(t-1)=x(t)-x(t-1)$ 이다. $h$ 를 뒤집어 보면 $\tau=t$ 와 $\tau=t-1$ 에 놓인 두 임펄스가 $x$ 의 값을 하나씩 집어낸다.

경우 나누기. (가) $s(t-1)$ 은 $t=1$ 에서, $s(t-3)$ 은 $t=3$ 에서 시작한다. 경계는 $t=1,\ 3$ 이다. (나) $x(t)$ 는 $1\le t<3$ 에서, $x(t-1)$ 은 $2\le t<4$ 에서 1이다. 두 펄스의 모서리 $t=1,\ 2,\ 3,\ 4$ 가 경계이다.

직접 유도해 보기. (가)와 (나)의 출력을 구하라.

풀이

(가)

$t<1$ : 두 항 모두 0이다. $y(t)=0$ .
$1\le t<3$ : $s(t-1)$ 만 있다. 적분으로 써도 겹치는 구간 $1\le\tau\le t$ 에서 같은 값이 나온다.

y(t)=s(t-1)=\int_1^t e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=\frac{1-e^{-2(t-1)}}{2}

$t\ge3$ : 두 항이 모두 있다. 적분으로는 $x$ 전체 $1\le\tau<3$ 이 겹친다.

\begin{aligned} y(t)&=s(t-1)-s(t-3)=\int_1^3 e^{-2(t-\tau)}\,d\tau\\ &=\frac{e^{-2(t-3)}-e^{-2(t-1)}}{2} \end{aligned}

y(t)=\begin{cases}0, & t<1\\ \dfrac{1-e^{-2(t-1)}}{2}, & 1\le t<3\\[6pt] \dfrac{e^{-2(t-3)}-e^{-2(t-1)}}{2}, & t\ge3\end{cases}

(나)

$t<1$ : $x(t)=x(t-1)=0$ . $y(t)=0$ .
$1\le t<2$ : $x(t)=1$ , $x(t-1)=0$ . $y(t)=1$ .
$2\le t<3$ : $x(t)=1$ , $x(t-1)=1$ . 두 복사본이 서로 지워 $y(t)=0$ .
$3\le t<4$ : $x(t)=0$ , $x(t-1)=1$ . $y(t)=-1$ .
$t\ge4$ : $y(t)=0$ .

y(t)=\begin{cases}0, & t<1\\ 1, & 1\le t<2\\ 0, & 2\le t<3\\ -1, & 3\le t<4\\ 0, & t\ge4\end{cases}

검산.

(가) $t=3$ 에서 두 식 모두 $y(3)=\frac{1-e^{-4}}{2}\approx0.491$ 로 이어진다. 출력은 여기서 가장 크다. 입력 펄스가 끝나는 순간이다.
(가)의 몇 값은 $y(2)=\frac{1-e^{-2}}{2}\approx0.432$ , $y(4)=\frac{e^{-2}-e^{-6}}{2}\approx0.066$ 이다.
(가)의 면적은 $2\times\tfrac12=1$ 이어야 한다. $\int_1^3\frac{1-e^{-2(t-1)}}{2}dt=1-\frac{1-e^{-4}}{4}$ 와 $\int_3^\infty\frac{e^{-2(t-3)}-e^{-2(t-1)}}{2}dt=\frac{1-e^{-4}}{4}$ 를 더하면 1이다.
(나)의 출력은 경계에서 뛴다. $h$ 가 임펄스이므로 $x$ 의 점프가 출력에 그대로 옮겨 온다. 이어짐 대신 값으로 확인한다: $y(1.5)=1$ , $y(2.5)=0$ , $y(3.5)=-1$ .
(나)의 면적: $h$ 의 면적은 $1-1=0$ 이므로 출력 면적도 0이어야 한다. $1\times1+(-1)\times1=0$ 이다.

예제 7 (가). 입력 펄스가 1초 늦게 시작하므로 경계도 1과 3으로 옮겨 간다. t = 4에서는 펄스 전체 [1, 3]이 겹쳐 ½(e⁻² − e⁻⁶) ≈ 0.0664이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

예제 8: 램프와 사각 펄스

x(t)=t\,[u(t)-u(t-3)],\qquad h(t)=u(t)-u(t-1)

$x(t)$ 는 $0\le t<3$ 에서 $t$ 로 올라가다가 $t=3$ 에서 0으로 떨어지는 램프이다. $h(t)$ 는 폭 1의 사각 펄스이다.

어느 쪽을 뒤집을까. 사각 펄스 $h$ 를 뒤집는다. 뒤집어도 높이 1인 윈도우이므로 출력은 폭 1인 윈도우 $[t-1,\ t]$ 안에 든 $x$ 의 면적이다. 피적분 함수는 $x(\tau)=\tau$ 그대로이다. 램프 $x$ 를 뒤집으면 피적분 함수가 $t-\tau$ 가 되어 식이 한 단계 길어진다.

경우 나누기. 윈도우의 두 끝 $t-1$ , $t$ 가 램프의 모서리 $0$ , $3$ 을 지나는 시각이 경계이다. $t$ 가 $0$ 을 지나는 $t=0$ , $t-1$ 이 $0$ 을 지나는 $t=1$ , $t$ 가 $3$ 을 지나는 $t=3$ , $t-1$ 이 $3$ 을 지나는 $t=4$ 이다. $1\le t<3$ 에서는 윈도우의 두 끝이 모두 램프 안에 있어 적분의 위아래 한계가 둘 다 $t$ 를 품는다.

직접 유도해 보기. 0이 아닌 세 경우의 결과를 구하라.

풀이

$t<0$ : 윈도우가 모두 0보다 왼쪽에 있다. $y(t)=0$ .
$0\le t<1$ : 윈도우의 오른쪽 끝만 램프 안에 있다.

y(t)=\int_0^t\tau\,d\tau=\frac{t^2}{2}

$1\le t<3$ : 윈도우 전체가 램프 안에 있다.

y(t)=\int_{t-1}^{t}\tau\,d\tau=\frac{t^2-(t-1)^2}{2}=t-\frac12

$3\le t<4$ : 윈도우의 왼쪽 끝만 램프 안에 남았다.

y(t)=\int_{t-1}^{3}\tau\,d\tau=\frac{9-(t-1)^2}{2}

$t\ge4$ : 윈도우가 램프의 오른쪽 끝 3을 지나갔다. $y(t)=0$ .

y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\ \dfrac{t^2}{2}, & 0\le t<1\\[6pt] t-\dfrac12, & 1\le t<3\\[6pt] \dfrac{9-(t-1)^2}{2}, & 3\le t<4\\ 0, & t\ge4\end{cases}

$x$ 를 뒤집어도 같다. $x(t-\tau)=t-\tau$ 는 $t-3<\tau\le t$ 에서만 0이 아니다. $1\le t<3$ 이면 이 구간이 $h$ 의 $0\le\tau<1$ 을 통째로 덮어 $y(t)=\int_0^1(t-\tau)\,d\tau=t-\tfrac12$ 이다. $3\le t<4$ 이면 겹침이 $t-3<\tau<1$ 로 줄어 $\int_{t-3}^{1}(t-\tau)\,d\tau=\frac{9-(t-1)^2}{2}$ 이다.

검산.

경계에서 이어진다: $y(1)=\tfrac12$ , $y(3)=\tfrac52$ (모두 두 식이 같은 값), $y(4)=0$ .
출력은 $t=3$ 에서 가장 크다. 윈도우가 램프의 가장 높은 부분 $[2,\ 3]$ 을 덮는 순간이다. 램프는 $t=3$ 에서 3에서 0으로 떨어지지만 출력은 끊기지 않고 꺾이기만 한다.
몇 시각의 값은 $y(0.5)=0.125$ , $y(2)=1.5$ , $y(3.5)=1.375$ 이다.
면적: $x$ 의 면적은 $\tfrac92$ , $h$ 의 면적은 1이다. 출력 면적은 $\tfrac16+3+\tfrac43=\tfrac92$ 로 맞는다.

예제 8. 1 ≤ t < 3의 t = 2에서는 폭 1인 윈도우 [1, 2]가 램프 위에 있어 [½τ²]₁² = ½(4 − 1) = 1.5이다. 뒤집기를 x로 바꾸면 같은 t의 한계가 0과 1로 고정되고 피적분 함수가 2 − τ가 된다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.