컨볼루션 계산

컨볼루션 적분을 손으로 풀 때, 출력 시각 $t$ 의 범위를 어디서 나누고 경우마다 적분 한계는 어떻게 정할까?

예제 1: 사각 펄스와 지수 감쇠

x(t)=\operatorname{rect}(t-0.5),\qquad h(t)=e^{-2t}u(t)

$x(t)$ 는 $0\le t<1$ 에서 1이고 나머지에서 0인 사각 펄스이다. $h(t)$ 는 $t=0$ 에서 1로 시작해 줄어드는 지수 함수이다.

어느 쪽을 뒤집을까. 식 $\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$ 는 $h$ 를 뒤집는다. $h$ 를 고정하고 $x$ 를 뒤집어 움직여도 된다. 교환법칙 때문에 어느 쪽을 뒤집어도 출력은 같다. 여기서는 식대로 $h$ 를 뒤집는다.

경우 나누기. $h(t-\tau)$ 는 $\tau\le t$ 에서만 0이 아니다(뒤집힌 지수의 오른쪽 끝이 $\tau=t$ ). $x(\tau)$ 는 $0\le\tau<1$ 에서만 0이 아니다. 움직이는 끝 $\tau=t$ 가 고정된 모서리 $0$ 과 $1$ 을 지날 때 겹치는 구간의 모양이 바뀐다. 따라서 출력 시각 $t$ 를 $t<0$ , $0\le t<1$ , $t\ge1$ 세 경우로 나눈다. 경우를 가르는 변수는 적분변수 $\tau$ 가 아니라 출력 시각 $t$ 이다.

직접 유도해 보기. 세 경우 각각의 적분 구간과 결과를 구하라.

풀이

$t<0$ : 뒤집힌 지수가 모두 $\tau<0$ 에 있어 $x(\tau)$ 와 겹치지 않는다. $y(t)=0$ .
$0\le t<1$ : 겹치는 구간은 $0\le\tau\le t$ 이다.

y(t)=\int_0^t e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=e^{-2t}\,\frac{e^{2t}-1}{2}=\frac{1-e^{-2t}}{2}

$t\ge1$ : 사각 펄스 전체가 겹친다. 겹치는 구간은 $0\le\tau<1$ 이다.

y(t)=\int_0^1 e^{-2(t-\tau)}\,d\tau=\frac{(e^{2}-1)\,e^{-2t}}{2}

정리하면

y(t)=\begin{cases}0, & t<0\\[2pt] \dfrac{1-e^{-2t}}{2}, & 0\le t<1\\[6pt] \dfrac{(e^{2}-1)\,e^{-2t}}{2}, & t\ge1\end{cases}

$x$ 를 뒤집어도 같다. $y(t)=\int h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau$ 로 쓰면 $x(t-\tau)$ 는 $t-1<\tau\le t$ 에서 1이다. $0\le t<1$ 이면 $\int_0^t e^{-2\tau}d\tau=\frac{1-e^{-2t}}{2}$ , $t\ge1$ 이면 $\int_{t-1}^{t}e^{-2\tau}d\tau=\frac{e^{-2(t-1)}-e^{-2t}}{2}$ 로 같은 결과가 나온다. 적분 구간은 달라도 결과는 같다.

검산.

$t=1$ 에서 두 식이 모두 $\frac{1-e^{-2}}{2}\approx0.432$ 로 이어진다. 출력은 여기서 가장 크다. 사각 펄스가 끝나는 순간이다.
몇 시각의 값은 $y(-1.20)=0$ , $y(0.40)=\frac{1-e^{-0.8}}{2}\approx0.275$ , $y(1.45)\approx0.176$ 이다.
면적은 $\int_0^1\frac{1-e^{-2t}}{2}dt+\int_1^\infty\frac{(e^2-1)e^{-2t}}{2}dt=\frac12$ 로, 면적 성질의 $1\times\tfrac12$ 와 같다.

예제 1을 $x$ 를 뒤집어 풀이 순서대로 계산한다. $t$ 를 $-0.5$ , $0.4$ , $1.45$ 에 차례로 놓고, 각 $t$ 마다 어느 경우인지, 적분 한계 $a$ 와 $b$ , 피적분 함수, 역도함수, 역도함수에 한계를 넣은 식을 하나씩 구한다. 그렇게 얻은 값을 출력 그래프에 점으로 찍는다. $t=0.4$ 에서는 여섯 단계를 거쳐 $y(0.4)=\int_0^{0.4}e^{-2\tau}\,d\tau=\tfrac12(1-e^{-0.8})\approx0.2753$ 이 나온다. 세 점은 경우마다 색이 다른 출력 곡선 위에 놓인다.

예제 1. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

$h$ 를 뒤집어 $y(0.4)$ 를 구하고, 피적분 함수가 바뀌어도 값이 같은지 확인하라.
관찰
이번에는 사각 펄스가 고정되고 뒤집힌 지수가 움직인다. 피적분 함수가 $e^{-2(0.4-\tau)}$ , 역도함수가 $\tfrac12e^{-2(0.4-\tau)}$ 로 바뀌지만 한계 0과 0.4를 넣으면 $\tfrac12(e^{0}-e^{-0.8})$ 로 같아 $y(0.4)=0.2753$ 이다.
$t=1.45$ 는 어느 경우에 드는지, 적분 한계가 어디에서 나오는지 확인하라.
관찰
경우 3이다. 두 한계가 모두 움직이는 $x$ 의 끝에서 나온다: $a=t-1=0.45$ , $b=t=1.45$ . 뒤집은 윈도우 전체가 $h$ 위에 있다.
세 시각의 값을 모두 구해 출력 곡선 위에 놓고, 곡선이 어디에서 꺾이며 가장 높은지 확인하라.
관찰
세 점 $y(-0.5)=0$ , $y(0.4)=0.2753$ , $y(1.45)=0.1758$ 이 경우마다 색이 다른 출력 곡선 위에 있고, 옆에 경우별 식이 나온다. 곡선은 경계 $t=1$ 에서 꺾이며 가장 높다.

예제 2: 사각 펄스와 조각 함수

x(t)=\operatorname{rect}(t-0.5)

h(t)=\begin{cases}t+1, & -1\le t<0\\ 1, & 0\le t<1\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}

$h(t)$ 는 $t=-1$ 에서 0으로 시작해 $t=0$ 까지 1로 오르고, $0\le t<1$ 에서 1을 유지한다. $t<0$ 에서도 값이 있으므로 이 임펄스 응답의 시스템은 인과가 아니다. 입력보다 먼저 출력이 나올 수 있다.

$x$ 를 뒤집으면 식이 간단해진다. $x(t-\tau)$ 는 $t-1<\tau\le t$ 에서 1이므로

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau=\int_{t-1}^{t}h(\tau)\,d\tau

이다. 폭 1인 윈도우 $[t-1,\,t]$ 안에 든 $h$ 의 면적이 출력이다. 윈도우의 두 끝 $t-1$ , $t$ 가 $h$ 의 꺾이는 점 $-1$ , $0$ , $1$ 을 지날 때 경우가 바뀐다. 따라서 출력 시각의 경계는 $t=-1,\ 0,\ 1,\ 2$ 이다.

직접 유도해 보기. 다섯 경우의 결과를 구하라.

풀이

$t<-1$ : 윈도우가 모두 $-1$ 보다 왼쪽에 있다. $y(t)=0$ .
$-1\le t<0$ : 윈도우 안에서 $h$ 가 0이 아닌 부분은 $[-1,\,t]$ 이고 그 위에서 $h=\tau+1$ 이다.

y(t)=\int_{-1}^{t}(\tau+1)\,d\tau=\frac{(t+1)^2}{2}

$0\le t<1$ : 윈도우의 왼쪽 끝 $t-1$ 은 램프 구간에, 오른쪽 끝 $t$ 는 평평한 구간에 있다.

\begin{aligned} y(t)&=\int_{t-1}^{0}(\tau+1)\,d\tau+\int_{0}^{t}1\,d\tau\\ &=\frac{1-t^2}{2}+t=\frac12+t-\frac{t^2}{2} \end{aligned}

$1\le t<2$ : 윈도우의 왼쪽 끝만 평평한 구간 안에 있다.

y(t)=\int_{t-1}^{1}1\,d\tau=2-t

$t\ge2$ : 윈도우가 $h$ 의 오른쪽 끝 1을 지나갔다. $y(t)=0$ .

y(t)=\begin{cases}0, & t<-1\\ \dfrac{(t+1)^2}{2}, & -1\le t<0\\[6pt] \dfrac12+t-\dfrac{t^2}{2}, & 0\le t<1\\[6pt] 2-t, & 1\le t<2\\ 0, & t\ge2\end{cases}

검산.

경계에서 이어진다: $y(0)=\tfrac12$ (두 식 모두), $y(1)=1$ (두 식 모두), $y(2)=0$ .
출력은 $t=1$ 에서 가장 크다. 윈도우가 $h$ 의 평평한 부분 $[0,1]$ 과 딱 겹치는 순간이다.
면적: $h$ 의 면적은 $\tfrac12+1=\tfrac32$ , $x$ 의 면적은 1이다. 출력 면적은 $\tfrac16+\tfrac56+\tfrac12=\tfrac32$ 로 맞는다.
출력은 입력이 시작하는 $t=0$ 보다 먼저 $t=-1$ 에서 시작한다. $h$ 가 인과가 아니기 때문이다.

예제 2를 다섯 시각 $t=-1.5,\ -0.5,\ 0.5,\ 1.5,\ 2.5$ 에서 계산하면, $t=-0.5$ 에서는 윈도우 $[t-1,\,t]$ 안에 든 램프 조각의 면적이 $\int_{-1}^{-0.5}(\tau+1)\,d\tau=\tfrac12(0.5^2-0^2)=0.125$ 이다. $t=0.5$ 에서는 겹친 구간이 램프 조각 $[-0.5,\,0]$ 과 평평한 조각 $[0,\,0.5]$ 로 나뉘어 적분이 두 항이 된다.

예제 2(h의 첫 조각은 t + 1). 경계 −1, 0, 1, 2로 나뉜 다섯 경우마다 t를 하나씩 골라 계산한 값이 출력 그래프의 점이고, 0이 아닌 세 경우의 식은 출력 곡선과 같은 색이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

$y(0.5)$ 는 어느 경우에 드는지 보고, 두 항의 적분으로 값을 구하라.
관찰
경우 3이다. 적분이 두 항이라 $\left[\tfrac12(\tau+1)^2\right]_{-0.5}^{0}+\left[\tau\right]_{0}^{0.5}=\tfrac12(1^2-0.5^2)+(0.5-0)$ 이고, $y(0.5)=0.875$ 이다.
$y(1.5)$ 의 적분 구간이 어디인지 보고 값을 구하라.
관찰
적분 구간이 평평한 조각의 $[0.5,\,1]$ 뿐이라 $y(1.5)=(1-0.5)=0.5$ 이다.
$h$ 를 뒤집어 $y(0.5)$ 를 구하고, 앞에서 구한 값과 같은지 확인하라.
관찰
뒤집힌 $h$ 가 고정된 사각 펄스 위를 지나며 피적분 함수가 $1$ 과 $(1.5-\tau)$ 로 바뀐다. 한계도 $[0,\,0.5]$ 와 $[0.5,\,1]$ 로 달라지지만 $(0.5-0)+\tfrac12(1^2-0.5^2)$ 로 $y(0.5)=0.875$ 는 같다.

예제 2에서 $y(1.5)$ 를 구하라.

풀이

답 0.5

$t=1.5$ 는 경우 4( $1\le t<2$ )이다. 윈도우 $[0.5,\,1.5]$ 안에서 $h$ 가 0이 아닌 부분은 평평한 조각의 $[0.5,\,1]$ 이므로 $y(1.5)=\int_{0.5}^{1}1\,d\tau=0.5$ 이다. 식 $2-t$ 에 넣어도 같다.

예제 1의 경계 $t=0$ 과 $t=1$ 은 무엇이 만나는 시각인지 고르라.

(가) 뒤집힌 지수의 오른쪽 끝 $\tau=t$ 가 사각 펄스의 모서리 $\tau=0$ , $\tau=1$ 에 닿는 시각
(나) 지수 함수 $e^{-2t}$ 의 값이 1과 $e^{-2}$ 가 되는 시각
(다) 적분변수 $\tau$ 가 0과 1이 되는 순간

풀이

답 (가) 뒤집힌 지수의 오른쪽 끝 $\tau=t$ 가 사각 펄스의 모서리 $\tau=0$ , $\tau=1$ 에 닿는 시각

(나) 경계는 함수의 값이 아니라 두 함수의 끝이 만나는 위치로 정해진다.
(다) $\tau$ 는 적분하는 동안 계속 움직인다. 경우는 출력 시각 $t$ 로 나눈다.

겹친 구간의 오른쪽 끝은 움직이는 끝 $\tau=t$ 와 사각 펄스의 오른쪽 모서리 1 가운데 작은 쪽이고, 왼쪽 끝은 모서리 0이다. $t$ 가 0을 지나면 겹침이 생기고(경우 2), 1을 지나면 오른쪽 끝이 $t$ 에서 1로 바뀐다(경우 3).