REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L03

3장 연속시간 시스템과 컨볼루션

컨볼루션의 성질

컨볼루션에도 곱셈처럼 순서를 바꾸거나 묶는 규칙이 있을까? 있다면 그 규칙은 시스템을 잇는 방법과 어떻게 이어질까?

교환·결합·분배·항등

컨볼루션에는 곱셈과 비슷한 성질이 있다. 차례로 commutative, associative, distributive, identity라고 부른다.

교환:x∗h=h∗x결합:(x∗h1)∗h2=x∗(h1∗h2)분배:x∗(h1+h2)=x∗h1+x∗h2항등:x∗δ=x\begin{aligned} &\text{교환:} && x*h=h*x\\ &\text{결합:} && (x*h_1)*h_2=x*(h_1*h_2)\\ &\text{분배:} && x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2\\ &\text{항등:} && x*\delta=x \end{aligned}

각 성질은 시스템을 연결하는 방법과 대응한다. 교환법칙은 입력과 임펄스 응답의 역할을 바꿔도 출력이 같다는 뜻이다. 그래서 계산할 때 둘 중 편한 쪽을 뒤집으면 된다. 결합법칙은 LTI 시스템 두 개를 직렬로 이으면 임펄스 응답이 h1∗h2h_1*h_2인 시스템 하나와 같다는 뜻이다. 교환법칙과 합치면 직렬로 이은 LTI 시스템은 순서를 바꿔도 된다. 분배법칙은 두 시스템을 병렬로 놓고 출력을 더하면 임펄스 응답이 h1+h2h_1+h_2인 시스템 하나와 같다는 뜻이다. 항등은 sifting 성질 그 자체이다.

x∗δ(t)=∫−∞∞x(τ) δ(t−τ) dτ=x(t)x*\delta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau=x(t)

같은 계산으로 이동한 임펄스와의 컨볼루션은 이동이 된다: x∗δ(t−t0)=x(t−t0)x*\delta(t-t_0)=x(t-t_0). 임펄스 응답이 δ(t−t0)\delta(t-t_0)인 시스템은 t0t_0만큼 늦추는 지연기이다.

직접 유도해 보기. 교환법칙이 성립함을 보여라.

풀이

(x∗h)(t)=∫x(τ)h(t−τ) dτ(x*h)(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau에서 σ=t−τ\sigma=t-\tau로 치환한다. dτ=−dσd\tau=-d\sigma이고, τ\tau가 −∞→∞-\infty\to\infty로 갈 때 σ\sigma는 ∞→−∞\infty\to-\infty로 간다. 적분 방향을 바꾸면 부호가 다시 바뀐다.

∫−∞∞x(τ) h(t−τ) dτ=∫−∞∞h(σ) x(t−σ) dσ=(h∗x)(t)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau&=\int_{-\infty}^{\infty}h(\sigma)\,x(t-\sigma)\,d\sigma\\ &=(h*x)(t) \end{aligned}

같은 방법으로 다른 성질도 얻는다. 예를 들어 출력의 미분은 한쪽 신호만 미분해 컨볼루션한 것과 같다.

ddt(x∗h)(t)=(x∗dhdt)(t)=(dxdt∗h)(t)\frac{d}{dt}(x*h)(t)=\left(x*\frac{dh}{dt}\right)(t)=\left(\frac{dx}{dt}*h\right)(t)

직접 유도해 보기. 이 미분 성질을 보여라.

풀이

ddt∫x(τ)h(t−τ) dτ\frac{d}{dt}\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau에서 tt를 품은 인자는 h(t−τ)h(t-\tau)뿐이므로 미분은 그 인자에만 걸린다. 결과는 ∫x(τ)h′(t−τ) dτ=(x∗h′)(t)\int x(\tau)h'(t-\tau)\,d\tau=(x*h')(t)이다. 교환법칙으로 h∗xh*x에서 시작하면 (h∗x′)(t)=(x′∗h)(t)(h*x')(t)=(x'*h)(t)도 얻는다. 적분과 미분의 순서를 바꿀 수 있는 신호(보통 다루는 조각별로 매끄러운 신호)에서 성립한다.

면적 성질

손으로 푼 컨볼루션이 맞는지 적분을 다시 하지 않고 확인할 수 있을까?

출력의 면적은 입력의 면적과 임펄스 응답의 면적을 곱한 것이다.

∫−∞∞y(t) dt=∫−∞∞x(τ)[∫−∞∞h(t−τ) dt]dτ=∫−∞∞x(τ) [h의 면적] dτ=[x의 면적]×[h의 면적]\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}y(t)\,dt &=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)\,dt\right]d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\big[h\text{의 면적}\big]\,d\tau\\ &=\big[x\text{의 면적}\big]\times\big[h\text{의 면적}\big] \end{aligned}

첫 줄에서 적분 순서를 바꾸었다. 안쪽 적분은 hh를 τ\tau만큼 옮긴 함수의 면적이므로 τ\tau와 상관없이 hh의 면적과 같다. 적분 순서를 바꾸려면 두 신호의 면적이 유한해야 한다. 정확히는 ∫∣x∣ dt\int|x|\,dt와 ∫∣h∣ dt\int|h|\,dt가 유한해야 한다. u(t)u(t)나 정현파처럼 면적이 유한하지 않은 신호에는 이 성질을 쓸 수 없다. 예를 들어 u(t)∗e−tu(t)=(1−e−t)u(t)u(t)*e^{-t}u(t)=(1-e^{-t})u(t)는 면적이 무한하다.

예제 1에서 쓸 쌍으로 확인한다. 폭 1, 높이 1인 사각 펄스의 면적은 1이고 e−2tu(t)e^{-2t}u(t)의 면적은 ∫0∞e−2tdt=12\int_0^\infty e^{-2t}dt=\tfrac12이다. 따라서 출력의 면적은 12\tfrac12이어야 한다. 다음 예제 1의 답도 이 값을 만족한다. 손으로 푼 컨볼루션은 이렇게 면적으로 검산한다.

임펄스 응답이 h1h_1, h2h_2인 LTI 시스템을 직렬로 이었다. 전체 시스템의 임펄스 응답을 고르라.

  1. (가) h1(t) h2(t)h_1(t)\,h_2(t)
  2. (나) 어느 시스템이 앞에 오는지에 따라 달라서 하나로 정할 수 없다.
  3. (다) h1∗h2h_1*h_2
  4. (라) h1+h2h_1+h_2
풀이

답 (다) h1∗h2h_1*h_2

  • (가) 같은 시각의 값끼리 곱한 것이다. 시스템을 이으면 곱이 아니라 컨볼루션이 된다.
  • (나) 교환법칙 때문에 h1∗h2=h2∗h1h_1*h_2=h_2*h_1이다.
  • (라) 두 시스템을 병렬로 놓고 출력을 더할 때의 임펄스 응답이다.

첫 시스템의 출력은 x∗h1x*h_1이고, 둘째 시스템을 지나면 (x∗h1)∗h2(x*h_1)*h_2이다. 결합법칙으로 이것은 x∗(h1∗h2)x*(h_1*h_2)이므로 전체 임펄스 응답은 h1∗h2h_1*h_2이다. 교환법칙까지 쓰면 두 시스템의 순서를 바꿔도 출력이 같다.

다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. "ddt(x∗h)=dxdt∗dhdt\dfrac{d}{dt}(x*h)=\dfrac{dx}{dt}*\dfrac{dh}{dt}이다."

  1. 참
  2. 거짓
풀이

답 거짓

  • 참 미분은 한쪽에만 걸린다. 두 신호를 모두 미분하면 출력을 두 번 미분한 것이 된다.

ddt(x∗h)=x∗dhdt=dxdt∗h\frac{d}{dt}(x*h)=x*\frac{dh}{dt}=\frac{dx}{dt}*h이다. 적분 ∫x(τ) h(t−τ) dτ\int x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau에서 tt를 품은 인자는 h(t−τ)h(t-\tau) 하나뿐이기 때문이다. 예를 들어 x=h=u(t)x=h=u(t)이면 x∗h=t u(t)x*h=t\,u(t)이고 그 미분은 u(t)u(t)이다. 두 신호를 모두 미분하면 δ∗δ=δ\delta*\delta=\delta가 되어 다르다.