임펄스 응답으로 본 LTI 시스템

임펄스 응답 하나만 보고 LTI 시스템의 출력과 성질을 모두 알 수 있을까?

LTI 시스템은 임펄스 응답 하나로 정해진다. 입력에서 출력까지 가는 흐름은 네 단계이다.

1. 입력을 가중 임펄스로 쪼갠다: $x(t)=\int x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau$.
2. 시스템에 넣는다: $y(t)=\mathcal H\left\{\int x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau\right\}$.
3. LTI이면 시스템과 적분의 순서를 바꿀 수 있다: $y(t)=\int x(\tau)\,\mathcal H\{\delta(t-\tau)\}\,d\tau$.
4. 따라서 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션이다: $y=x*h$.

LTI 시스템의 성질도 $h$에서 바로 알 수 있다. $t<0$에서 $h(t)=0$이면 컨볼루션에 현재와 과거의 입력만 들어가므로 인과이다(예제 2의 $h$는 인과가 아니다). $h(t)=c\,\delta(t)$ 꼴이면 $y(t)=c\,x(t)$로 현재 입력만 쓰므로 무기억이다. 입력이 $|x(t)|\le M<\infty$이면

이므로 $\int|h(\tau)|\,d\tau$가 유한하면 출력에도 시간과 무관한 유한한 상한이 있어 BIBO 안정이다.

고에너지 광자 검출기가 LTI 시스템의 예이다. 광자 하나가 들어오면 검출기는 빠르게 켜졌다가 지수 함수처럼 줄어드는 빛을 낸다. 이것이 검출기의 임펄스 응답이다. 광자가 시각 $t_1, t_2, \dots$에 들어오면 입력은 임펄스의 합 $\sum_k\delta(t-t_k)$이고, 출력은 같은 응답을 도착 시각만큼 옮겨 더한 $\sum_k h(t-t_k)$이다. 광자가 드물면 응답이 하나씩 따로 보이고, 잦으면 앞 응답이 다 줄어들기 전에 다음 응답이 얹혀 쌓인다. 검출기가 포화하지 않을 만큼 광자가 적을 때 이 LTI 설명이 맞는다.

광자가 3개 들어올 때와 9개 들어올 때를 비교하면, 광자(화살표)마다 같은 모양의 응답이 하나씩 생긴다. 9개일 때는 점선으로 그린 응답들이 겹친 곳에서 실선 출력이 그 합으로 쌓여 올라간다.

RC 회로도 같은 생각으로 설명한다. 임펄스 응답이 $h(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t)$인 시스템이 있다(여기서 $\tau=RC>0$은 적분변수가 아니라 시정수이다). 단위 계단을 넣은 출력은 $t\ge0$에서 $s(t)=\int_0^t\frac1\tau e^{-v/\tau}\,dv=1-e^{-t/\tau}$이고, $t<0$에서는 0이다(적분변수는 $v$). 이 시스템에 펄스를 넣으면, 펄스를 두 계단의 차 $u(t)-u(t-T)$로 보고 각 계단의 응답을 빼서 출력을 얻는다. 뒤의 계단이 늦게 들어온 만큼 그 응답도 늦게 나오는 것이 시불변성이고, 부호를 바꿔 더하는 것이 선형성이다.

이 계산을 세 줄로 나누어 그리면, 위 줄은 입력 펄스와 그것을 이루는 두 계단(점선), 가운데 줄은 계단 응답 $s(t)$와 임펄스 응답 $h(t)$, 아래 줄은 두 계단의 응답(점선)과 그 합인 출력이다. $s(t)$의 값은 $h(t)$를 0부터 $t$까지 적분한 면적(보라색)과 같고, 출력 $y=s(t)-s(t-T)$는 두 계단 응답의 높이(점선 위 두 점)를 뺀 값이다.

처음 상태는 1 V, 폭 T = 20 ms인 펄스를 τ = RC = 20 ms인 시스템에 넣은 것이고, 시스템의 초기 상태는 0이다. 계단 응답 그림의 주황 점은 t − T에서의 값 s(t − T)이고, 출력의 합에서 빼는 값이 이것이다(처음 상태 0.393).