곱셈과 거듭제곱근

두 복소수를 곱하면 평면 위의 점은 어디로 옮겨 갈까? 거꾸로, $n$ 번 곱해서 $z$ 가 되는 수는 몇 개이고 어디에 있을까?

곱셈과 나눗셈

극형식으로 곱하면 크기는 곱해지고 각은 더해진다. 두 수를 극형식으로 쓰고 곱해 확인한다.

\begin{gathered} z_1=r_1(\cos\theta_1+j\sin\theta_1)\\ z_2=r_2(\cos\theta_2+j\sin\theta_2) \end{gathered}

\begin{aligned} z_1z_2&=r_1r_2\big[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)\\ &\qquad+j(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\big]\\ &=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+j\sin(\theta_1+\theta_2)\big] \end{aligned}

마지막 줄은 삼각함수의 덧셈정리이다. 곱의 크기는 두 크기의 곱이고, 곱의 편각은 두 편각의 합이다. 나눗셈은 $z_1=(z_1/z_2)\,z_2$ 로 놓고 같은 규칙을 쓰면 얻는다( $z_2\ne0$ ).

|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\qquad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad \arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2

편각 식은 $2\pi$ 의 정수배 차이를 허용하는 등식이다. 주값끼리 더한 값이 $-\pi$ 에서 $\pi$ 사이를 벗어나면 $2\pi$ 를 더하거나 빼서 범위 안으로 되돌린다.

곱 $zw$ 는 $z$ 를 $\arg w$ 만큼 돌리고 길이를 $|w|$ 배로 늘린 것이다. $|w|$ 는 결과의 길이만, $\arg w$ 는 방향만 바꾼다. $w=j$ 를 곱하면 결과는 $z$ 보다 90° 앞에 놓인다.

처음 상태는 |z| = 1, arg z = 30°인 z에 |w| = 1.5, arg w = 60°인 w를 곱한 것이고, 곱 zw는 길이 1 × 1.5 = 1.5, 각 30° + 60° = 90°이다.

해 보기

$w=j$ 를 곱하면 $zw$ 가 어디에 놓이는지 확인하라.
관찰
길이는 $1\times1=1$ 그대로이고 각은 $30^\circ+90^\circ=120^\circ$ 라, $zw=-0.5+j0.866$ 이 $z$ 를 90° 돌린 자리에 놓인다.
$w=-1$ 을 곱하면 $zw$ 가 어디에 놓이는지, 각의 주값이 얼마인지 확인하라.
관찰
각의 합은 $30^\circ+180^\circ=210^\circ$ 이고, $zw$ 는 원점을 사이에 두고 $z$ 의 반대쪽에 놓인다. 같은 방향을 주값으로 쓰면 $-150^\circ$ 이다.
크기 1.2인 $z$ 에 그 켤레를 곱한 값이 어디에 놓이는지 확인하라.
관찰
두 각 $30^\circ$ 와 $-30^\circ$ 가 지워져 $zw=1.44+j0$ , 곧 $|z|^2$ 이 실수축 위에 놓인다.

직접 계산해 보기. $z_1=1+j$ , $z_2=\sqrt3+j$ 일 때 $z_1z_2$ 와 $z_1/z_2$ 를 직교형식과 극형식 두 가지로 구하고, 두 결과가 같은지 확인하라.

풀이

극형식으로는 $z_1=\sqrt2\,e^{j\pi/4}$ , $z_2=2e^{j\pi/6}$ 이다.

z_1z_2=2\sqrt2\,e^{j5\pi/12},\qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{j\pi/12}

직교형식으로는 다음과 같다.

\begin{aligned} z_1z_2&=(1+j)(\sqrt3+j)=(\sqrt3-1)+j(\sqrt3+1)\\ &\approx0.732+j2.732 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{(1+j)(\sqrt3-j)}{(\sqrt3+j)(\sqrt3-j)}\\ &=\frac{(\sqrt3+1)+j(\sqrt3-1)}{4}\approx0.683+j0.183 \end{aligned}

$2\sqrt2\cos75^\circ\approx0.732$ , $2\sqrt2\sin75^\circ\approx2.732$ , $\tfrac{\sqrt2}{2}\cos15^\circ\approx0.683$ , $\tfrac{\sqrt2}{2}\sin15^\circ\approx0.183$ 이므로 두 방법의 결과가 같다.

거듭제곱근

$w^n=z$ 를 만족하는 $w$ 를 $z$ 의 $n$ 제곱근이라고 하고 $w=\sqrt[n]{z}$ 로 쓴다. $z=re^{j\theta}$ , $w=Re^{j\phi}$ 로 놓으면 곱셈 규칙에서

w^n=R^ne^{jn\phi}=re^{j\theta}

이다. 크기와 편각을 따로 비교한다. 편각은 $2\pi$ 의 정수배만큼 달라도 같은 점이므로 $2k\pi$ 를 붙여 둔다.

R^n=r,\qquad n\phi=\theta+2k\pi\quad\Rightarrow\quad \phi=\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}

따라서

\begin{gathered} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+j\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\\ k=0,1,\dots,n-1 \end{gathered}

$k=n$ 이면 $k=0$ 과 같은 점으로 돌아오므로 서로 다른 근은 정확히 $n$ 개이다. 근은 모두 반지름 $\sqrt[n]{r}$ 인 원 위에 $2\pi/n$ 간격으로 놓여 정 $n$ 각형의 꼭짓점을 이룬다. 크기는 $|z|$ 를 먼저 구한 뒤 $n$ 제곱근을 취하고, 편각은 $2k\pi$ 를 더한 뒤에 $n$ 으로 나눈다. $\theta/n$ 만 구하면 근 하나만 얻는다.

예를 들어 $j8$ 은 $r=8$ , $\theta=\pi/2$ 이다. 세제곱근의 크기는 $\sqrt[3]{8}=2$ 이고 편각은 $\pi/6+2k\pi/3$ 이다.

\begin{aligned} w_0&=2e^{j\pi/6}=\sqrt3+j\\ w_1&=2e^{j5\pi/6}=-\sqrt3+j\\ w_2&=2e^{j3\pi/2}=-j2 \end{aligned}

세 근은 반지름 2인 원 위에 120° 간격으로 놓여 정삼각형을 이루고, 첫 근 $w_0$ 은 실수축에서 $90^\circ/3=30^\circ$ 돈 자리에 있다.

$z=1$ 이면 $r=1$ , $\theta=0$ 이므로 1의 $n$ 제곱근은

\begin{gathered} \sqrt[n]{1}=\cos\frac{2k\pi}{n}+j\sin\frac{2k\pi}{n}=e^{j2\pi k/n}\\ k=0,1,\dots,n-1 \end{gathered}

이다. $\omega=e^{j2\pi/n}$ 으로 두면 $n$ 개의 근은 $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$ 이고, 단위원을 $n$ 등분한 점들이다. $\omega$ 를 한 번 곱할 때마다 $2\pi/n$ 씩 돌아간다. $n=3,4,5$ 이면 단위원에 내접하는 정삼각형, 정사각형, 정오각형이 되고, 한 꼭짓점은 늘 $1$ 이다.

근은 $k=0$ 부터 차례로 찾을 수 있다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 원을 따라 $2\pi/n$ 만큼 돌아 다음 근이 놓이고, $z=j8$ , $n=3$ 이면 그 값이 위에서 구한 $w_0,w_1,w_2$ 이며 마지막 근이 놓이면 세 근이 반지름 2인 원 위의 정삼각형을 이룬다.

처음 상태는 z = j8, n = 3이고, 점선 원의 반지름이 |w| = r^1/n이다. k = 0에서는 실수축에서 θ/n만큼, 그 뒤로는 앞 근에서 360°/n만큼 원을 따라 돌고, 찾은 근은 차례로 이어져 정n각형이 된다.

해 보기

1의 네제곱근이 단위원 위에 어떻게 놓이는지 확인하라.
관찰
근이 1, j, −1, −j에 놓여 단위원에 내접하는 정사각형이 된다. θ = 0이라 첫 근은 1이다.
−1의 제곱근 두 개가 어디에 놓이는지 확인하라.
관찰
첫 근은 180°/2 = 90°에 있는 j이고, 180°를 더 돌면 −j이다. 두 근은 원점에 대해 대칭이다.
$z=j8$ 의 6제곱근에서 반지름, 근 사이 간격, 첫 근의 각을 확인하라.
관찰
반지름이 $\sqrt[6]{8}=\sqrt2\approx1.414$ 로 줄고, 근 사이 간격이 60°로 좁아진다. 첫 근의 각은 90°/6 = 15°이다.

1의 $N$ 제곱근은 7장에서 다룰 이산 푸리에 변환(DFT)의 재료이다. $N$ 점 DFT 행렬의 원소 $W[k,n]=e^{-j2\pi kn/N}=\left(e^{-j2\pi/N}\right)^{kn}$ 은 모두 1의 $N$ 제곱근이고, 행 $k$ 는 한 샘플마다 $2\pi k/N$ 씩 시계 방향으로 도는 회전이다.

$N=8$ 이면 원소 하나를 원점에서 그 복소수까지 그은 화살표 하나로 그릴 수 있다. 이 화살표를 페이저('연산에 맞는 형식' 절)처럼 다룬다. 열 $n$ 의 페이저는 지수 $kn$ 에 $-45^\circ$ 를 곱한 각으로 그린다. 그 각이 한 바퀴를 넘거나 $-180^\circ$ 에 닿으면 $360^\circ$ 의 배수를 더해 $-180^\circ$ 보다 크고 $180^\circ$ 이하인 값으로 옮긴다. 예를 들어 행 1의 $n=4$ 는 $-180^\circ$ 라 $180^\circ$ 로 적는다. 행 $k=1$ 은 샘플마다 $-2\pi/8$ 씩 돌고, 그 페이저 여덟 개는 1의 8제곱근, 곧 단위원을 8등분한 점을 가리킨다. 다른 행의 페이저도 모두 이 여덟 방향 가운데 하나를 가리킨다.

그림에서 ▶를 누를 때마다 행 1의 열 $n$ 하나에서 지수 $n$ 을 읽고, $-45^\circ$ 를 $n$ 번 돈 페이저를 단위원 위에 그린다. 여덟 열을 모두 그리면 페이저 여덟 개가 1의 8제곱근을 가리킨다.

열 n의 페이저는 −45°를 n번 돈 방향이고, 단위원에는 −45°씩 끊어 도는 걸음을 이은 호로 그 각을 그린다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

$z_1=2e^{j100^\circ}$ , $z_2=3e^{j150^\circ}$ 일 때 $z_1z_2$ 를 $re^{j\theta}$ ( $-180^\circ<\theta\le180^\circ$ )로 쓴 것을 고르라.

(가) $6e^{-j50^\circ}$
(나) $6e^{j250^\circ}$
(다) $5e^{j250^\circ}$
(라) $6e^{-j110^\circ}$

풀이

답 (라) $6e^{-j110^\circ}$

(가) 각은 빼는 것이 아니라 더한다. 빼는 것은 나눗셈이다.
(나) 각의 합 $250^\circ$ 는 주값 범위 밖이다. $360^\circ$ 를 빼서 범위 안으로 되돌린다.
(다) 곱의 크기는 두 크기의 합이 아니라 곱이다.

크기는 $2\times3=6$ 이고 각은 $100^\circ+150^\circ=250^\circ$ 이다. $250^\circ$ 는 $-180^\circ<\theta\le180^\circ$ 밖이므로 $360^\circ$ 를 빼서 $-110^\circ$ 로 쓴다. 따라서 $z_1z_2=6e^{-j110^\circ}$ 이다.

$-8$ 의 세제곱근 가운데 실수인 근을 찾고, 그 근이 되는 $k$ 를 그림에서 고르라.

풀이

답 $k=1$ , $w_1=2e^{j180^\circ}=-2$ .

힌트 $-8$ 의 편각은 $180^\circ$ 이다. $\phi_k=(180^\circ+360^\circ k)/3$ 이 $180^\circ$ 가 되는 $k$ 를 찾는다.

크기는 $\sqrt[3]{8}=2$ 이고 편각은 $\phi_k=60^\circ+120^\circ k$ 이다. $k=0,1,2$ 에서 $60^\circ$ , $180^\circ$ , $300^\circ$ 이므로 실수 근은 $k=1$ 의 $w_1=-2$ 하나이다. 나머지 두 근 $1\pm j\sqrt3$ 은 서로 켤레이다.