REMI Lab강의 노트

Signals and Systems L04

4장 복소수

정리

  • 복소수는 z=x+jy=rejθz=x+jy=re^{j\theta}로 쓰고, 곱하면 크기는 곱해지고 편각은 더해진다: ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2|=|z_1||z_2|, arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2.
  • zz의 nn제곱근은 반지름 rn\sqrt[n]{r}인 원 위에 2π/n2\pi/n 간격으로 nn개 놓인다. 편각은 2kπ2k\pi를 더한 뒤 nn으로 나눈다.
  • f=u+jvf=u+jv가 미분가능하면 Cauchy–Riemann 방정식 ux=vyu_x=v_y, uy=−vxu_y=-v_x가 성립한다. eze^z는 복소평면 전체에서 해석적이고, 로그는 ln⁡z=Ln⁡z+j2nπ\ln z=\operatorname{Ln}z+j2n\pi처럼 값이 여러 개이다.
  • Euler 공식 ejy=cos⁡y+jsin⁡ye^{jy}=\cos y+j\sin y에 따라 ejθe^{j\theta}를 곱하면 크기는 그대로이고 θ\theta만큼 회전한다. 정현파는 회전하는 복소수의 실수부 x(t)=Re⁡{Aejϕ ejωt}x(t)=\operatorname{Re}\left\{Ae^{j\phi}\,e^{j\omega t}\right\}이다.
  • 임펄스 응답이 hh인 LTI 시스템은 ejωte^{j\omega t}를 H(ω)ejωtH(\omega)e^{j\omega t}로 보낸다. H(ω)=∫h(τ)e−jωτ dτH(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau이고, 출력은 주파수가 같고 크기가 ∣H∣|H|배, 각이 ∠H\angle H만큼 다르다.
  • 복소 신호의 내적은 켤레를 붙여 정의하고, 공통 주기 TT에서 ejkω0te^{jk\omega_0t}와 ejmω0te^{jm\omega_0t}는 k≠mk\ne m이면 직교한다.

5장은 이 직교성으로 주기 신호를 복소 지수의 합으로 나누고, 각 성분의 계수 ckc_k를 내적으로 구한다.

개념 확인

1. z=−3−jz=-\sqrt3-j를 rejθre^{j\theta}(−π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi)로 쓴 것을 고르라.

  1. (가) 2ej5π/62e^{j5\pi/6}
  2. (나) 2ejπ/62e^{j\pi/6}
  3. (다) 2e−j5π/62e^{-j5\pi/6}
  4. (라) 4e−j5π/64e^{-j5\pi/6}
풀이

답 (다) 2e−j5π/62e^{-j5\pi/6}

  • (가) 켤레 −3+j-\sqrt3+j의 극형식이다. 허수부가 음수이므로 각도 음수이다.
  • (나) arctan⁡(y/x)=π/6\arctan(y/x)=\pi/6을 사분면 확인 없이 쓴 것이다. 실수부와 허수부가 모두 음수라 점은 3사분면에 있다.
  • (라) r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}에서 제곱근을 빠뜨렸다.

r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2이고 점이 3사분면에 있으므로 θ=−5π/6\theta=-5\pi/6이다. 따라서 z=2e−j5π/6z=2e^{-j5\pi/6}이다.

2. z=−16z=-16의 네제곱근 네 개를 바르게 모은 것을 고르라.

  1. (가) 2(±1±j)\sqrt2(\pm1\pm j) (부호 네 조합)
  2. (나) ±2, ±2j\pm2,\ \pm2j
  3. (다) ±4j\pm4j
  4. (라) 2ejπ/42e^{j\pi/4} 하나
풀이

답 (가) 2(±1±j)\sqrt2(\pm1\pm j) (부호 네 조합)

  • (나) 1616의 네제곱근이다. −16-16은 편각이 π\pi라 근의 편각이 π/4\pi/4부터 시작한다.
  • (다) −16-16의 제곱근이다.
  • (라) k=0k=0 하나만 구했다. 편각에 2kπ2k\pi를 더한 뒤 4로 나누면 근이 네 개 나온다.

∣−16∣=16|-16|=16이므로 근의 크기는 164=2\sqrt[4]{16}=2이고, 편각은 (π+2kπ)/4=π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4(\pi+2k\pi)/4=\pi/4,\ 3\pi/4,\ 5\pi/4,\ 7\pi/4이다. 2ejπ/4=2(1+j)2e^{j\pi/4}=\sqrt2(1+j)이고 나머지도 부호만 다르다.

3. ∣z−2∣=∣z+j2∣|z-2|=|z+j2|를 만족하는 점 zz가 그리는 도형을 고르라.

  1. (가) 타원
  2. (나) 한 점
  3. (다) 직선
  4. (라) 원
풀이

답 (다) 직선

  • (가) 타원은 두 점까지 거리의 합이 일정한 점들이다.
  • (나) 두 점에서 거리가 같은 점은 무수히 많다.
  • (라) 거리의 비가 1이 아닐 때 원이 된다. 여기서는 두 거리가 같다.

두 점 22와 −j2-j2까지 거리가 같은 점들이므로 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선, 곧 직선 y=−xy=-x이다.

4. 다음 두 문장 가운데 참인 것을 모두 고르라.

  1. (가) cos⁡(j2)\cos(j2)는 11보다 큰 실수이다.
  2. (나) sin⁡(j2)\sin(j2)는 실수이다.
풀이

답 (가) cos⁡(j2)\cos(j2)는 11보다 큰 실수이다.

  • (나) sin⁡(jy)=jsinh⁡y\sin(jy)=j\sinh y라 순허수이다.

cos⁡(j2)=cosh⁡2≈3.762\cos(j2)=\cosh2\approx3.762로 1보다 큰 실수이다. sin⁡(j2)=jsinh⁡2≈j3.627\sin(j2)=j\sinh2\approx j3.627로 순허수이다.

5. (가) Ln⁡(−j2)\operatorname{Ln}(-j2)의 실수부를 구하라.

풀이

답 0.693

힌트 로그의 실수부는 ln⁡∣z∣\ln|z|이다.

∣−j2∣=2|-j2|=2이므로 실수부는 ln⁡2≈0.693\ln2\approx0.693이다. 편각을 어느 범위에서 고르든 실수부는 같다.

5. (나) Ln⁡(−j2)\operatorname{Ln}(-j2)의 허수부를 구하라.

풀이

답 −π/2

힌트 주값은 −π<Arg⁡z≤π-\pi<\operatorname{Arg}z\le\pi에서 고른 편각이다. −j2-j2는 음의 허수축 위에 있다.

−j2-j2는 음의 허수축 위에 있으므로 Arg⁡(−j2)=−π/2≈−1.571\operatorname{Arg}(-j2)=-\pi/2\approx-1.571이고, 이것이 Ln⁡(−j2)\operatorname{Ln}(-j2)의 허수부이다.

5. (다) 편각을 [0,2π)[0,2\pi)에서 고르기로 하면 −j2-j2의 로그의 허수부는 얼마인지 구하라.

풀이

답 3π/2

힌트 −π/2-\pi/2에 2π2\pi를 더해 [0,2π)[0,2\pi) 안으로 옮긴다.

−π/2+2π=3π/2≈4.712-\pi/2+2\pi=3\pi/2\approx4.712이다. −j2-j2가 아래쪽 반평면의 수라서 두 약속의 값이 다르다. 실수부는 두 약속에서 같은 ln⁡2\ln2이다.

6. 다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하라. "(−1)j(-1)^j의 주값은 실수이다."

  1. 참
  2. 거짓
풀이

답 참

  • 거짓 Ln⁡(−1)=jπ\operatorname{Ln}(-1)=j\pi를 넣으면 지수가 j⋅jπ=−πj\cdot j\pi=-\pi로 실수가 된다.

Ln⁡(−1)=jπ\operatorname{Ln}(-1)=j\pi이므로 (−1)j=ej⋅jπ=e−π≈0.0432(-1)^j=e^{j\cdot j\pi}=e^{-\pi}\approx0.0432이다. 다른 값 e−π−2nπe^{-\pi-2n\pi}도 모두 실수이다.

7. (가) x(t)=ej2π⋅3tx(t)=e^{j2\pi\cdot3t}(3 Hz)와 y(t)=e−j2π⋅3ty(t)=e^{-j2\pi\cdot3t}(−3 Hz)를 켤레 없이 곱한 적분 ∫01x(t) y(t) dt\int_0^1x(t)\,y(t)\,dt를 구하라.

풀이

답 1 s

힌트 곱 x(t) y(t)x(t)\,y(t)의 지수를 먼저 더해 본다.

x(t) y(t)=ej2π(3−3)t=e0=1x(t)\,y(t)=e^{j2\pi(3-3)t}=e^0=1이라 곱이 돌지 않는다. 적분은 구간 길이와 같은 1 s이다. 주파수가 다른 두 신호인데 0이 나오지 않는다.

7. (나) 같은 두 신호의 내적 ∫01x(t) y(t)‾ dt\int_0^1x(t)\,\overline{y(t)}\,dt를 구하라(x(t)=ej2π⋅3tx(t)=e^{j2\pi\cdot3t}, y(t)=e−j2π⋅3ty(t)=e^{-j2\pi\cdot3t}).

풀이

답 0 s

힌트 y(t)‾=ej2π⋅3t\overline{y(t)}=e^{j2\pi\cdot3t}이다. 곱이 1 s 동안 원을 몇 바퀴 도는지 센다.

곱이 ej2π⋅6te^{j2\pi\cdot6t}로 1 s 동안 원을 정확히 6바퀴 돌아 평균이 0이다. 두 신호는 주파수가 달라 직교하고, 그 사실은 켤레를 붙인 내적에서만 드러난다.

8. Im⁡(1/z)<−12\operatorname{Im}(1/z)<-\tfrac12를 만족하는 영역을 고르라.

  1. (가) 중심 jj, 반지름 11인 원의 내부
  2. (나) 아래쪽 반평면 y<0y<0
  3. (다) 중심 jj, 반지름 11인 원의 외부
  4. (라) 중심 −j-j, 반지름 11인 원의 내부
풀이

답 (가) 중심 jj, 반지름 11인 원의 내부

  • (나) y<0y<0이면 Im⁡(1/z)>0\operatorname{Im}(1/z)>0이라 부등식이 성립하지 않는다.
  • (다) 양수 x2+y2x^2+y^2를 곱해도 부등호 방향은 그대로이다. x2+(y−1)2<1x^2+(y-1)^2<1이 나온다.
  • (라) Im⁡(1/z)=−y/(x2+y2)\operatorname{Im}(1/z)=-y/(x^2+y^2)라 부호가 뒤집힌다. 부등식은 y>0y>0인 점에서만 성립한다.

1/z=z‾/∣z∣21/z=\overline z/|z|^2이므로 Im⁡(1/z)=−y/(x2+y2)\operatorname{Im}(1/z)=-y/(x^2+y^2)이다. 부등식에 양수 x2+y2x^2+y^2를 곱하면 2y>x2+y22y>x^2+y^2, 곧 x2+(y−1)2<1x^2+(y-1)^2<1이다. z=0z=0은 1/z1/z가 정의되지 않고 경계 위에 있어 영역에 들지 않는다.

참고 자료

  • E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., Wiley, 2011 — 13장 "Complex Numbers and Functions. Complex Differentiation". 복소수와 극형식, 거듭제곱근, 극한과 미분, 해석성과 Cauchy–Riemann 방정식, 지수·삼각·쌍곡·로그 함수와 일반 거듭제곱.
  • A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, 2nd ed., Prentice Hall, 1997, 1.3절 "Exponential and Sinusoidal Signals".

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