지수·삼각·로그 함수

실수에서 쓰던 $e^x$ , $\cos x$ , $\ln x$ 에 복소수를 넣으면 무엇이 그대로이고 무엇이 달라질까?

지수함수

실수 지수함수를 복소수로 넓힌 것이 복소 지수함수이다.

e^z=\exp z=e^x(\cos y+j\sin y)\qquad(z=x+jy)

이 정의는 다음 세 성질을 함께 갖도록 고른 것이다.

$z=x$ 가 실수이면 $y=0$ 이라 $\cos y=1$ , $\sin y=0$ 이므로 $e^z=e^x$ 이다. 실수 지수함수와 일치한다.
$u=e^x\cos y$ , $v=e^x\sin y$ 는 모든 점에서 $u_x=e^x\cos y=v_y$ , $u_y=-e^x\sin y=-v_x$ 를 만족한다. 따라서 $e^z$ 는 복소평면 전체에서 해석적이다.
$(e^z)'=u_x+jv_x=e^x\cos y+je^x\sin y=e^z$ 이다. 미분해도 자기 자신이다.

극형식으로 쓰면 $|e^z|=e^x$ , $\arg e^z=y$ 이다. 실수부 $x$ 가 크기를, 허수부 $y$ 가 각을 정한다. 그래서 $e^{z+j2\pi}=e^z$ 이고, 복소 지수함수는 주기 $2\pi j$ 를 가진다. 이 성질은 로그에서 다시 나온다.

$z=jy$ 로 두면 $x=0$ 이므로 정의는 다음 식이 된다.

e^{jy}=\cos y+j\sin y

이 식이 Euler 공식이다. 이 식은 정의에 이미 들어 있으므로 유도한 것이 아니다. 실수 지수함수와 일치하고, 해석적이며, 도함수가 자기 자신이라는 세 성질을 지키는 선택은 이것 하나뿐이고, 그 확인은 뒤의 '극형식과 Euler 공식' 절의 '한 줄 확인'에 있다.

$e^{2+j\pi}$ 를 고르라.

(가) $e^2\approx7.389$
(나) $e^2+j\pi$
(다) $-e^2\approx-7.389$
(라) $e^2+e^{j\pi}=e^2-1$

풀이

답 (다) $-e^2\approx-7.389$

(가) 허수부 $\pi$ 는 크기가 아니라 각을 정한다. $e^{j\pi}=-1$ 을 곱해 반대 방향이 된다.
(나) 지수의 실수부와 허수부는 따로 더해지지 않고, 크기 $e^x$ 와 각 $y$ 로 나뉜다.
(라) $e^{a+b}=e^ae^b$ 이다. 두 지수함수는 더하지 않고 곱한다.

$e^z=e^x(\cos y+j\sin y)$ 에 $x=2$ , $y=\pi$ 를 넣으면 $e^2(\cos\pi+j\sin\pi)=-e^2\approx-7.389$ 이다. 크기 $e^2$ 인 수가 $\pi$ 만큼 돌아 음의 실수축에 놓인다.

다음 문장이 참인지 거짓인지 판단하라. " $e^z=1$ 을 만족하는 복소수 $z$ 는 $0$ 하나뿐이다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 $e^{j2\pi}=\cos2\pi+j\sin2\pi=1$ 이다. 복소 지수함수는 주기 $2\pi j$ 를 가진다.

$e^z=e^x(\cos y+j\sin y)=1$ 이려면 크기 $e^x=1$ 에서 $x=0$ 이고, 각 $y$ 가 $2\pi$ 의 정수배여야 한다. 따라서 $z=j2n\pi$ ( $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ )가 모두 해이다.

삼각함수와 쌍곡함수

실수 $x$ 에 대한 Euler 공식과, $x$ 를 $-x$ 로 바꾼 식을 나란히 쓴다.

e^{jx}=\cos x+j\sin x,\qquad e^{-jx}=\cos x-j\sin x

두 식을 더하고 빼면 코사인과 사인을 지수함수로 쓸 수 있다. 여기서 $x$ 를 복소수 $z$ 로 바꾼 식을 복소 코사인과 사인의 정의로 삼는다.

\begin{gathered} \cos z=\frac12\left(e^{jz}+e^{-jz}\right)\\ \sin z=\frac1{2j}\left(e^{jz}-e^{-jz}\right) \end{gathered}

이 정의에서 $\cos z+j\sin z$ 를 계산하면 $e^{jz}$ 가 나오므로, Euler 공식은 복소수 $z$ 에서도 성립한다.

e^{jz}=\cos z+j\sin z

실수 $x$ 에서 코사인은 반대 방향으로 도는 두 회전 $e^{jx}$ 와 $e^{-jx}$ 의 평균이다. 두 점의 세로 성분은 서로 지워지고 가로 성분만 남는다.

$z(t)=e^{j2\pi t}$ 와 켤레 $\overline z(t)$ 는 실수축을 사이에 두고 마주 보며 반대 방향으로 돈다. 두 점을 절반 길이로 줄여 머리와 꼬리로 이으면 끝은 늘 실수축 위에 놓이고, 그 자리가 시간을 따라 $\cos2\pi t$ 를 그린다. $t=0.125$ s이면 $z$ 는 45°, $\overline z$ 는 −45°에 있어 가로 좌표는 둘 다 0.71이고 세로 좌표는 부호만 반대이다. 절반씩 이으면 세로 성분 0.35와 −0.35가 지워져 합이 실수축 위 0.71에 놓인다.

처음 상태는 f = +1 Hz, φ = 0°, t = 0.125 s이다. 옅은 실선 화살표가 z와 z̄, 굵은 화살표가 절반 길이로 줄인 두 점이고, ½z̄와 z̄가 도는 방향의 호는 점선이다.

해 보기

$t=0.375$ s에서 두 점의 자리와 절반씩 더한 끝을 확인하라.
관찰
두 점이 135°와 −135°에 있다. 가로 좌표는 둘 다 $-0.71$ 이고, 절반씩 더한 끝도 실수축 위 $-0.71$ 에 놓인다.
주파수가 $-1$ Hz이면 두 점이 도는 방향과 합이 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
이제 $z$ 가 시계 방향, $\overline z$ 가 반시계 방향으로 돈다. 두 점이 자리를 바꿨을 뿐이라 합은 그대로 0.71이고, 평면 아래 초록 곡선도 그대로이다.
시작 위상이 90°이면 $t=0$ 에서 두 점과 합이 어디에 있는지, 실수부가 어떤 함수인지 확인하라.
관찰
$t=0$ 에서 $z=j$ , $\overline z=-j$ 라 가로 좌표가 모두 0이고, 절반씩 더한 합도 0이다. 실수부는 $\cos(2\pi t+90^\circ)=-\sin2\pi t$ 이다.

쌍곡함수도 같은 방식으로 정의한다.

\cosh z=\frac12\left(e^z+e^{-z}\right),\qquad \sinh z=\frac12\left(e^z-e^{-z}\right)

정의에 $jz$ 를 넣으면 삼각함수와 쌍곡함수가 서로 이어진다.

\begin{gathered} \cosh jz=\cos z,\qquad \sinh jz=j\sin z\\ \cos jz=\cosh z,\qquad \sin jz=j\sinh z \end{gathered}

인수가 순허수 $jy$ ( $y$ 는 실수)이면 결과가 간단하다.

\cos(jy)=\cosh y,\qquad \sin(jy)=j\sinh y

$\cos(jy)$ 는 $1$ 이상인 실수이고 $\sin(jy)$ 는 순허수이다. 실수에서는 $|\cos x|\le1$ 이지만 복소수에서는 이런 한계가 없다. 예를 들어 $\cos(j\ln2)=\cosh(\ln2)=\tfrac12\left(2+\tfrac12\right)=1.25$ 이고, $\sin(j\ln3)=j\sinh(\ln3)=j\,\tfrac12\left(3-\tfrac13\right)=j\tfrac43$ 이다.

로그

복소 로그는 지수함수의 역으로 정의한다.

w=\ln z\iff e^w=z\qquad(z\ne0)

$w=u+jv$ , $z=re^{j\theta}$ 로 놓으면 $e^w=e^ue^{jv}=re^{j\theta}$ 이므로, 크기와 각을 비교해 $e^u=r$ , $v=\theta$ 를 얻는다.

\ln z=\ln r+j\theta=\ln|z|+j\arg z

$\arg z$ 가 $2\pi$ 의 정수배만큼 정해지지 않으므로 $\ln z$ 도 값이 무한히 많다. 모든 값의 실수부는 $\ln|z|$ 로 같고 허수부만 $2\pi$ 씩 다르다. 편각 대신 주값 $\operatorname{Arg}z$ ( $-\pi<\operatorname{Arg}z\le\pi$ )를 쓴 것이 로그의 주값이다.

\begin{gathered} \operatorname{Ln}z=\ln|z|+j\operatorname{Arg}z\\ \ln z=\operatorname{Ln}z+j2n\pi\quad(n=0,\pm1,\pm2,\dots) \end{gathered}

$\ln j$ 는 $|j|=1$ , $\arg j=\pi/2+2n\pi$ 이므로 $\ln j=j\left(\tfrac\pi2+2n\pi\right)$ 이고, 주값은 $\operatorname{Ln}j=j\pi/2$ 이다. 음의 실수도 로그를 가진다. $\operatorname{Ln}(-1)=j\pi$ 이다.

실수 로그의 성질 $\ln(z_1z_2)=\ln z_1+\ln z_2$ 는 모든 값의 집합으로는 성립하지만, 주값끼리는 성립하지 않을 수 있다. $\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)=j2\pi$ 인데 $\operatorname{Ln}\big((-1)(-1)\big)=\operatorname{Ln}1=0$ 이다.

로그는 해석적인가? $\operatorname{Ln}z$ 는 원점과 음의 실수축을 뺀 영역에서 해석적이고, $e^{\operatorname{Ln}z}=z$ 의 양변을 미분하면 도함수를 얻는다.

(\ln z)'=\frac1z

음의 실수축을 위에서 아래로 건너면 $\operatorname{Arg}z$ 가 $\pi$ 에서 $-\pi$ 로 뛰므로, 그 선 위에서는 $\operatorname{Ln}z$ 가 연속조차 아니다. 다른 값들 $\operatorname{Ln}z+j2n\pi$ 도 상수만 다르므로 같은 영역에서 해석적이고 도함수는 모두 $1/z$ 이다.

예제 2: $\ln(3-j4)$

$|3-j4|=5$ 이고 점이 4사분면에 있으므로 $\operatorname{Arg}(3-j4)=-\arctan\tfrac43\approx-0.927$ 이다.

\begin{aligned} \ln(3-j4)&=\ln5+j\arg(3-j4)\\ &\approx1.609-j0.927+j2n\pi\\ \operatorname{Ln}(3-j4)&\approx1.609-j0.927 \end{aligned}

$w=u+jv$ 평면에서 이 값들은 모두 $u=\ln5$ 인 세로선 하나 위에 놓이고, 주값 띠 $-\pi<v\le\pi$ 안에는 그중 하나만 들어온다.

ln(3 − j4)의 값은 u = ln 5 인 세로선 위에 2π 간격으로 늘어선다. 초록 띠 안의 값 하나가 주값이다.

주값을 어느 범위에서 고를지는 약속이다. 편각을 $[0,2\pi)$ 에서 고르기로 하면 $3-j4$ 의 로그는 $1.609+j5.356$ 이 된다. 위쪽 반평면과 실수축 위의 수는 두 약속에서 값이 같고, 아래쪽 반평면(3·4사분면과 음의 허수축)의 수만 값이 달라진다. 문제가 정한 범위를 먼저 확인한다.

일반 거듭제곱

밑과 지수가 모두 복소수인 거듭제곱은 로그로 정의한다.

z^c=e^{c\ln z}\quad(z\ne0),\qquad a^z=e^{z\ln a}

$\ln z$ 가 여러 값을 가지므로 $z^c$ 도 대개 여러 값을 가진다. $\operatorname{Ln}z$ 를 쓴 $e^{c\operatorname{Ln}z}$ 가 주값이다. $c$ 가 정수이면 $e^{jc2n\pi}=1$ 이라 값이 하나뿐이다. $c=1/n$ 이면 값이 $n$ 개이고 앞의 $n$ 제곱근과 같다. $c$ 가 무리수이거나 허수부를 가지면 값이 무한히 많다.

예제 3: $j^j$

먼저 $\ln j=j\left(\tfrac\pi2+2n\pi\right)$ 이므로

j^j=e^{j\ln j}=e^{j\cdot j(\pi/2+2n\pi)}=e^{-\pi/2-2n\pi}

이고, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ 에 대해 값이 모두 양의 실수이다. 주값은 $e^{-\pi/2}\approx0.208$ 이다.

예제 4: $2^j$

밑 $2$ 의 복소 로그는 실수 로그 $\ln2\approx0.693$ 에 $j2n\pi$ 를 더한 값들이다. 따라서 $2^j=e^{j(\ln2+j2n\pi)}=e^{-2n\pi}e^{j\ln2}$ 이고, 주값( $n=0$ )은 크기가 $1$ 이라 단위원 위에 있다.

2^j=\cos(\ln2)+j\sin(\ln2)\approx0.769+j0.639

$j^{-j}$ 의 주값을 구하라.

풀이

답 4.810

힌트 $\operatorname{Ln}j=j\pi/2$ 이다. $j^{-j}=e^{-j\operatorname{Ln}j}$ 를 계산한다.

$j^{-j}=e^{-j\operatorname{Ln}j}=e^{-j\cdot j\pi/2}=e^{\pi/2}\approx4.810$ 이다. 예제 3의 $j^j=e^{-\pi/2}\approx0.208$ 의 역수이다.