극형식과 Euler 공식

$e^{j\theta}$ 를 곱하면 복소수는 평면에서 어떻게 움직일까? 그리고 $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$ 는 왜 성립할까? 이 공식은 미분, 곱셈의 극한, Taylor 급수의 세 길로 얻을 수 있고, 한 줄 계산으로도 확인된다. 어느 길로 가든 결론은 같다. $e^{j\theta}$ 를 곱하면 점이 단위원을 따라 $\theta$ 만큼 돈다.

연산에 맞는 형식

덧셈은 직교형식에서, 곱셈은 극형식에서 쉽다. 한 복소수를 두 형식으로 쓸 수 있으므로 연산에 맞는 형식을 고른다. 덧셈과 뺄셈은 직교형식에서 성분끼리 더하거나 빼고, 곱셈과 나눗셈은 극형식에서 크기를 곱하거나 나누고 각을 더하거나 뺀다. 회로와 신호에서는 극형식으로 다루는 복소 진폭을 페이저(phasor)라고 부른다. 예를 들어 $3\cos(\omega t-30^\circ)$ 의 페이저는 $3e^{-j30^\circ}$ 이다. 진폭 3과 위상 $-30^\circ$ 를 복소수 하나에 담고 주파수 $\omega$ 는 따로 적어 둔다. $\operatorname{Re}\{3e^{-j30^\circ}e^{j\omega t}\}=3\cos(\omega t-30^\circ)$ 이므로 페이저에 $e^{j\omega t}$ 를 곱해 실수부를 취하면 원래 정현파로 돌아간다('정현파와 위상' 절).

\begin{gathered} z=x+jy=re^{j\theta}\\ |z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2 \end{gathered}

회전

$e^{j\theta}$ 는 크기가 $1$ 이고 각이 $\theta$ 인 수이다. 그래서 $e^{j\theta}$ 를 곱하면 크기는 그대로 두고 $\theta$ 만큼 회전한다. $j=e^{j\pi/2}$ 를 곱하면 90°, 두 번 곱하면 180° 돈다.

e^{j\pi}=\left(e^{j\pi/2}\right)^2=j^2=-1,\qquad e^{j\pi}+1=0

$1$ 에서 출발해 90°씩 두 번 돌면 $-1$ 에 도착한다. $j^2=-1$ 은 90° 회전을 두 번 하면 반대 방향을 향한다는 뜻이다.

$(1+j)^8$ 을 구하라.

풀이

답 16

힌트 $1+j$ 를 극형식으로 바꾸면 여덟 번 곱하는 일이 크기의 거듭제곱과 각의 덧셈이 된다.

$1+j=\sqrt2\,e^{j\pi/4}$ 이므로 $(1+j)^8=(\sqrt2)^8e^{j8\pi/4}=16\,e^{j2\pi}=16$ 이다. 여덟 번 곱하는 동안 각은 $45^\circ$ 씩 쌓여 $360^\circ$ , 곧 제자리로 돌아오고 크기만 16배가 된다.

$z$ 에 $j$ 를 세 번 곱한 $j^3z$ 는 $z$ 를 어떻게 옮긴 것인지 고르라.

(가) 크기를 3배로 늘린 것
(나) 원점에 대해 뒤집은 것, 곧 $-z$
(다) 크기는 그대로 두고 시계 방향으로 $90^\circ$ 돌린 것, 곧 $-jz$
(라) 크기는 그대로 두고 반시계 방향으로 $90^\circ$ 돌린 것, 곧 $jz$

풀이

답 (다) 크기는 그대로 두고 시계 방향으로 $90^\circ$ 돌린 것, 곧 $-jz$

(가) $|j|=1$ 이라 몇 번 곱해도 크기는 그대로이다.
(나) $j$ 를 두 번 곱한 $j^2z$ 이다.
(라) $j$ 를 한 번 곱할 때가 반시계 $90^\circ$ 이다. 세 번이면 $270^\circ$ 이다.

$j=e^{j\pi/2}$ 이므로 $j^3=e^{j3\pi/2}=e^{-j\pi/2}=-j$ 이다. 반시계 방향으로 $270^\circ$ 도는 것은 시계 방향으로 $90^\circ$ 도는 것과 같은 자리이다.

미분

$e^{jt}$ 를 움직이는 점으로 보면 속도는 늘 위치에 수직이다. 실수 지수함수의 성질 $\frac{d}{dt}e^{st}=se^{st}$ 가 복소수 $s$ 에서도 성립하도록 $e^z$ 를 정의했으므로(지수함수 절의 셋째 성질과 연쇄 법칙), $s=j$ 이면

\frac{d}{dt}e^{jt}=je^{jt}

$e^{jt}$ 를 복소평면 위를 움직이는 점의 위치로 보면 좌변은 그 점의 속도이다. 속도는 위치에 $j$ 를 곱한 것, 곧 위치를 90° 돌린 벡터이다. 속도가 늘 위치에 수직이면 점은 원점에서 멀어지지도 가까워지지도 않고 원을 따라 돈다. 속도의 크기도 $|je^{jt}|=1$ 로 일정하므로, $t=0$ 에 $e^{j0}=1$ 에서 출발한 점은 반지름 $1$ 인 원 위를 초당 $1$ rad씩 반시계 방향으로 돈다. 시각 $t$ 에 점은 호의 길이 $t$ , 곧 각 $t$ 만큼 돌아가 있으므로 좌표는 $(\cos t,\sin t)$ 이고 $e^{jt}=\cos t+j\sin t$ 이다.

$e^{j\omega t}$ 이면 속도는 $j\omega e^{j\omega t}$ 이다. 방향은 여전히 위치에 수직이고 빠르기가 $\omega$ rad/s가 된다. 이 논증은 점이 어떻게 움직이는지를 정하는 규칙, 곧 '속도는 위치에 $s$ 를 곱한 것'( $dz/dt=sz$ , $z(0)=1$ )만 썼다. $s$ 가 실수 $\sigma$ 이면 속도가 위치와 같은 방향(또는 반대 방향)이라 점은 실수축을 따라 곧게 멀어지거나 원점으로 다가가고, $s=\sigma+j\omega$ 이면 두 움직임이 겹쳐 나선을 그린다.

아래 그림의 자취는 cos와 sin을 쓰지 않고 이 규칙만으로 얻은 것이다. 0.005 s의 아주 짧은 간격마다 규칙을 정밀하게 풀면(간격 안에서 속도가 바뀌는 것까지 따라가는 수치 해법), 빨간 속도 화살표는 검은 위치 화살표와 직각을 이루며 원에 접하고, $|z|$ 는 1에 머물며, $\arg z$ 는 $\omega t$ 를 따라 곧게 늘어난다. $s=j$ , $t=1$ s이면 점은 호의 길이 1만큼 돌아 $\cos1+j\sin1$ 에 있고, 속도는 위치를 90° 돌린 길이 1인 벡터이다. 속도를 따라 곧은 걸음으로만 가면 점이 원 밖으로 조금씩 벗어나는데, 이것은 다음 소절에서 다룬다.

처음 상태는 s = j, t = 1 s로, 점은 각 1 rad(57.3°)의 z = 0.540 + j0.841에 있고 속도는 −0.841 + j0.540이다. 속도 화살표는 그 속도로 1 s 동안 갈 거리로 그렸다.

해 보기

$t=3.15$ s에서 점이 어디에 있는지, $|z|$ 가 바뀌는지 확인하라.
관찰
점이 호의 길이 3.15, 곧 $180.5^\circ$ 를 돌아 $-1$ 바로 아래 $z=-1.000-j0.008$ 에 있다. $|z|$ 는 처음부터 1.000 그대로이다.
$s=-0.3$ 이면 속도와 위치가 이루는 각과 점의 궤적을 확인하라.
관찰
속도가 위치와 반대 방향( $180^\circ$ )이라 점이 실수축을 따라 원점으로 곧게 다가간다. $t=2$ s에 $|z|=0.549=e^{-0.6}$ 이고 $\arg z=0$ 이다.
$s=-0.2+j$ 이면 점이 어떤 궤적을 그리는지 보고, $\sigma$ 와 $\omega$ 가 각각 무엇을 정하는지 확인하라.
관찰
속도가 위치와 $101.3^\circ$ 를 이뤄 안쪽으로 기울고, 점이 나선을 그리며 돈다. $t=3$ s에 $|z|=0.549=e^{-0.6}$ , $\arg z=3.000$ rad로, $\sigma$ 가 크기를, $\omega$ 가 각을 따로 정한다. 이 감쇠하는 회전은 뒤의 장에서 과도 응답으로 다시 나온다.

$s=j$ 일 때 1에서 출발한 점이 처음으로 $-1$ 에 닿는 시각 $t$ 를 구하라.

풀이

답 π s

힌트 점은 반지름 1인 원을 빠르기 1로 돈다. $-1$ 까지의 호의 길이를 생각한다.

속도의 크기가 1이라 점은 1 s에 호의 길이 1, 곧 1 rad씩 돈다. $1$ 에서 $-1$ 까지는 반 바퀴, 호의 길이 $\pi$ 이므로 $t=\pi\approx3.14$ s이고 $e^{j\pi}=-1$ 이다.

곱셈의 극한

실수 지수함수는 복리 계산의 극한 $e^x=\lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n$ 으로도 얻는다. 같은 식에 $x=j\theta$ 를 넣으면 $e^{j\theta}$ 를 곱셈만으로 만들 수 있다.

e^{j\theta}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{j\theta}{n}\right)^n

1에서 출발해 $1+j\theta/n$ 을 $n$ 번 곱한다. 한 번 곱할 때마다 점 $z$ 에 $z\cdot j\theta/n$ 이 더해지는데, 이 걸음은 $z$ 를 90° 돌린 방향이고 길이는 $|z|\,\theta/n$ 이다. 앞 절의 속도 $jz$ 를 따라 시간 $\theta/n$ 동안 곧게 간 것과 같다. 곧 이 곱셈은 속도 규칙 $dz/d\theta=jz$ 를 유한한 걸음으로 따라가는 방법(forward Euler 방법)이다.

한 걸음은 점을 $\arctan(\theta/n)$ 만큼 돌리고, 원점에서의 거리를 $|1+j\theta/n|=\sqrt{1+(\theta/n)^2}$ 배로 늘린다. $n$ 걸음 뒤의 끝점은 다음과 같다.

\begin{gathered} \left|\left(1+\tfrac{j\theta}{n}\right)^n\right|=\left(1+\frac{\theta^2}{n^2}\right)^{n/2}\\ \arg\left(1+\tfrac{j\theta}{n}\right)^n=n\arctan\frac{\theta}{n} \end{gathered}

첫 식에 로그를 취하면 $\tfrac n2\ln(1+\theta^2/n^2)\approx\theta^2/(2n)\to0$ 이라 크기는 1로 가고, 작은 $u$ 에서 $\arctan u\approx u$ 이므로 각은 $\theta$ 로 간다. 따라서 끝점은 단위원 위에서 각이 $\theta$ 인 점, 곧 $\cos\theta+j\sin\theta$ 에 닿는다. 걸음이 유한하면 걸음마다 원의 접선을 따라 조금씩 바깥으로 나가므로, 다각형은 원 밖으로 감겨 나간다.

곱셈 한 번은 지금 점 $z_m$ 까지의 화살표를 $\arctan(\theta/n)$ 만큼 돌리고 $|1+j\theta/n|$ 배 늘여 다음 점 $z_{m+1}$ 을 만든다. $z_m$ 에서 $z_{m+1}$ 로 간 걸음은 $z_m$ 까지 그은 반지름과 직각이다. $\theta=\pi$ , $n=4$ 이면 한 걸음이 점을 $\arctan(\pi/4)=38.15^\circ$ 돌리고 원점에서의 거리를 1.272배로 늘리므로, 네 번 곱한 끝점이 크기 2.614, 각 152.6°로 원 밖으로 크게 벗어난다. $n$ 을 16, 64로 늘리면 다각형이 단위원에 붙어 끝점의 크기와 각이 1과 $180^\circ$ 에 다가간다.

처음 상태는 θ = π, n = 4이고, 주황 화살표가 지금 돌리거나 늘이는 화살표, 흐린 다각형이 지나간 걸음, 초록 점과 표의 zₘ이 지금까지 온 점이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

걸음 수가 $n=16$ 일 때 첫 곱셈 뒤의 점 $z_1$ 과 걸음 길이를 $n=4$ 와 비교하라.
관찰
한 번에 $11.11^\circ$ 돌고 1.019배 늘어 $z_1=1+j0.196$ 이다. 걸음 길이 0.196은 $n=4$ 일 때(0.785)의 4분의 1이다.
$n=16$ 의 끝점 $z_{16}$ 이 $-1$ 에서 얼마나 떨어져 있는지 확인하라.
관찰
표의 마지막 줄이 $z_{16}=-1.352+j0.053$ , 크기 1.353, 각 $177.7^\circ$ 이다. $-1$ 까지 거리는 0.356이다.
$n=1024$ 이면 다각형과 끝점이 단위원과 $-1$ 에 얼마나 가까워지는지 확인하라.
관찰
다각형이 단위원과 거의 겹친다. 끝점의 크기는 1.005, 각은 $180.0^\circ$ 이고, $-1$ 까지 거리는 0.005이다. 크기가 1보다 큰 만큼은 대략 $\theta^2/(2n)$ 이다.
$\theta=2\pi$ , $n=64$ 에서 끝점이 원에서 얼마나 벗어나는지 보고, $\theta=\pi$ 일 때와 비교하라.
관찰
끝점이 한 바퀴를 거의 다 돌아 각 $358.9^\circ$ , 크기 1.359에 있다. $\theta$ 가 두 배이면 같은 $n$ 에서 $\theta^2/(2n)$ 이 네 배라 원에서 더 벗어난다.

$\theta=\pi$ 에서 끝점이 $e^{j\pi}=-1$ 에서 0.1 안에 들어오도록 걸음 수 $n$ 을 고르라.

풀이

답 $n=64$ 이상. $n=64$ 에서 거리가 0.080이다.

힌트 $n$ 을 네 배씩 늘리며 초록 끝점이 $-1$ 의 고리에 얼마나 다가가는지 본다.

끝점의 크기는 $(1+\pi^2/n^2)^{n/2}\approx e^{\pi^2/(2n)}$ 이다. $n=16$ 이면 1.353으로 거리가 0.356, $n=64$ 이면 1.080으로 거리가 0.080이다. 각은 이미 $179.9^\circ$ 에 가까우므로 거리는 거의 크기의 초과분이고, $n$ 을 네 배 늘리면 약 4분의 1로 준다.

Taylor 급수

Taylor 급수로 보면 Euler 공식은 복소평면의 벡터 덧셈이다. 실수에서 $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ 의 Taylor 급수는 모든 $x$ 에서 수렴한다.

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots

\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots

이 급수에 복소수 $z$ 를 넣은 $\sum z^n/n!$ 도 모든 $z$ 에서 수렴한다. 항의 크기 $|z|^n/n!$ 을 더한 것이 수렴하는 실수 급수 $e^{|z|}$ 이기 때문이다. 그 합은 지수함수 절에서 정의한 $e^z$ 와 같은 함수이다. 두 함수 모두 도함수가 자기 자신이고 $z=0$ 에서 1이므로, 아래 '한 줄 확인'과 같은 논법으로 둘의 비가 상수 1임을 보일 수 있다. 증명은 생략한다.

$e^x$ 의 급수에 $x=j\theta$ 를 넣는다. $j$ 의 거듭제곱은 $1,j,-1,-j$ 를 되풀이하므로 짝수 차 항은 실수, 홀수 차 항은 허수가 되고 부호가 번갈아 바뀐다.

\begin{aligned} e^{j\theta}&=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)\\ &\quad+j\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)\\ &=\cos\theta+j\sin\theta \end{aligned}

복소평면에서 각 항은 벡터이고, 급수는 이 벡터들을 머리에서 꼬리로 잇는 덧셈이다. $n$ 차 항 $(j\theta)^n/n!$ 은 앞 항보다 90° 돌아가 있고 길이는 앞 항의 $\theta/n$ 배이다. $\theta=\pi$ 이면 $n=3$ 까지는 항이 길어지다가 $n\ge4$ 부터 짧아지므로, 경로는 직각으로 꺾이며 안쪽으로 감겨 $-1$ 에 모인다.

급수의 항은 앞 항에서 차례로 만들 수 있다. 앞 항 $t_{n-1}$ 에 $j$ 를 곱해 90° 돌리고 $|\theta|/n$ 을 곱해 늘이거나 줄이면 $t_n$ 이고, $t_n$ 을 앞 항의 끝에 이어 붙이면 부분합 $S_n$ 이 된다. 아래 그림은 $j\theta/n$ 을 곱하는 일을 $j$ 로 돌리기와 $|\theta|/n$ 배 하기의 두 단계로 나눠 한 번에 하나씩 보인다. $\theta$ 가 음수이면 $j\theta/n=-j\cdot|\theta|/n$ 이라 시계 방향으로 돈다. 항이 그림에서 한 픽셀보다 짧아지면 더 붙이지 않으므로 $\theta=\pi$ 에서는 $n=10$ 까지 11개 항을 그린다. 표에서 $S_n$ 의 실수부는 cos 급수를, 허수부는 sin 급수를 $n$ 차 항까지 더한 값이다.

처음 상태는 θ = π이고, 주황 화살표가 지금 만드는 항, 흐린 파랑·보라가 붙인 짝수 차(실수)·홀수 차(허수) 항, 초록 점과 값이 부분합 Sₙ, 초록 고리가 e^jθ이다. 곱한 수 |θ|/n은 유효숫자 네 자리, 항과 부분합은 셋째 자리까지 적고, 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

$\theta=\pi$ 에서 $t_3$ 까지 더했을 때 항의 길이가 어떻게 바뀌는지, $S_3$ 이 얼마인지 확인하라.
관찰
표의 곱한 수가 $j3.142$ , $j1.571$ , $j1.047$ 로 모두 크기가 1보다 커서 항의 길이가 1, 3.142, 4.936, 5.168로 커진다. $S_3=-3.936-j2.026$ 이다(정확한 값 $-3.935-j2.026$ ).
$\theta=\pi$ 에서 항을 계속 더할 때 경로가 어떻게 감기는지, 부분합이 $e^{j\pi}$ 에 얼마나 다가가는지 확인하라.
관찰
$n=4$ 부터 곱한 수의 크기가 $0.7854$ 로 1보다 작아 항이 짧아지고, 경로가 안쪽으로 감긴다. $t_{11}$ 은 그림에서 한 픽셀보다 짧아 $n=10$ 에서 멈추고, $S_{10}=-1.003+j0.007$ 로 $e^{j\pi}=-1$ 까지 거리는 0.0076이다(정확한 부분합에서는 0.0072). 식에서 실수 항의 합이 $\cos\pi$ , 허수 항의 합이 $\sin\pi$ 에 가깝다.
$\theta=\pi/2$ 에서 부분합이 몇 항 만에 $j$ 에 모이는지 보고, $\theta=\pi$ 와 비교하라.
관찰
$n=2$ 부터 곱한 수의 크기가 $0.7854$ 로 1보다 작아 항이 줄어들고, 항 7개( $n=6$ 까지)에서 멈춘다. $S_6=-0.001+j1.005$ 로 $j$ 에서 0.0051 떨어져 있다. $\theta$ 가 작을수록 적은 항으로 모인다.

한 줄 확인

세 길은 $e^{j\theta}$ 가 가져야 할 성질에서 출발했다. 두 변을 직접 비교해도 된다. $f(\theta)=e^{-j\theta}(\cos\theta+j\sin\theta)$ 로 두고 곱을 미분한다.

\begin{aligned} f'(\theta)&=-je^{-j\theta}(\cos\theta+j\sin\theta)+e^{-j\theta}(-\sin\theta+j\cos\theta)\\ &=e^{-j\theta}\big(-j\cos\theta+\sin\theta-\sin\theta+j\cos\theta\big)=0 \end{aligned}

도함수가 0이므로 $f$ 는 상수이고, $f(0)=1\cdot1=1$ 이다. 따라서 모든 $\theta$ 에서 $f(\theta)=1$ 이고, 양변에 $e^{j\theta}$ 를 곱하면 $\cos\theta+j\sin\theta=e^{j\theta}$ 이다.

세 길과 한 줄 확인은 한 가지 사실을 다르게 쓴 것이다. 속도가 위치를 90° 돌린 것이면 점은 단위원을 일정한 빠르기로 돈다(미분). 그 규칙을 $n$ 개의 곧은 걸음으로 따라가면 걸음마다 $1+j\theta/n$ 을 곱하게 된다(곱셈의 극한). Taylor 급수에서는 $k$ 차 항이 앞 항에 $j\theta/k$ 를 곱한 것이라, 90° 돌리고 줄이는 같은 곱셈이 항마다 한 번씩 들어간다. 한 줄 확인은 이 성질을 가진 함수가 $\cos\theta+j\sin\theta$ 하나뿐임을 보인다. 따라서 실수 지수함수의 성질을 복소수에서도 지키려면 $e^{j\theta}$ 는 $\cos\theta+j\sin\theta$ 일 수밖에 없고, $e^{j\theta}$ 를 곱하는 일은 점을 단위원을 따라 $\theta$ 만큼 돌리는 일이다.