직교성

5장에서는 주기 신호를 여러 정현파의 합으로 나누고, 각 성분의 크기를 신호와 그 성분을 곱해 적분해서 구한다. 이 계산이 다른 성분을 섞어 넣지 않으려면 성분끼리 어떤 관계여야 할까? 복소 지수에서는 무엇을 곱해 적분해야 할까?

사인과 코사인

두 함수의 곱을 한 구간에서 적분한 값이 0이면, 두 함수는 그 구간에서 직교(orthogonal)한다고 한다. 정수 $k,m$에 대해 사인과 코사인의 곱을 한 주기 동안 적분하면 $0$이다.

곱을 합으로 바꾸면 이유가 보인다.

$k\pm m$도 정수이고, 정수 배 주파수의 사인은 길이 $2\pi$인 구간에서 양의 면적과 음의 면적이 같아 적분이 $0$이다($k-m=0$이면 $\sin0=0$). 같은 방법으로, 음이 아닌 정수 $k\ne m$에 대해

을 얻고, $k=m\ne0$이면 두 적분은 모두 $\pi$이다.

이 결과는 공통 주기 전체, 곧 길이 $2\pi$인 구간에서 적분하면 늘 성립한다. 구간은 $[-\pi,\pi]$ 대신 $[0,2\pi]$처럼 어디서 시작해도 된다. 공통 주기보다 짧은 구간에서는 성립이 보장되지 않는다. 예를 들어 $\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\tfrac12$이다.

짧은 구간에서도 적분이 $0$일 때가 있다. 그때는 함수와 구간이 맞아떨어진 것이고, 그 조건을 따로 확인해야 한다. $\sin(kx)\cos(mx)$는 홀함수이므로 원점에 대칭인 구간 $[-a,a]$에서는 $a$와 관계없이 적분이 $0$이다. 양의 정수 $k\ne m$이면 $\sin(kx)$와 $\sin(mx)$는 반 주기 $[0,\pi]$에서도 직교한다. 예를 들어 $\int_0^{\pi}\sin x\sin2x\,dx=0$이다. 사인만으로 신호를 전개하는 푸리에 급수가 이 성질을 쓴다.

입력 $x(t)=\cos2\pi t$(1 Hz)에 기준 2 Hz의 코사인과 $-$사인을 같은 시각끼리 곱하면, 공통 주기 1 s 동안 양의 면적과 음의 면적이 같아 곱의 평균이 0이다. 구간 길이 $L$을 줄이면 이 상쇄가 깨진다.

입력 x(t) = cos 2πt(1 Hz)에 기준 k = 2 Hz의 cos 2π·2t와 −sin 2π·2t를 같은 시각끼리 곱해 구간 [a, a + L]에서 평균하며, 처음 구간은 L = 1 s이다. 위 줄은 입력(검정 실선)과 기준(점선), 아래 줄은 두 함수의 곱과 그 부호 있는 면적(초록 +, 빨강 −)이고, 검정 점선이 평균이다.

복소 지수의 회전

복소 지수의 주기는 한 바퀴를 도는 시간이고, 주파수는 회전 속도이다. 2장의 원 그림에서 점의 가로·세로 좌표가 코사인과 사인이었다. 그 점을 복소수로 쓴 것이 $e^{j\omega t}$이다.

$e^{j\omega t}$는 단위원 위를 각속도 $\omega$ rad/s로 도는 점이다. 한 바퀴($2\pi$ rad)를 도는 시간이 주기 $T=2\pi/\omega=1/f$이고, 1초에 도는 바퀴 수가 주파수 $f$이다. 점의 가로 좌표가 $\cos\omega t$, 세로 좌표가 $\sin\omega t$이다. $\omega<0$이면 점은 시계 방향으로 돈다. 음의 주파수는 도는 방향이 반대라는 뜻이다.

$f=1$ Hz이면 점이 한 바퀴 도는 1 s 동안 가로 좌표 코사인(파랑)과 세로 좌표 사인(보라)이 한 주기씩 지나간다.

φ = 0에서 f를 음수로 바꾸면 점이 시계 방향으로 돌고, 가로 투영(코사인)은 그대로인 채 세로 투영(사인)의 부호만 바뀐다.

켤레를 붙인 내적

사인과 코사인의 직교성을 복소 지수로 옮기면 다음 적분이 $0$인지를 묻게 된다.

실수 신호에서 하던 대로 두 신호를 곱해 적분하면 답은 "아니다"이다. 한 주기는 $T=1$ s, 기본 각주파수는 $\omega_0=2\pi$ rad/s로 둔다.

반례 1: 주파수가 다른데 적분이 0이 아니다. $e^{j2\pi t}$(1 Hz)와 $e^{-j2\pi t}$(−1 Hz)는 주파수가 다르다. 네 시각에서 두 값과 곱을 구하면 다음과 같다.

첫째 점은 반시계 방향, 둘째 점은 시계 방향으로 같은 속도로 돌아서 두 각이 늘 상쇄된다. 곱은 모든 시각에서 $e^{j2\pi t}e^{-j2\pi t}=e^{0}=1$이고 적분은 $\int_0^1 1\,dt=1$이다. 주파수가 다른 두 신호가 "곱해서 적분하면 0"이라는 직교 조건을 만족하지 못한다.

반례 2: 크기가 1인 신호의 길이가 0이 된다. $x(t)=e^{j2\pi t}$를 자기 자신과 곱하면 $x\cdot x=e^{j4\pi t}$이다. 이 곱은 $t=0$에서 $1$, $0.125$ s에서 $j$, $0.25$ s에서 $-1$, $0.375$ s에서 $-j$로 1초 동안 단위원을 두 바퀴 돌고, 적분은 $0$이다. 벡터의 길이 제곱이 자기 자신과의 내적이듯, 신호와 자기 자신의 곱을 적분한 값은 그 신호의 길이(크기)의 제곱이어야 한다(신호의 길이는 아래 내적에서 정의한다). 그런데 모든 시각에서 크기가 1인 신호의 길이가 0으로 나온다.

일반적으로 $\omega_1=k\omega_0$, $\omega_2=m\omega_0$($k,m$은 정수)이면 다음과 같다.

곱의 회전 속도는 두 주파수의 합 $k+m$이 정한다. 반례 1처럼 $k+m=0$이면 적분이 $T$이고, 반례 2처럼 $k=m\ne0$이면 $0$이다. 실수 신호에서 쓰던 "곱해서 적분한다"는 규칙을 복소 신호에 그대로 쓰면 직교도 크기도 재지 못한다.

반례 1과 같은 계산을 한 주기의 샘플 8개로 하면 DFT 행렬의 행 1과 행 7을 곱하는 일이 된다. 두 행은 같은 빠르기로 서로 반대 방향으로 돌아, 행 1은 열마다 −45°, 행 7은 +45° 돈다. 열마다 두 페이저를 켤레 없이 곱하면 각이 지워져 곱이 모두 1이 되고, 곱을 차례로 이어 붙인 페이저 합은 실수축을 따라 8까지 뻗는다. 켤레를 붙여 곱하면 곱의 페이저가 열마다 −90° 돌아 여덟 열 동안 두 바퀴를 채우고, 합이 0이다.

윗줄은 행 1, 가운데 줄은 행 7(주파수 −1), 아랫줄은 두 페이저의 곱이고, 처음 상태는 켤레 없이 곱해 여덟 곱이 모두 1, 합이 8인 반례 1이다. 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해결책은 켤레 복소수 절의 $z\overline z=|z|^2$이다. 복소수의 크기 제곱은 켤레를 곱해 얻으므로, 복소 신호의 내적(inner product)은 둘째 신호에 켤레를 붙여 정의한다.

이 정의에서 다음 성질이 나온다.

• 자기 자신과의 내적은 $\langle x,x\rangle=\int_0^T|x(t)|^2\,dt\ge0$이고, 신호가 0일 때만 0이다. 그래서 $\sqrt{\langle x,x\rangle}$를 신호의 길이로 쓸 수 있다.
• 순서를 바꾸면 값이 켤레가 된다: $\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}$. 값이 0인지 아닌지, 곧 직교 여부는 순서와 관계없다.
• 실수 신호는 켤레를 붙여도 값이 그대로이므로 앞 절의 실수 내적과 같다. 사인·코사인 직교성에서 켤레가 보이지 않았던 이유이다.

두 반례를 이 내적으로 다시 계산하면 기대한 값이 나온다. 반례 1은 $e^{j2\pi t}\,\overline{e^{-j2\pi t}}=e^{j4\pi t}$라 적분이 $0$이고, 두 신호는 직교한다. 반례 2는 $e^{j2\pi t}\,\overline{e^{j2\pi t}}=|e^{j2\pi t}|^2=1$이라 $\langle x,x\rangle=1$, 곧 길이가 1이다. 일반적으로는 다음과 같다.

$k\ne m$이면 $e^{j(k-m)\omega_0t}$가 구간 동안 원 위를 정확히 $|k-m|$바퀴 돌아 평균이 $0$이 된다. 식으로는 $p=k-m\ne0$일 때 $\int_0^Te^{jp\omega_0t}\,dt=(e^{j2\pi p}-1)/(jp\omega_0)=0$이다. 공통 주기 $T$ 전체에서 적분하고 $k-m$이 정수이면 이 결과는 늘 성립한다. 더 짧은 구간에서는 보장되지 않는다. 예를 들어 $k-m=1$이면 반 주기 $[0,T/2]$에서 적분은 $jT/\pi$로 $0$이 아니다.

5장에서 다룰 푸리에 급수의 계수가 음의 지수를 쓰는 이유가 여기에 있다. 신호 $x(t)$에 들어 있는 $e^{jk\omega_0t}$ 성분은 그 기저(성분으로 쓰는 함수, 5장)와의 내적으로 구하고, 내적은 기저의 켤레 $e^{-jk\omega_0t}$를 곱해 적분하는 계산이다.

$T$로 나누는 이유는 기저가 자기 자신과 이루는 내적이 위 식의 $k=m$에서 $T$이기 때문이다. 벡터를 한 방향에 투영할 때 내적을 그 방향 벡터의 길이 제곱으로 나누는 것과 같다. 5장에서 자세히 다룬다.

$e^{-jk\omega_0t}=\cos k\omega_0t-j\sin k\omega_0t$이므로 이 적분 하나가 코사인과의 내적과 $-$사인과의 내적을 한꺼번에 계산한다.

기준을 입력과 같은 1 Hz로 두면 코사인 곱의 평균 0.5와 $-$사인 곱의 평균 0이 복소수 $c$의 실수부와 허수부가 되어 $c=0.5$이다. 입력의 위상 $\phi$가 바뀌면 $c$는 반지름 0.5인 원을 따라 돈다.

입력 cos 2πt(1 Hz)와 기준 k = 1 Hz를 한 주기 L = 1 s 동안 곱해 평균한다. cos 평균 0.5가 c의 실수부, −sin 평균 0이 허수부라서 c = 0.5이다.