계수 공식

앞 절의 계수 공식은 왜 신호에 $\cos mx$ 나 $\sin mx$ 를 곱해 적분하는 모양일까? 무한히 많은 항 가운데 한 항의 계수만 골라낼 수 있는 까닭은 무엇일까?

삼각함수계의 직교성

계수 공식이 성립하는 근거는 함수들의 모임 $\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots\}$ (삼각함수계)의 직교성이다. 정수 $n,m$ 에 대해, 길이가 $2\pi$ 인 구간 $[-\pi,\pi]$ 에서 다음이 성립한다.

\begin{aligned} &\text{(a)}\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx=0 \quad (n\ne m)\\ &\text{(b)}\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,dx=0 \quad (n\ne m)\\ &\text{(c)}\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx=0 \quad (\text{all } n, m) \end{aligned}

모든 함수의 주기가 $2\pi$ 의 약수이므로 $[0,2\pi]$ 처럼 길이가 $2\pi$ 인 다른 구간에서도 같다. 같은 함수끼리의 적분은 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\,dx=\pi$ $(n\ge1)$ , $\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi$ 이다.

증명에는 곱을 합으로 바꾸는 공식을 쓴다.

\begin{aligned} \cos A\cos B&=\tfrac12\left[\cos(A+B)+\cos(A-B)\right]\\ \sin A\sin B&=-\tfrac12\left[\cos(A+B)-\cos(A-B)\right]\\ \sin A\cos B&=\tfrac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right] \end{aligned}

$n\ne m$ 이면 (a)와 (b)는 다음과 같이 바뀐다.

\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx&=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n+m)x\,dx\\ &\quad+\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n-m)x\,dx\\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,dx&=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n-m)x\,dx\\ &\quad-\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos(n+m)x\,dx \end{aligned}

$n+m$ 과 $n-m$ 이 0이 아닌 정수이면 $\cos(n\pm m)x$ 는 $[-\pi,\pi]$ 에서 정수 번 완전히 진동하므로 적분이 0이다. $n=m$ 이면 $\cos(n-m)x=1$ 이 되어 적분이 $2\pi$ 이고, 앞의 $\frac12$ 과 곱해져 길이 제곱 $\pi$ 가 나온다.

직접 유도해 보기. (c)가 $n=m$ 을 포함한 모든 정수 쌍에서 0인 이유를 보여라.

풀이

\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx&=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin(n+m)x\,dx\\ &\quad+\frac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin(n-m)x\,dx \end{aligned}

$\sin(\text{integer}\cdot x)$ 는 홀함수이므로 대칭 구간에서 적분하면 0이다. $n=m$ 이면 둘째 항의 피적분 함수가 $\sin 0=0$ 이라 처음부터 0이다. 따라서 어떤 정수 쌍에서도 $0+0=0$ 이다.

4장의 직교성 절은 같은 결과를 곱→합 공식으로 보였고, 복소 지수로 쓴 직교성은 4장 끝의 켤레를 붙인 내적 절에서 보였다.

계수 공식 유도

급수 $f(x)=a_0+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 가 성립하고, 합과 적분의 순서를 바꿔 항별로 적분할 수 있다고 가정한다. 그러면 직교성 하나로 세 계수가 모두 나온다.

$a_0$ . 양변을 한 주기에서 적분한다. 오른쪽의 $\int\cos nx\,dx$ , $\int\sin nx\,dx$ 는 모두 0이다.

\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx&=a_0\int_{-\pi}^{\pi}dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx\\ &=2\pi a_0 \end{aligned}

a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx

$a_m$ . 양변에 $\cos mx$ $(m\ge1)$ 를 곱한 뒤 적분한다.

\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx\\ &=a_0\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx \end{aligned}

첫 항은 0이고, 합 안의 사인 항은 (c)에 따라 모두 0이다. 코사인 항은 (a)에 따라 $n=m$ 인 항 하나만 남고 그 값이 $a_m\pi$ 이다. 무한히 많은 항 가운데 차수가 맞는 항 하나만 살아남는 것이 직교성의 역할이다.

\begin{gathered} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx=a_m\pi\\ \Longrightarrow\quad a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx \end{gathered}

직접 유도해 보기. 양변에 $\sin mx$ $(m\ge1)$ 를 곱해 적분하는 방법으로 $b_m$ 을 구하라.

풀이

\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,dx\\ &=a_0\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\,dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\sin mx\,dx\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,dx \end{aligned}

첫 항은 0, 코사인 항은 (c)에 따라 모두 0이다. 사인 항은 (b)에 따라 $n=m$ 인 항만 남고 $\int\sin^2 mx\,dx=\pi$ 이다. 따라서 $\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,dx=b_m\pi$ , 즉

b_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,dx

세 공식은 모두 "신호와 기저의 내적 ÷ 기저의 길이 제곱"이다. 사각 펄스 기저에서 계수를 구한 방법을 정현파 기저에 그대로 적용한 것이다.

그림은 이 유도를 항마다 계산한다. $f(x)=0.5+\cos x+0.5\sin x-0.75\cos 2x+0.5\sin 2x+0.5\cos 3x-0.25\sin 3x$ 의 일곱 항에 각각 $\cos mx$ 를 곱하고, 곱이 $x$ 축 위에 있는 부분과 아래에 있는 부분을 면적으로 칠한다. 처음에는 $m=2$ 이다. 면적이 남는 것은 차수가 $m$ 인 줄뿐이다. 곱하는 기준을 $\sin mx$ 로 바꾸면 같은 방법으로 $b_m$ 이 남는다.

①은 f(x)와 곱하는 기준 cos mx, ②는 곱 f(x)cos mx와 그 면적, ③의 일곱 줄은 급수의 각 항에 cos mx를 곱한 것(오른쪽 수는 그 줄의 면적을 π의 배수로 적은 값)이다. ④의 막대는 지금까지 더한 면적, 점선은 ②의 면적이다.

해 보기

$m=2$ 에서 $n=1$ 까지의 세 줄의 면적이 얼마인지 확인하라.
관찰
$a_0$ , $a_1\cos x$ , $b_1\sin x$ 세 줄 모두 $x$ 축 위와 아래의 면적이 같아 0이다. ④의 막대도 0에 머문다.
$m=2$ 에서 $n=3$ 까지 모두 더하면 어느 줄에 면적이 남는지 보고, $a_2$ 를 구하라.
관찰
면적이 남는 줄은 $a_2\cos 2x$ 하나이고 그 면적은 $-0.75\pi$ 이다. 막대가 ②의 면적 $-0.75\pi$ 에 닿고, π로 나누면 $a_2=-0.75$ 이다.
곱하는 기준이 $\sin mx$ 이고 $m=1$ , $n=3$ 일 때 어느 줄에 면적이 남는지 보고, $b_1$ 을 구하라.
관찰
$b_1\sin x$ 줄에만 $0.5\pi$ 가 남아 $b_1=0.5$ 이다. 코사인 줄은 (c)에 따라 모두 0이다.

$f(x)=2+3\cos2x-\sin5x$ 에 $\sin5x$ 를 곱해 $[-\pi,\pi]$ 에서 적분한 값을 구하라.

풀이

답 -π

힌트 직교성에 따라 $\sin5x$ 와 짝이 맞는 항 하나만 남는다.

상수항과 $3\cos2x$ 항은 $\int_{-\pi}^{\pi}\sin5x\,dx=0$ 과 (c)에 따라 0이다. 남는 것은 $-\int_{-\pi}^{\pi}\sin^25x\,dx=-\pi$ 이다. 이것을 $\pi$ 로 나누면 $b_5=-1$ 이다.

계수 공식 $a_m=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mx\,dx$ $(m\ge1)$ 앞의 $\frac1\pi$ 가 무엇인지 고르라.

(가) 곱을 합으로 바꾸는 공식의 $\frac12$
(나) 기저 $\cos mx$ 의 길이 제곱 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2mx\,dx=\pi$ 로 나눈 것
(다) 한 주기 평균을 내려고 주기로 나눈 것

풀이

답 (나) 기저 $\cos mx$ 의 길이 제곱 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2mx\,dx=\pi$ 로 나눈 것

(가) 그 $\frac12$ 은 $\int\cos^2mx\,dx=\pi$ 를 계산할 때 이미 쓰였다.
(다) 주기는 $2\pi$ 라서 평균이면 $\frac{1}{2\pi}$ 이다. 그렇게 나누는 것은 $a_0$ 뿐이다.

직교 기저에서 계수는 "신호와 기저의 내적 ÷ 기저의 길이 제곱"이다. $\cos mx$ 의 길이 제곱이 $\pi$ 라서 $\frac1\pi$ 가 붙는다. 상수 기저 1의 길이 제곱은 $2\pi$ 라서 $a_0$ 에는 $\frac{1}{2\pi}$ 가 붙는다.