복소 지수 푸리에 급수

코사인 계수와 사인 계수 두 개로 적던 한 주파수 성분을 복소수 하나로 적을 수 있을까? 그 복소수는 어떤 내적으로 구할까?

4장의 Euler 공식으로 코사인과 사인을 복소 지수로 바꾼다.

\cos\varphi=\frac{e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}}{2},\qquad \sin\varphi=\frac{e^{j\varphi}-e^{-j\varphi}}{2j}

실수 급수에 대입하고 $e^{jnx}$ 와 $e^{-jnx}$ 끼리 모은다( $1/j=-j$ ).

\begin{aligned} f(x)&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\frac{e^{jnx}+e^{-jnx}}{2}\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{e^{jnx}-e^{-jnx}}{2j}\\ &=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jnx}\\ &\quad+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jnx}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{jnx} \end{aligned}

\begin{gathered} c_0=a_0\\ c_n=\frac{a_n-jb_n}{2},\quad c_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}\quad(n\ge1) \end{gathered}

계수는 한 식으로 바로 구할 수 있다. $\frac{1}{2\pi}\int f(\cos nx-j\sin nx)\,dx=\frac12(a_n-jb_n)$ 이므로

c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-jnx}\,dx,\qquad n=0,\pm1,\pm2,\dots

$n=0$ 이면 $c_0$ 는 평균, 곧 $a_0$ 이다. 주기 $T$ 인 신호에서는 다음과 같다.

\begin{gathered} x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}\\ c_k=\frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T} \end{gathered}

계수를 구하는 식(분석)에는 음의 지수, 신호를 다시 만드는 식(합성)에는 양의 지수가 들어간다. 음의 지수 $e^{-jk\omega_0 t}$ 는 기저 $e^{jk\omega_0 t}$ 의 켤레이다. 4장에서 본 대로 복소 신호의 내적은 한쪽에 켤레를 붙여 정의한다. 그래야 같은 기저끼리의 내적이 길이 제곱(양수)이 되고 서로 다른 정수 차수끼리는 0이 된다. 한 주기 평균으로 쓰면 다음과 같다.

\begin{aligned} \frac{1}{T}\int_T e^{jk\omega_0 t}\,\overline{e^{jm\omega_0 t}}\,dt&=\frac{1}{T}\int_T e^{j(k-m)\omega_0 t}\,dt\\ &=\begin{cases}1, & k=m\\ 0, & k\ne m\end{cases} \end{aligned}

여기서 $k,m$ 은 정수이다. 4장에서 본 것처럼 켤레 없이 곱하면 $e^{j2\omega_0 t}\cdot e^{-j2\omega_0 t}=1$ 처럼 서로 다른 두 기저에서도 적분이 $T$ 가 된다. 계수를 구할 때 켤레가 빠지면 $c_k$ 자리에 $c_{-k}$ 가 나온다.

실수 신호 $x(t)$ 에서는 $\overline{x(t)}=x(t)$ 이므로 계수 적분에 켤레를 취하면

\overline{c_k}=\frac1T\int_T\overline{x(t)}e^{jk\omega_0t}\,dt =\frac1T\int_Tx(t)e^{-j(-k)\omega_0t}\,dt=c_{-k}

이다. $\pm k$ 두 항을 더하면 허수부가 상쇄되어 진폭 $2\lvert c_k\rvert$ , 위상 $\angle c_k$ 인 실수 정현파 하나가 된다.

\begin{aligned} c_k e^{jk\omega_0 t}+c_{-k}e^{-jk\omega_0 t}&=2\operatorname{Re}\{c_k e^{jk\omega_0 t}\}\\ &=2\lvert c_k\rvert\cos(k\omega_0 t+\angle c_k) \end{aligned}

복소 신호는 이 대칭을 가질 필요가 없고, 그때 $c_k$ 와 $c_{-k}$ 는 서로 관계없는 값이다.

앞의 사각파에서는 $a_n=0$ 이므로 $c_n=-jb_n/2$ 이다. 홀수 $n$ 에서 $c_n=-j\,2A/(n\pi)$ , $c_{-n}=+j\,2A/(n\pi)$ 이고 짝수 $n$ 과 $n=0$ 에서는 0이다. 계수가 모두 순허수인 것은 사각파가 실수 홀함수이기 때문이다(성질 절의 대칭 참고).

실수 신호 $x(t)$ 에서 $c_k$ 의 실수부와 허수부는 각각 코사인, $-$ 사인과의 내적이다.

\begin{aligned} c_k&=\underbrace{\frac{1}{T}\int_T x(t)\cos k\omega_0 t\,dt}_{\operatorname{Re}c_k}\\ &\quad+j\,\underbrace{\frac{1}{T}\int_T x(t)\left(-\sin k\omega_0 t\right)dt}_{\operatorname{Im}c_k} \end{aligned}

복소 신호에서는 두 내적 자체가 복소수이므로 이렇게 나눌 수 없다. 두 내적 가운데 하나가 0이라고 그 주파수 성분이 없다는 뜻은 아니다.

입력이 $\cos(2\pi t+\varphi)$ (1 Hz)이고 기준이 $k=1$ Hz이면, $\varphi=0^\circ$ 에서는 cos 곱의 면적만 남아 $c_1=0.5$ 이고, $\varphi$ 가 바뀌면 점 $c$ 가 반지름 0.5인 원 위를 돈다. $\varphi=90^\circ$ 이면 입력은 $-\sin 2\pi t$ 가 된다. 코사인과의 내적은 0이지만 $-$ 사인과의 내적은 0.5가 남아서 $c_1=j0.5$ 이다. 곱 아래의 성분 줄에서 면적을 남기는 것은 $f-k=0$ Hz 성분뿐이다. 이 성분은 cos 곱에서 상수 $\tfrac12\cos\varphi$ , $-\sin$ 곱에서 상수 $\tfrac12\sin\varphi$ 이고, $f+k=2$ Hz 성분은 1 s 동안 두 번 돌아 면적이 0이다.

입력 cos(2πt + φ)(1 Hz)를 기준 k = 1 Hz의 코사인·(−사인)과 한 주기 L = 1 s 동안 곱해 평균한 두 내적을 복소평면의 한 점 c로 모으며, 처음 상태 φ = 0°에서는 c = 0.5이다. 점선 원의 반지름은 입력 진폭의 절반 A/2이고, 성분 줄의 f − k = 0 Hz 성분은 그 곱의 평균과 같은 높이의 상수이다.

해 보기

$\varphi=90^\circ$ 이면 두 곱의 평균과 $c_1$ 이 어떻게 되는지 확인하라.
관찰
입력이 $-\sin2\pi t$ 이다. cos 곱의 평균은 0이고 $-\sin$ 곱의 평균 0.5만 남아 $c_1=j0.5$ 이다. 0 Hz 성분이 cos 곱에서는 0, $-\sin$ 곱에서는 높이 0.5인 상수이다.
$\varphi=45^\circ$ 이면 $c_1$ 의 크기와 각도를 확인하라.
관찰
두 평균이 모두 0.354로, $c_1=0.354+j0.354$ 이다. 크기 $\lvert c_1\rvert=0.5$ 는 그대로이고 각도가 45°이다.
$\varphi=180^\circ$ 이면 $c_1$ 이 얼마인지 확인하라.
관찰
$c_1=-0.5$ 이다. 입력이 $-\cos2\pi t$ 라 cos 곱의 면적이 모두 음수이다.

회전 벡터로 보기

급수의 한 항 $c_k e^{jk\omega_0 t}$ 는 복소평면에서 도는 벡터이다. 길이는 $\lvert c_k\rvert$ , $t=0$ 에서의 각도는 $\angle c_k$ 이고, 한 주기 $T$ 동안 $k$ 바퀴 돈다. $k>0$ 이면 반시계 방향, $k<0$ 이면 시계 방향으로 돌고, $k=0$ 인 벡터는 멈춰 있다.

어느 시각 $t$ 에서 모든 벡터를 머리와 꼬리를 이어 더하면 마지막 끝점이 $x(t)$ 이다. 입력 $t$ 하나에 복소평면의 점 하나가 대응하고, $t$ 가 0에서 $T$ 까지 가는 동안 끝점은 닫힌 곡선을 그린다. 차수를 많이 쓸수록 더 복잡한 곡선을 그릴 수 있다. 3Blue1Brown의 푸리에 급수 영상은 차수 −3…3을 비롯한 여러 회전 벡터를 이어 붙여 끝점이 π 모양 곡선을 따라가게 한다. 그 영상은 주기를 1로 두고 각 항을 $c_n e^{n\cdot 2\pi i t}$ 로 쓰는데, 이 장의 식에서 $T=1$ , $i=j$ 로 둔 것과 같다.

실수 신호는 $c_{-k}=\overline{c_k}$ 이므로 $k$ 차 벡터와 $-k$ 차 벡터가 실수축을 기준으로 거울처럼 움직인다. 두 벡터의 허수 성분이 상쇄되어 끝점은 실수축 위에서만 오간다. 그 위치가 $x(t)$ 이다.

그림은 진폭 1인 사각파( $T=1$ s)의 5차 부분합을 회전 벡터로 만든다. $c_k=-j\,2/(k\pi)$ 이므로 $\lvert c_1\rvert=0.64$ , $\lvert c_3\rvert=0.21$ , $\lvert c_5\rvert=0.13$ 이고, 짝수 차수는 계수가 0이라 벡터가 없다. 벡터는 $k=1,-1,3,-3,5,-5$ 순서로 붙는다. 벡터 하나는 원점에서 그은 계수 $c_k$ 의 화살표를 $2\pi kt$ 만큼 돌려 $c_k e^{j2\pi kt}$ 로 만들고, 앞 벡터들의 끝에 이어 붙인다. 계산 표에는 벡터마다 $c_k$ , 돌린 각 $2\pi kt$ , 돌린 벡터, 끝점이 한 줄씩 남는다. $1$ 차와 $-1$ 차 벡터를 이으면 끝점이 실수축으로 돌아오고, 초록 파형은 진폭 $4/\pi\approx1.27$ 인 사인이 된다. 벡터를 더 이을수록 초록 파형이 점선의 사각파에 다가간다. $t$ 가 한 주기 동안 흐르면 페이저 합 전체가 돌며 끝점이 닫힌 곡선을 그리고, 그 실수부가 오른쪽의 파형이 된다. 왼쪽의 초록 길과 오른쪽의 초록 파형은 지금까지 이은 벡터들의 끝점이 한 주기 동안 그리는 것이라, 벡터가 하나 이어질 때마다 바뀐다.

t = 0.125 s에서 계산하며, 주황 화살표가 지금 만드는 벡터, 흐린 화살표가 이은 벡터, 속이 빈 점이 목표 사각파의 값 x(t), 보라 점선이 Im z(t)이다. 계수(회색), 돌린 벡터(주황), 끝점(초록)은 그림, 표, 식에서 같은 색이고, 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

$t=0.25$ 에서 돌린 벡터를 모두 이은 끝점이 어디에 있는지 확인하라.
관찰
돌린 벡터가 $0.637$ , $0.637$ , $-0.212$ , $-0.212$ , $0.127$ , $0.127$ 로 모두 실수이고, 끝점이 실수축 위에 있다. 세 자리로 반올림한 여섯 값을 이어 더한 끝점은 1.104이고, 그림은 정확한 값 $\frac4\pi\left(1-\frac13+\frac15\right)=1.103$ 을 옆에 적는다. 차이는 반올림한 수를 이어 더해서 생긴다.
$t=0.5$ 에서 돌린 벡터를 모두 이은 끝점이 어디에 있는지 보고, 그 자리가 사각파의 어디인지 생각해 보라.
관찰
켤레 쌍마다 돌린 벡터가 $j0.637$ 과 $-j0.637$ 처럼 서로 지워 끝점이 원점에 있다. 사각파가 −1로 뛰는 점프 위치이고, 부분합은 좌우 값의 평균 0을 지난다.
켤레 쌍 없이 $t=0.125$ 에서 벡터를 모두 이으면 끝점이 어디에 있는지, 실수부가 켤레 쌍이 있을 때와 어떻게 다른지 확인하라.
관찰
$-k$ 차 벡터가 빠져 벡터가 세 개 남고, 끝점이 실수축을 벗어나 $z=0.51-j0.21$ 에 있다. 실수부는 켤레 쌍이 있을 때의 1.02의 절반이다.

톱니파도 같은 방식으로 만든다. 주기 $2\pi$ 마다 −2에서 2로 올라가는 톱니파는 다음과 같다.

\begin{gathered} x(\theta)=\frac{2}{\pi}(\theta-\pi)\quad(0<\theta<2\pi)\\ x(\theta)=-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\theta}{n} \end{gathered}

한 주기 평균이 0이고 주기적으로 연장한 신호가 홀함수이므로 $a_0=a_n=0$ 이다. 사인 계수는 부분적분으로 구한다.

\begin{aligned} b_n&=\frac{2}{\pi^2}\int_0^{2\pi}(\theta-\pi)\sin n\theta\,d\theta\\ &=\frac{2}{\pi^2}\left[-\frac{(\theta-\pi)\cos n\theta}{n}+\frac{\sin n\theta}{n^2}\right]_0^{2\pi} =-\frac{4}{n\pi}\quad(n\ge1) \end{aligned}

처음 다섯 고조파만 더해도 모양이 드러나고, 불연속 옆에서 부분합은 약 ±2.02까지 간다. 복소 계수는 $c_n=j\,2/(n\pi)$ 이고, 5차까지의 크기는 0.64, 0.32, 0.21, 0.16, 0.13, 위상은 모두 90°이다. 원 하나에 벡터 하나만 두고 그 세로 성분을 보는 그림(harmonic circles)도 자주 쓰인다. 그때 원의 반지름은 실수 정현파의 진폭 $2\lvert c_n\rvert=4/(n\pi)\approx1.27,\ 0.64,\ 0.42,\ 0.32,\ 0.25$ 이다. 켤레 쌍 두 벡터로 만든 결과와 같다. 원을 따라 도는 과정은 jezzamon의 대화형 설명과 MATLAB File Exchange의 harmonic circles 애니메이션에서도 볼 수 있다.

뒤의 Gibbs 현상 절 그림에서 파형을 톱니파로 바꾸면, 이 톱니파를 세로로 절반 줄인 신호(주기 1 s마다 −1에서 1로 올라가는 톱니파)의 부분합을 차수 $N$ 을 늘려 가며 볼 수 있다.

같은 방법으로 파형이 아닌 닫힌 곡선도 그린다. 평면의 곡선을 한 바퀴 도는 점 $z(t)$ 는 주기 $T$ 인 복소 신호이므로 계수 $c_k$ 가 있고, 벡터 $c_k e^{jk\omega_0 t}$ 를 이어 붙인 끝점이 그 곡선을 따라간다. 그림은 글자 ㄹ의 윤곽을 목표로 두고 벡터를 긴 것부터 하나씩 붙인다. 벡터가 늘수록 초록 곡선이 점선에 다가간다.

정사각형처럼 90° 돌릴 때마다 제 모양이 되는 곡선을 원점 중심에서 일정한 빠르기로 반시계 방향으로 돌면 $z(t+T/4)=jz(t)$ (90° 회전)이다. 시간을 $T/4$ 옮기면 계수에 $e^{jk\pi/2}$ 가 곱해지므로(아래 '푸리에 급수의 성질'의 시간 이동) 계수는 $e^{jk\pi/2}c_k=jc_k$ 를 만족해야 하고, $k=4m+1$ ( $m$ 은 정수)인 차수만 남을 수 있다.

목표 곡선은 가로세로 2인 상자 안의 다각형이고, 그 위의 점이 둘레를 같은 빠르기로 한 바퀴 도는 데 T = 1 s가 걸리며, 계수는 c_k = ∫₀¹ z(t)e^−j2πktdt로 구했다. 점선 위의 속이 빈 회색 점은 페이저 합의 지금 시각 t에 목표 곡선 위의 점이 있는 자리(끝점이 가까이 와야 할 곳), 빨간 점선은 같은 시각 t에서 끝점과 목표 곡선 위의 점이 가장 멀리 떨어진 곳, 회색 곡선은 벡터를 하나 덜 쓴 곡선이다.

해 보기

벡터 하나만으로 그린 끝점의 궤적을 목표 곡선과 비교하라.
관찰
가장 긴 벡터는 $k=1$ , $\lvert c_1\rvert=0.673$ 이다. 끝점은 반지름 0.673인 원을 반시계 방향으로 한 번 돌 뿐이다. 같은 시각 $t$ 의 끝점과 목표 곡선 위의 점 사이 거리는 가장 클 때 1.213이고, 그림의 빨간 점선이 그 두 점을 잇는다.
벡터 네 개로 그린 궤적이 목표 곡선에 얼마나 가까워지는지 확인하라.
관찰
$k=1,3,-3,-1$ 네 벡터만으로 ㄹ처럼 위아래로 두 번 꺾인 모양이 드러나고, 같은 시각의 두 점 사이 거리는 가장 클 때도 0.282로 준다. 페이저 합 끝의 짧은 벡터일수록 모서리 같은 작은 모양을 맡는다.
목표 곡선이 네모일 때 벡터 네 개가 쓰는 차수를 확인하고, 그 차수만 남는 까닭을 생각해 보라.
관찰
쓰는 차수가 $1,-3,5,-7$ 이다. 네모는 90° 돌려도 같은 모양이라 4로 나눈 나머지가 1인 차수의 계수만 0이 아니고, 계수 그림에도 그 밖의 $k$ 에는 스템이 없다.

급수와 변환

급수는 주기 신호를 이산 주파수 $k\omega_0$ 의 복소 지수로 나눈다.

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}

변환은 주기가 없는 신호를 연속 주파수 $\omega$ 의 복소 지수로 나눈다.

\begin{aligned} X(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt\\ x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega \end{aligned}

주기 $T$ 를 한없이 늘리면 주파수 간격 $\omega_0=2\pi/T$ 가 0으로 좁아지고, 계수의 합이 주파수에 대한 적분으로 바뀐다. 6장에서 이 극한을 따라간다. 위 정의에서 순변환에는 상수가 붙지 않고 역변환에만 $1/(2\pi)$ 가 붙는다. 수학 교재에서는 두 식 앞에 $1/\sqrt{2\pi}$ 를 하나씩 나눠 붙인 대칭형도 쓴다.

실수 주기 신호의 계수가 $c_2=0.3-j0.4$ 이다. $c_{-2}$ 를 고르라.

(가) $0.3+j0.4$
(나) $0.3-j0.4$
(다) $-0.3+j0.4$
(라) $0$

풀이

답 (가) $0.3+j0.4$

(나) 두 계수가 같으면 $\pm2$ 차 두 항의 허수부가 상쇄되지 않아 신호가 복소수가 된다.
(다) 이것은 $-c_2$ 이다. 실수 신호에서 $c_{-k}$ 는 $c_k$ 의 켤레이다.
(라) 실수 신호의 $k$ 차 성분에는 늘 $-k$ 차 짝이 있다.

실수 신호는 $c_{-k}=\overline{c_k}$ 이므로 $c_{-2}=0.3+j0.4$ 이다. 두 항을 더하면 $2\lvert c_2\rvert\cos(2\omega_0t+\angle c_2)=\cos(2\omega_0t-53.1^\circ)$ 이다.

$x(t)=3\sin 2\omega_0 t$ 의 복소 계수 $c_2$ 를 고르라.

(가) $-j3$
(나) $j1.5$
(다) $1.5$
(라) $-j1.5$

풀이

답 (라) $-j1.5$

(가) 진폭 3은 $c_2$ 와 $c_{-2}$ 두 계수에 반씩 나뉜다.
(나) $\sin\varphi=(e^{j\varphi}-e^{-j\varphi})/(2j)$ 이고 $1/j=-j$ 이다. $j1.5$ 는 $c_{-2}$ 이다.
(다) 실수 계수는 코사인 성분이다. 사인은 코사인과의 내적이 0이라 계수가 순허수이다.

$3\sin2\omega_0t=\frac{3}{2j}e^{j2\omega_0t}-\frac{3}{2j}e^{-j2\omega_0t}$ 이므로 $c_2=\frac{3}{2j}=-j1.5$ , $c_{-2}=j1.5$ 이다. 실수 급수로는 $b_2=3$ 이고 $c_2=-jb_2/2$ 와 같다.