수렴 조건과 Gibbs 현상

급수는 언제 원래 신호로 돌아갈까? 값이 뛰는 불연속점에서는 어떤 값으로 가고, 유한 개의 항에서 끊으면 무엇이 남을까?

Dirichlet 조건

모든 주기 신호의 급수가 원래 신호로 수렴하는 것은 아니다. 다음 세 조건, 곧 Dirichlet 조건을 만족하면 수렴이 보장된다.

1. 한 주기에서 절대 적분 가능하다: $\int_T\lvert x(t)\rvert\,dt<\infty$.
2. 한 주기 안에서 극대·극소의 개수가 유한하다.
3. 유한한 구간 안에서 불연속점의 개수가 유한하고, 각 불연속에서 값이 뛰는 크기도 유한하다.

더 넓은 충분조건으로, 한 주기에서 값이 오르내린 총량이 유한하다는 유계 변동(bounded variation) 조건도 있다.

이 조건을 만족하면 $x(t)$가 연속인 점에서 급수는 $x(t)$로 수렴한다. 불연속점 $t_a$에서도 급수는 수렴하는데, 그 값은 왼쪽 극한과 오른쪽 극한의 평균이다. 부분합을 좌우 신호값의 가중 적분으로 바꾸어 얻는 Dirichlet 수렴 정리의 결과이며, 증명은 생략한다.

사각파의 급수에 $x=0$을 넣으면 모든 항이 $\sin 0=0$이라 합이 0이고, 이 값은 $-A$와 $A$의 평균이다.

조건을 어기는 예도 있다. 주기가 1이고 한 주기 안에서 값이 $1,\ \tfrac12,\ \tfrac14,\dots$로 폭이 절반씩 줄어드는 계단을 끝없이 내려가는 신호는 유계이고 적분도 되지만 불연속이 무한히 많아 조건 3을 어긴다. 한 주기 $0<t\le1$에서 $x(t)=1/t$인 신호는 $\int_0^1 dt/t$가 발산하므로 조건 1을 어긴다. $0<t\le1$에서 $\sin(2\pi/t)$인 신호는 $t\to0$에서 무한히 많이 진동하므로 조건 2를 어긴다. 공학에서 측정하고 다루는 신호는 거의 모두 세 조건을 만족한다.

세 반례가 무너지는 곳은 모두 $t\to0$이다. 그림은 한 주기 가운데 $[\varepsilon,1]$만 보고 면적, 극값, 불연속을 센다. $\varepsilon$을 0.1에서 0.01, 0.001로 줄이면 그림이 $t=0$ 쪽으로 10배씩 확대되고, 센 값은 확대할 때마다 늘어나, 셋 다 $\varepsilon$을 줄이는 만큼 끝없이 커진다. 면적은 10배 확대할 때마다 $\ln10=2.30$씩 는다. 계단은 값이 유계이고 한 주기의 면적도 2/3으로 유한하지만, 불연속이 끝없이 많다.

가로축은 0부터 10ε까지이고 회색 띠(t < ε)는 세지 않으며, ①은 1/t 아래의 면적 ln(1/ε), ②는 sin(2π/t)의 극대·극소 수, ③은 계단의 불연속 수이다. ①에 칠한 [ε, 10ε]의 면적은 늘 ln 10 = 2.30이다.

조건을 만족하는 신호에서는 불연속점의 부분합이 어디로 갈까? 그림은 높이 1, $\tau/T=0.25$인 펄스열($T=1$ s)이 0에서 1로 뛰는 점 $t_a=-\tau/2=-0.125$ s 부근이다. 좌우 극한이 0과 1이므로 급수는 그 평균 0.5로 가야 한다. $N$이 커질수록 점프 위치의 값은 0.5 둘레로 좁혀진다. 점프 바로 옆에서 부분합은 $N$을 늘려도 점프의 약 9 %만큼 넘치고, 넘치는 폭만 좁아진다(아래 Gibbs 현상 절).

①은 한 주기, ②는 그 가운데 네모 친 ±0.08 s를 확대한 것이고, 점선이 x(t), 초록 곡선이 N차 부분합 S_N, 회색 곡선이 바로 앞의 S_N−1, 속이 빈 두 점이 좌우 극한, 초록 점이 점프 위치의 값이다. ③은 N = 0부터 점프 위치의 값을 차례로 찍은 것이고 붉은 선분은 새로 더한 N차 항이 그 값을 바꾼 양이며, 점프 옆 피크가 확대 구간 안에 들어오면(펄스열은 N ≥ 6) 그 꼭대기 위에 작은 삼각형을 찍는다.

예제 2: 펄스열

높이 $K$, 폭 $\tau$인 펄스가 주기 $T$ $(0<\tau<T)$로 반복되고, $t=0$에 가운데 펄스가 놓여 있다. 먼저 세 조건을 확인한다. 한 주기의 $\int_T\lvert x\rvert\,dt=K\tau$는 유한하다. 한 주기 안의 값은 $K$와 0 두 가지뿐이라 극값이 유한하다. 한 주기에 불연속이 $t=\pm\tau/2$ 두 곳이고 각 점프의 크기는 $K$이다. 따라서 Dirichlet 조건을 만족하고, $t=\pm\tau/2$에서 급수는 $K/2$로 수렴한다.

풀이에 쓰는 sinc 함수는 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$로 정의한다.

직접 유도해 보기. 이 펄스열의 $c_k$를 구하라.

주기 $T$를 키우면 스템 간격 $1/T$와 높이가 함께 줄지만, $T$를 곱한 $Tc_k$는 펄스 하나의 스펙트럼 곡선 위에 남는다. 이 곡선이 6장의 푸리에 변환이고, 6장 첫 그림이 이 과정을 $T$를 바꿔 가며 보인다.

그림은 높이 1, $\tau/T=0.25$인 펄스열($T=1$ s)에 $k$차 기준 $\cos2\pi kt$, $-\sin2\pi kt$를 곱한 두 곱의 평균이다. $k=3$에서 cos 곱의 평균은 풀이의 $\frac{1}{3\pi}\sin\frac{3\pi}{4}=0.075$와 같고, $-\sin$ 곱의 평균은 0이다. 펄스열이 짝함수이므로 $-\sin$ 곱의 평균은 어느 $k$에서나 0이고, cos 곱의 평균(면적 ÷ $T$, $T=1$ s)이 풀이의 $\frac{1}{k\pi}\sin\frac{k\pi\tau}{T}$이다.

높이 1, τ/T = 0.25인 펄스열의 한 주기와 k차 기준, 두 곱의 면적이다. 맨 아래 줄의 aₖ는 cos 곱 평균의 두 배이다.

Gibbs 현상

불연속이 있는 신호를 유한 개의 정현파로 근사하면 불연속 바로 옆에서 부분합이 원래 값보다 튀어나온다. 이것이 Gibbs 현상이다. 차수 $N$을 늘리면 튀어나온 부분의 폭은 좁아지지만 오버슈트는 0이 되지 않고, 점프 크기의 약 9 %에 가까워진다. 이 비율은 사인 적분 $\operatorname{Si}(v)=\int_0^v(\sin u)/u\,du$에서 나온다.

점프 부근의 부분합을 확대해 이 적분으로 바꾸는 증명은 생략한다.

진폭 ±1인 사각파(점프 크기 2)로 확인하면 다음과 같다. $N$은 합에 넣은 가장 높은 차수이다.

위 표처럼 사각파의 최고 차수 $N$이 홀수이면, 부분합을 미분해 $S_N'(t)=\frac{4}{T}\frac{\sin((N+1)\omega_0t)}{\sin(\omega_0t)}$를 얻는다. $t=0$의 점프 뒤에서 도함수가 처음 0이 되는 곳은 $(N+1)\omega_0t=\pi$, 곧 $t=T/(2(N+1))$이고 이곳이 첫 최댓값이다. 짝수 차수의 계수는 0이므로 짝수 $N$에서는 바로 앞 홀수 차수의 부분합과 위치가 같다. $N$이 커질수록 이 피크는 불연속 쪽으로 다가가고, 넘치는 양은 $1.179-1=0.179$로 점프 2의 약 9 %에 가까워진다.

그래서 급수는 불연속점이 아닌 각 점에서는 $x(t)$로 수렴하지만, 한 주기 전체의 최대 오차는 0으로 가지 않는다. 이런 수렴은 균일 수렴(uniform convergence)이 아니다. 어느 한 시각을 고정하면 $N$이 충분히 클 때 넘치는 부분이 그 시각을 지나 불연속 쪽으로 밀려가므로 오차가 작아진다. 넘치는 부분 자체는 불연속 옆에 늘 남아 있다.

대역을 제한한 신호에서 모서리 근처에 생기는 링잉(ringing)이 같은 현상이다. 높은 주파수 성분을 잘라 내면 날카로운 점프를 만들 수 없고, 점프 옆에 진동이 남는다.

그림의 위 패널은 두 주기의 부분합이고, 아래 확대 그림은 $t=0$의 점프 옆 ±0.15 s이다. 확대 그림에는 지금 $N$의 부분합(초록) 옆에 표의 다른 $N$을 회색으로 겹쳤고, 속이 빈 점이 각각의 최댓값이다. 붉은 점($N=101$의 최댓값)과 회색 점($N=3,7,11$)은 모두 붉은 점선($N\to\infty$ 한계 1.179) 가까이에 있고, $N$이 클수록 점프 쪽에 붙는다. $N=3,7,11$의 최댓값은 1.2004, 1.1842, 1.1813으로 위 표와 같다. 그림에서 ▶를 누를 때마다 차수가 하나 늘어 그 항이 더해지고, 파형을 톱니파로 바꾸면 앞 절의 톱니파에서 같은 확대를 볼 수 있다.

진폭 ±1 사각파(T = 1 s)의 101차 부분합이고, 확대 그림에서 최댓값 1.179가 불연속에서 0.0049 s(T/204) 떨어진 곳에 있고, 오버슈트 0.179는 점프 2의 8.95 %이다. 회색 곡선과 속이 빈 점은 N = 3, 7, 11의 부분합과 그 최댓값이다.