실수 푸리에 급수
주기 신호를 상수와 코사인·사인의 합으로 쓰면, 각 항의 계수는 어떻게 정해질까? 앞 절의 방법대로 신호와 각 기저의 내적을 기저의 길이 제곱으로 나누면 된다.
주기가 2 π 2\pi 2 π f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right) f ( x ) = a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x \begin{aligned}
a_0&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\\
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx
\end{aligned} a 0 a n b n = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) d x = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos n x d x = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x a 0 a_0 a 0 a n a_n a n b n b_n b n f f f cos n x \cos nx cos n x sin n x \sin nx sin n x ∫ 1 2 d x = 2 π \int 1^2\,dx=2\pi ∫ 1 2 d x = 2 π ∫ cos 2 n x d x = ∫ sin 2 n x d x = π \int\cos^2 nx\,dx=\int\sin^2 nx\,dx=\pi ∫ cos 2 n x d x = ∫ sin 2 n x d x = π 1 / ( 2 π ) 1/(2\pi) 1/ ( 2 π ) 1 / π 1/\pi 1/ π
상수항을 a 0 / 2 a_0/2 a 0 /2 a 0 = 1 π ∫ − π π f d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx a 0 = π 1 ∫ − π π f d x a 0 a_0 a 0 a 0 a_0 a 0
주기가 T T T x ( t ) x(t) x ( t ) x = ω 0 t x=\omega_0 t x = ω 0 t ω 0 = 2 π / T \omega_0=2\pi/T ω 0 = 2 π / T
x ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ) x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos n\omega_0 t+b_n\sin n\omega_0 t\right) x ( t ) = a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ) a 0 = 1 T ∫ T x ( t ) d t a n = 2 T ∫ T x ( t ) cos n ω 0 t d t b n = 2 T ∫ T x ( t ) sin n ω 0 t d t \begin{aligned}
a_0&=\frac{1}{T}\int_T x(t)\,dt\\
a_n&=\frac{2}{T}\int_T x(t)\cos n\omega_0 t\,dt\\
b_n&=\frac{2}{T}\int_T x(t)\sin n\omega_0 t\,dt
\end{aligned} a 0 a n b n = T 1 ∫ T x ( t ) d t = T 2 ∫ T x ( t ) cos n ω 0 t d t = T 2 ∫ T x ( t ) sin n ω 0 t d t ∫ T \int_T ∫ T T T T
같은 차수의 코사인과 사인은 하나의 정현파로 합쳐진다.
a n cos n x + b n sin n x = A n cos ( n x − θ n ) A n = a n 2 + b n 2 , cos θ n = a n A n , sin θ n = b n A n \begin{gathered}
a_n\cos nx+b_n\sin nx=A_n\cos(nx-\theta_n)\\
A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\quad \cos\theta_n=\frac{a_n}{A_n},\quad \sin\theta_n=\frac{b_n}{A_n}
\end{gathered} a n cos n x + b n sin n x = A n cos ( n x − θ n ) A n = a n 2 + b n 2 , cos θ n = A n a n , sin θ n = A n b n 그래서 ( a n , b n ) (a_n,b_n) ( a n , b n ) n n n
그림은 같은 주파수로 도는 두 벡터를 머리와 꼬리로 이어 더하고, 같은 시각의 실수부를 파형으로 그린다. A 1 = a n A_1=a_n A 1 = a n A 2 = b n A_2=b_n A 2 = b n φ = − 90 ∘ \varphi=-90^\circ φ = − 9 0 ∘ A 1 cos θ + A 2 cos ( θ − 90 ∘ ) = a n cos θ + b n sin θ A_1\cos\theta+A_2\cos(\theta-90^\circ)=a_n\cos\theta+b_n\sin\theta A 1 cos θ + A 2 cos ( θ − 9 0 ∘ ) = a n cos θ + b n sin θ
같은 주파수로 도는 두 벡터의 합과 그 실수부 파형을 함께 그린다. 세 파형의 주파수는 1 Hz이다.
해 보기
a n = b n = 1 a_n=b_n=1 a n = b n = 1 이면 합의 진폭과 위상이 얼마인지 확인하라.
관찰 합의 진폭은 2 = 1.414 \sqrt2=1.414 2 = 1.414 cos θ + sin θ = 2 cos ( θ − 45 ∘ ) \cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\cos(\theta-45^\circ) cos θ + sin θ = 2 cos ( θ − 4 5 ∘ )
a n = 0.6 a_n=0.6 a n = 0.6 ,
b n = 0.8 b_n=0.8 b n = 0.8 이면 합의 진폭과 위상이 얼마인지 확인하라.
관찰 합의 진폭은 0.6 2 + 0.8 2 = 1 \sqrt{0.6^2+0.8^2}=1 0. 6 2 + 0. 8 2 = 1 cos θ n = 0.6 \cos\theta_n=0.6 cos θ n = 0.6 sin θ n = 0.8 \sin\theta_n=0.8 sin θ n = 0.8 θ n = 53.1 ∘ \theta_n=53.1^\circ θ n = 53. 1 ∘
두 벡터가 반대 방향이면 합이 어떻게 되는지 보고, 같은 주파수 두 정현파의 합의 진폭이 무엇으로 정해지는지 생각해 보라.
관찰 합 벡터의 길이가 0이고 파형도 0이다. 같은 주파수 두 정현파를 더한 진폭은 두 진폭의 합이 아니라 벡터 합의 길이이다.
예제 1: 사각파
진폭이 A A A 2 π 2\pi 2 π
f ( x ) = { − A , − π < x < 0 − A , 0 < x < π f ( x + 2 π ) = f ( x ) \begin{gathered}
f(x)=\begin{cases}-A, & -\pi<x<0\\ \phantom{-}A, & 0<x<\pi\end{cases}\\
f(x+2\pi)=f(x)
\end{gathered} f ( x ) = { − A , − A , − π < x < 0 0 < x < π f ( x + 2 π ) = f ( x ) 한 주기의 평균이 0이므로 a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0 f f f cos n x \cos nx cos n x f cos n x f\cos nx f cos n x [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ]
a n = 1 π [ ∫ − π 0 ( − A ) cos n x d x + ∫ 0 π A cos n x d x ] = 1 π [ − A sin n x n ∣ − π 0 + A sin n x n ∣ 0 π ] = 0 \begin{aligned}
a_n&=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}(-A)\cos nx\,dx+\int_{0}^{\pi}A\cos nx\,dx\right]\\
&=\frac{1}{\pi}\left[-A\frac{\sin nx}{n}\Big|_{-\pi}^{0}+A\frac{\sin nx}{n}\Big|_{0}^{\pi}\right]=0
\end{aligned} a n = π 1 [ ∫ − π 0 ( − A ) cos n x d x + ∫ 0 π A cos n x d x ] = π 1 [ − A n sin n x − π 0 + A n sin n x 0 π ] = 0 b n = 1 π [ ∫ − π 0 ( − A ) sin n x d x + ∫ 0 π A sin n x d x ] = 1 π [ A cos n x n ∣ − π 0 − A cos n x n ∣ 0 π ] = A n π [ cos 0 − cos ( − n π ) − cos n π + cos 0 ] = 2 A n π ( 1 − cos n π ) \begin{aligned}
b_n&=\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{0}(-A)\sin nx\,dx+\int_{0}^{\pi}A\sin nx\,dx\right]\\
&=\frac{1}{\pi}\left[A\frac{\cos nx}{n}\Big|_{-\pi}^{0}-A\frac{\cos nx}{n}\Big|_{0}^{\pi}\right]\\
&=\frac{A}{n\pi}\left[\cos 0-\cos(-n\pi)-\cos n\pi+\cos 0\right]\\
&=\frac{2A}{n\pi}\left(1-\cos n\pi\right)
\end{aligned} b n = π 1 [ ∫ − π 0 ( − A ) sin n x d x + ∫ 0 π A sin n x d x ] = π 1 [ A n cos n x − π 0 − A n cos n x 0 π ] = nπ A [ cos 0 − cos ( − nπ ) − cos nπ + cos 0 ] = nπ 2 A ( 1 − cos nπ ) cos n π = ( − 1 ) n \cos n\pi=(-1)^n cos nπ = ( − 1 ) n n n n b n = 0 b_n=0 b n = 0 n n n b n = 4 A / ( n π ) b_n=4A/(n\pi) b n = 4 A / ( nπ )
f ( x ) = 4 A π ( sin x + 1 3 sin 3 x + 1 5 sin 5 x + ⋯ ) f(x)=\frac{4A}{\pi}\left(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{5}\sin 5x+\cdots\right) f ( x ) = π 4 A ( sin x + 3 1 sin 3 x + 5 1 sin 5 x + ⋯ ) 항을 앞에서부터 하나씩 더한 부분합을 S 1 , S 2 , S 3 , … S_1,S_2,S_3,\dots S 1 , S 2 , S 3 , …
S 1 = 4 A π sin x S 2 = 4 A π ( sin x + 1 3 sin 3 x ) S 3 = 4 A π ( sin x + 1 3 sin 3 x + 1 5 sin 5 x ) \begin{aligned}
S_1&=\frac{4A}{\pi}\sin x\\
S_2&=\frac{4A}{\pi}\left(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x\right)\\
S_3&=\frac{4A}{\pi}\left(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{5}\sin 5x\right)
\end{aligned} S 1 S 2 S 3 = π 4 A sin x = π 4 A ( sin x + 3 1 sin 3 x ) = π 4 A ( sin x + 3 1 sin 3 x + 5 1 sin 5 x ) S 1 S_1 S 1 4 A 3 π sin 3 x \frac{4A}{3\pi}\sin 3x 3 π 4 A sin 3 x 4 A 5 π sin 5 x \frac{4A}{5\pi}\sin 5x 5 π 4 A sin 5 x
그림은 A = 1 A=1 A = 1 T = 1 T=1 T = 1 x = 2 π t x=2\pi t x = 2 π t N N N N = 1 , 3 , 5 N=1,3,5 N = 1 , 3 , 5 S 1 , S 2 , S 3 S_1,S_2,S_3 S 1 , S 2 , S 3 N N N N − 1 N-1 N − 1 N N N N N N
위 줄의 붉은 곡선이 차수 N의 항이고, 아래 그림의 점선이 사각파, 회색이 N − 1까지, 초록이 |k| ≤ N인 성분을 모두 더한 부분합, 회색과 초록 사이의 옅은 띠가 위 줄의 항이며, 맨 아래 줄은 지금까지 더한 계수 bₖ이다. 처음 상태 N = 1의 부분합은 (4/π)sin 2πt 하나이고, 피크 4/π ≈ 1.27이 사각파의 1보다 높다.
해 보기
N = 3 N=3 N = 3 까지 더하면 부분합의 피크와 점프 쪽이 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰 위 줄의 항 4 3 π sin 6 π t \frac{4}{3\pi}\sin6\pi t 3 π 4 sin 6 π t S 2 S_2 S 2 N = 2 N=2 N = 2 b 2 = 0 b_2=0 b 2 = 0 N = 1 N=1 N = 1
N = 5 N=5 N = 5 까지 더하면 평평한 부분과 피크가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰 4 5 π sin 10 π t \frac{4}{5\pi}\sin10\pi t 5 π 4 sin 10 π t S 3 S_3 S 3
삼각파를
N = 3 N=3 N = 3 까지 더한 부분합이 삼각파에 얼마나 가까운지 확인하라.
관찰 두 성분만으로 부분합이 삼각파와 거의 겹친다. 꼭짓점에서도 크기가 0.90으로 1에 조금 못 미칠 뿐이다.
계수는 한 주기의 사각파에 k k k cos 2 π k t \cos 2\pi kt cos 2 π k t − sin 2 π k t -\sin 2\pi kt − sin 2 π k t c k c_k c k a k a_k a k b k b_k b k c k = ( a k − j b k ) / 2 c_k=(a_k-jb_k)/2 c k = ( a k − j b k ) /2 k = 3 k=3 k = 3 x × ( − sin ) x\times(-\sin) x × ( − sin ) b 3 b_3 b 3 4 / ( 3 π ) 4/(3\pi) 4/ ( 3 π )
맨 위 그림은 한 주기의 입력(검정)과 기준 cos 2πkt(파랑 점선), −sin 2πkt(보라 점선)이고, 그 아래 두 그림은 곱과 그 부호 있는 면적, 점선은 한 주기 평균이다. 그림 밑 줄은 그 면적을 주기 T = 1 s로 나눠 평균을 구하고, 맨 아래 두 줄은 두 평균으로 쓴 cₖ와 aₖ = 2⟨x cos⟩, bₖ = −2⟨x(−sin)⟩이다(k = 0이면 a₀ = c₀가 평균이다).
해 보기
k = 3 k=3 k = 3 에서 두 곱의 평균을 읽고,
c 3 c_3 c 3 ,
a 3 a_3 a 3 ,
b 3 b_3 b 3 을 구하라.
관찰 cos 곱의 평균은 0이고, − sin -\sin − sin − 0.2122 -0.2122 − 0.2122 T = 1 T=1 T = 1 − b 3 / 2 = − 2 / ( 3 π ) ≈ − 0.212 -b_3/2=-2/(3\pi)\approx-0.212 − b 3 /2 = − 2/ ( 3 π ) ≈ − 0.212 c 3 = − j 0.212 c_3=-j0.212 c 3 = − j 0.212 a 3 = 0 a_3=0 a 3 = 0 b 3 = 0.424 = 4 / ( 3 π ) b_3=0.424=4/(3\pi) b 3 = 0.424 = 4/ ( 3 π )
k = 2 k=2 k = 2 에서 두 곱의 평균이 어떻게 되는지 확인하라.
관찰 두 곱의 면적이 모두 상쇄되어 c 2 = 0 c_2=0 c 2 = 0
삼각파의
k = 3 k=3 k = 3 계수를 구하고,
k = 1 k=1 k = 1 의 계수와 비교하라.
관찰 이번에는 − sin -\sin − sin − 0.045 -0.045 − 0.045 a 3 = − 0.090 a_3=-0.090 a 3 = − 0.090 b 3 = 0 b_3=0 b 3 = 0 k = 1 k=1 k = 1 − 0.405 -0.405 − 0.405
입력을 삼각파로 바꾸면 코사인 쪽 계수만 남고, 높은 차수의 계수가 차수의 제곱에 반비례해 더 빨리 줄어든다. 삼각파의 기울기는 사각파이고, ∫ sin ( n ω 0 t ) d t = − cos ( n ω 0 t ) / ( n ω 0 ) \int\sin(n\omega_0t)\,dt=-\cos(n\omega_0t)/(n\omega_0) ∫ sin ( n ω 0 t ) d t = − cos ( n ω 0 t ) / ( n ω 0 ) 1 / n 1/n 1/ n 1 / n 1/n 1/ n
n n n a n = 0.6 a_n=0.6 a n = 0.6 b n = − 0.8 b_n=-0.8 b n = − 0.8 a n cos n x + b n sin n x = A n cos ( n x − θ n ) a_n\cos nx+b_n\sin nx=A_n\cos(nx-\theta_n) a n cos n x + b n sin n x = A n cos ( n x − θ n ) A n A_n A n θ n \theta_n θ n
(가) A n = 1 A_n=1 A n = 1 θ n = 53.1 ∘ \theta_n=53.1^\circ θ n = 53. 1 ∘ (나) A n = 1 A_n=1 A n = 1 θ n = − 36.9 ∘ \theta_n=-36.9^\circ θ n = − 36. 9 ∘ (다) A n = 1.4 A_n=1.4 A n = 1.4 θ n = − 53.1 ∘ \theta_n=-53.1^\circ θ n = − 53. 1 ∘ (라) A n = 1 A_n=1 A n = 1 θ n = − 53.1 ∘ \theta_n=-53.1^\circ θ n = − 53. 1 ∘ 풀이 답 (라) A n = 1 A_n=1 A n = 1 θ n = − 53.1 ∘ \theta_n=-53.1^\circ θ n = − 53. 1 ∘
(가) sin θ n = b n / A n = − 0.8 \sin\theta_n=b_n/A_n=-0.8 sin θ n = b n / A n = − 0.8 θ n \theta_n θ n (나) cos θ n = 0.6 \cos\theta_n=0.6 cos θ n = 0.6 cos θ n = 0.8 \cos\theta_n=0.8 cos θ n = 0.8 (다) 진폭은 두 계수의 합이 아니라 a n 2 + b n 2 \sqrt{a_n^2+b_n^2} a n 2 + b n 2 A n = 0.6 2 + 0.8 2 = 1 A_n=\sqrt{0.6^2+0.8^2}=1 A n = 0. 6 2 + 0. 8 2 = 1 cos θ n = 0.6 \cos\theta_n=0.6 cos θ n = 0.6 sin θ n = − 0.8 \sin\theta_n=-0.8 sin θ n = − 0.8 θ n = − 53.1 ∘ \theta_n=-53.1^\circ θ n = − 53. 1 ∘ 0.6 cos n x − 0.8 sin n x = cos ( n x + 53.1 ∘ ) 0.6\cos nx-0.8\sin nx=\cos(nx+53.1^\circ) 0.6 cos n x − 0.8 sin n x = cos ( n x + 53. 1 ∘ )
상수항을 a 0 / 2 a_0/2 a 0 /2 a 0 a_0 a 0 a 0 a_0 a 0 a 0 a_0 a 0
풀이 답 1.5
힌트 그 교재의 상수항 a 0 / 2 a_0/2 a 0 /2
그 교재의 a 0 = 1 π ∫ − π π f d x a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx a 0 = π 1 ∫ − π π f d x a 0 / 2 = 1.5 a_0/2=1.5 a 0 /2 = 1.5 a 0 = 1.5 a_0=1.5 a 0 = 1.5
