푸리에 급수의 성질

신호를 늦추거나, 회전을 곱하거나, 뒤집거나, 두 신호를 컨볼루션하거나 곱하면 계수는 어떻게 바뀔까? 계수를 처음부터 다시 적분하지 않고 원래 계수에서 바로 답할 수 있다.

같은 주기 $T$ 를 가진 두 신호 $x(t)$ , $y(t)$ 의 복소 계수를 각각 $c_k$ , $d_k$ 로 쓴다. 성질 표를 $a_k$ , $b_k$ 로 쓰는 교재도 있다. 그때 $a_k$ 는 $x$ 의, $b_k$ 는 $y$ 의 복소 계수이고, 앞의 실수 급수에서 쓴 코사인·사인 계수 $a_n$ , $b_n$ 과는 다르다.

x(t)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ c_k,\qquad y(t)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ d_k,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}

성질	시간 영역	계수
선형성	$\alpha x(t)+\beta y(t)$	$\alpha c_k+\beta d_k$
시간 이동	$x(t-t_0)$	$e^{-jk\omega_0 t_0}c_k$
변조 (주파수 이동)	$e^{jM\omega_0 t}x(t)$ , $M$ 정수	$c_{k-M}$
시간 반전	$x(-t)$	$c_{-k}$
켤레	$\overline{x(t)}$	$\overline{c_{-k}}$
주기 컨볼루션	$\int_T x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau$	$T c_k d_k$
곱	$x(t)y(t)$	$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n d_{k-n}$
Parseval	$\frac{1}{T}\int_T \lvert x(t)\rvert^2dt$	$\sum_{k}\lvert c_k\rvert^2$

켤레 행은 계수 적분에서 $\frac1T\int_T\overline{x(t)}e^{-jk\omega_0t}\,dt=\overline{\frac1T\int_Tx(t)e^{jk\omega_0t}\,dt}=\overline{c_{-k}}$ 이기 때문이다. $x$ 가 실수이면 왼쪽이 $c_k$ 가 되어 앞에서 구한 켤레 대칭이 나온다.

시간 이동

x(t-t_0)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ e^{-jk\omega_0 t_0}c_k

직접 유도해 보기. 계수의 정의식에서 이 성질을 보여라.

풀이

$s=t-t_0$ 로 치환한다. 적분 구간은 여전히 한 주기이다.

\begin{aligned} &\frac{1}{T}\int_T x(t-t_0)e^{-jk\omega_0 t}\,dt\\ &=\frac{1}{T}\int_T x(s)e^{-jk\omega_0 (s+t_0)}\,ds\\ &=e^{-jk\omega_0 t_0}c_k \end{aligned}

계수의 크기 $\lvert c_k\rvert$ 는 그대로이고 위상만 $-k\omega_0 t_0$ 만큼 바뀐다. 위상 변화는 차수 $k$ 에 비례한다. 같은 지연 $t_0$ 가 높은 차수에서는 한 주기의 더 큰 몫이기 때문이다. 예를 들어 $t_0=T/4$ 이면 $k$ 차 위상이 $-k\cdot 90^\circ$ 바뀐다.

진폭 1인 사각파( $c_k=-j\,2/(k\pi)$ , 홀수 $k$ )를 $T/4$ 만큼 앞당기면( $t_0=-T/4$ ) $c_1=e^{j\pi/2}\cdot(-j\,2/\pi)=2/\pi$ , $c_3=e^{j3\pi/2}\cdot(-j\,2/(3\pi))=-2/(3\pi)$ 처럼 계수가 실수로 바뀐다. 앞당긴 사각파는 짝함수가 되어 코사인만으로 쓰인다.

\begin{aligned} x\!\left(t+\tfrac{T}{4}\right)&=\frac{4}{\pi}\Big(\cos\omega_0 t-\frac13\cos 3\omega_0 t\\ &\qquad+\frac15\cos 5\omega_0 t-\cdots\Big) \end{aligned}

그림은 계수 하나하나를 크기 스템과 위상 페이저로 나눠 그린다. 펄스를 $t_0$ 만큼 늦추면 크기 스템은 그대로이고, $k$ 차 페이저는 $t_0$ 가 $T/16$ 늘 때마다 $k\cdot22.5^\circ$ 씩 시계 방향으로 돈다( $k<0$ 이면 반대 방향).

x(t)는 주기 T = 1 s마다 처음 T/4 동안만 1인 펄스이고, 페이저는 복소평면에서 c_k와 d_k의 방향을 가리킨다(계수가 0인 k = ±4에는 페이저가 없다). 표는 k = 2의 크기와 위상이다.

해 보기

$t_0=T/4$ 만큼 늦추면 크기 스템과 $k=1$ , $k=2$ 페이저가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
크기 스템은 하나도 움직이지 않는다. $k=1$ 페이저는 −45°에서 −135°로 90° 돌았고, $k=2$ 페이저는 180° 돌아 −90°에서 90°로 뒤집혔다.
$t_0=T$ 만큼 늦추면 페이저가 어디를 가리키는지, 그동안 $k$ 차 페이저가 몇 바퀴 돌았는지 확인하라.
관찰
신호가 한 주기 옮겨 제자리이고 페이저도 모두 처음 방향이다. 그동안 $k$ 차 페이저는 $k$ 바퀴를 돌았다.
사각파를 $T/4$ 앞당긴 신호( $t_0=3T/4$ 와 같다)의 계수가 실수인지 확인하고, 코사인 급수와 비교하라.
관찰
페이저가 모두 가로 방향이 되어 계수가 실수이다. $d_1=2/\pi=0.637$ , $d_3=-2/(3\pi)=-0.212$ 로 위 식의 코사인 급수와 같다.

변조 (주파수 이동)

e^{jM\omega_0 t}x(t)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ c_{k-M}

$e^{jM\omega_0 t}x(t)=\sum_k c_k e^{j(k+M)\omega_0 t}$ 이므로 $k+M$ 자리에 $c_k$ 가 온다. 계수열 전체가 $M$ 만큼 오른쪽으로 밀린다. $M$ 은 정수여야 한다. 정수가 아니면 곱한 신호의 주기가 $T$ 가 아니어서 같은 기저로 쓸 수 없다. 실수 코사인을 곱하면 $\cos(M\omega_0 t)=\tfrac12(e^{jM\omega_0 t}+e^{-jM\omega_0 t})$ 이므로 계수가 $\tfrac12(c_{k-M}+c_{k+M})$ , 즉 양쪽으로 반씩 옮겨진다.

$M$ 을 바꾸면 크기 스템 전체가 인덱스 $M$ 만큼 옮겨 가고, 페이저도 방향을 그대로 둔 채 함께 옮겨 간다. 실수 신호에 복소 회전을 곱했으므로 $y(t)$ 는 복소수이고, 시간 영역에는 실수부와 허수부를 따로 그렸다.

x(t)는 앞 그림과 같은 펄스이다. 속이 빈 점과 점선 페이저는 원래 계수 c_k이고, 그림에는 k = −6…6만 보인다.

해 보기

$M=2$ 이면 스템이 어떻게 옮겨 가는지, 대칭이 어디를 중심으로 하는지 확인하라.
관찰
모든 스템이 오른쪽으로 인덱스 2만큼 옮겨 $d_2=c_0=0.25$ 이다. 원래는 $\lvert c_{-k}\rvert=\lvert c_k\rvert$ 로 $k=0$ 양쪽이 같았는데, 이제는 $k=2$ 양쪽이 같다. 곱한 신호는 복소 신호라 $k=0$ 을 중심으로 한 대칭이 없다.
$M=-1$ 이면 스템이 어떻게 옮겨 가는지 확인하라.
관찰
스템이 왼쪽으로 인덱스 1만큼 옮겨 $d_{-1}=c_0=0.25$ 이다.
사각파에 $e^{j\omega_0 t}$ ( $M=1$ )를 곱하면 계수가 0인 자리와 한 주기 평균이 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
사각파는 짝수 $k$ 의 계수가 0인데, 인덱스 1만큼 옮기자 홀수 $k$ 자리가 0이 된다. $d_0=c_{-1}=j0.637$ 이라 평균이 0이던 신호에 한 주기 평균 $j0.637$ 이 생긴다.

시간 반전

x(-t)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ c_{-k}

$x(-t)=\sum_k c_k e^{-jk\omega_0 t}=\sum_k c_{-k}e^{jk\omega_0 t}$ 이다. 시간을 뒤집으면 계수의 순서가 뒤집혀 양의 주파수와 음의 주파수가 자리를 바꾼다. 짝함수 $x(-t)=x(t)$ 이면 $c_{-k}=c_k$ , 홀함수 $x(-t)=-x(t)$ 이면 $c_{-k}=-c_k$ 이다.

실수 신호는 $c_{-k}=\overline{c_k}$ 이므로, 뒤집은 신호의 계수 $d_k=c_{-k}$ 는 $c_k$ 의 켤레이다. 크기는 그대로이고 페이저는 가로축에 비친 듯 위아래가 뒤집힌다.

'펄스 (0…T/4)'는 처음 T/4 동안 1이라 뒤집으면 −T/4부터 0까지 1이고, '가운데 펄스'는 −T/8부터 T/8까지 1인 짝함수, '사각파'와 '톱니파'는 홀함수이다. 표는 k = 1의 크기와 위상이다.

해 보기

펄스 (0…T/4)를 뒤집으면 계수의 크기와 각도가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
크기는 그대로이고 페이저 각도의 부호만 바뀐다. $c_1$ 은 −45°, $d_1=c_{-1}$ 은 45°이다.
가운데 펄스를 뒤집으면 계수가 바뀌는지 보고, 그 까닭을 생각해 보라.
관찰
페이저가 모두 가로 방향이라 계수가 실수이고, 뒤집어도 아무것도 바뀌지 않는다. 짝함수이므로 $d_k=c_k$ 이다.
사각파를 뒤집으면 계수가 어떻게 바뀌는지 확인하라.
관찰
페이저가 모두 반대쪽을 가리킨다. 홀함수이므로 $d_k=c_{-k}=-c_k$ 이고, $c_1=-j0.637$ 이 $d_1=j0.637$ 이 된다.

주기 컨볼루션

두 주기 신호의 컨볼루션은 한 주기에서만 적분한다. $(-\infty,\infty)$ 에서 적분하면 주기 신호끼리는 발산하기 때문이다.

(x\circledast y)(t)=\int_T x(\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ T c_k d_k

직접 유도해 보기. 이 성질을 보여라.

풀이

적분 순서를 바꾸고 안쪽 적분에 시간 이동 성질을 쓴다. $y(t-\tau)$ 의 계수는 $e^{-jk\omega_0\tau}d_k$ 이다.

\begin{aligned} &\frac{1}{T}\int_T\!\left[\int_T x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau\right]e^{-jk\omega_0 t}dt\\ &=\int_T x(\tau)\left[\frac{1}{T}\int_T y(t-\tau)e^{-jk\omega_0 t}dt\right]d\tau\\ &=\int_T x(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}d_k\,d\tau\\ &=T c_k d_k \end{aligned}

그림은 이 적분을 출력 시각 $t$ 마다 계산한다. 3장의 컨볼루션과 달리 적분 구간은 한 주기뿐이고, 윈도우(창 함수) 밖으로 나간 $y(t-\tau)$ 는 주기성 때문에 반대쪽으로 다시 들어온다. $z(t)$ 한 주기를 다 그리면 ③의 초록 고리가 스템 끝에 놓인다. 그림의 세 신호는 모두 짝함수라 계수가 실수이다.

주기는 T = 2 s, ω₀ = π rad/s이고, 펄스는 한 주기 가운데 T/4 = 0.5 s 동안 1, 사각파는 가운데 절반이 +1, 나머지가 −1이다. ③ 아래 첫 줄은 고른 k에서 x의 계수 c_k, y의 계수 d_k와 T c_kd_k를 적고, ③의 스템은 규칙 T c_kd_k로, 초록 고리는 그려 낸 z(t) 한 주기를 계수의 정의식에 넣어 구했다.

해 보기

두 펄스가 $t=0$ 에서 완전히 겹칠 때 $z(0)$ 를 확인하라.
관찰
두 펄스가 완전히 겹쳐 면적이 가장 크다. $z(0)=0.5$ 이고, 여기까지 그린 $z(t)$ 는 꼭짓점 0.5까지 곧게 올라온 삼각형의 왼쪽 절반이다. 나머지 절반은 $t$ 를 더 옮기면 그려진다.
두 사각파의 컨볼루션 $z(t)$ 를 한 주기 동안 그리고, $e_1$ 과 짝수 차수의 $e_k$ 를 확인하라.
관찰
$z(t)$ 는 −2와 2 사이를 오가는 삼각파이다. $e_1=T c_1 d_1=2\times0.637\times0.637=0.811$ 이고, 짝수 $k$ 에서는 $c_k=0$ 이라 $e_k$ 도 0이다.
$y$ 가 $\cos\omega_0 t$ 이면 $e_k$ 가 어느 차수에 남는지, $z(t)$ 가 어떤 신호인지 확인하라.
관찰
$d_k$ 는 $k=\pm1$ 에서만 0이 아니므로 $e_k$ 도 $k=\pm1$ 에만 남는다. $z(t)=0.450\cos\omega_0 t$ 로, 코사인을 넣으면 같은 주파수의 코사인이 크기만 바뀌어 나온다.

시간 영역의 컨볼루션이 계수끼리의 곱이 된다. 이 규칙은 LTI 시스템에도 그대로 쓴다. 주기 입력 $x$ 가 절대 적분 가능한 임펄스 응답 $h$ 를 갖는 3장의 LTI 시스템을 지나면 출력은 $y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau$ 이다. 적분을 길이 $T$ 조각으로 나누고 각 조각에서 $\tau=s+mT$ 로 치환한다. $x(t-s-mT)=x(t-s)$ 이므로

\begin{aligned} y(t)&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{mT}^{(m+1)T}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau\\ &=\int_0^T\left[\sum_{m=-\infty}^{\infty}h(s+mT)\right]x(t-s)\,ds\\ &=\int_0^T\tilde h(s)x(t-s)\,ds \end{aligned}

이다. 여기서 $\tilde h(t)=\sum_m h(t+mT)$ 는 $h$ 를 주기 $T$ 로 반복한 신호이다. 따라서 출력은 $x$ 와 $\tilde h$ 의 주기 컨볼루션이다. $e^{jk\omega_0mT}=1$ 을 쓰면 $\tilde h$ 의 계수도 같은 치환으로 구한다.

\begin{aligned} \frac{1}{T}\int_0^T\tilde h(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt&=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{mT}^{(m+1)T}h(s)e^{-jk\omega_0s}\,ds\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}h(s)e^{-jk\omega_0s}\,ds\\ &=\frac{H(k\omega_0)}{T} \end{aligned}

여기서 $H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-j\omega t}\,dt$ 는 4장 'LTI 시스템과 복소 지수'에서 구한, 주파수 $\omega$ 인 복소 지수가 시스템을 지날 때 곱해지는 복소수이다. 6장에서 다룰 $h$ 의 푸리에 변환(주파수 응답)이고, $h$ 가 절대 적분 가능하면 존재한다. 따라서 출력의 계수는 $T c_k\cdot H(k\omega_0)/T=H(k\omega_0)\,c_k$ 이다. 각 주파수 성분의 계수에 그 주파수에서의 주파수 응답 $H(k\omega_0)$ 가 곱해진다. 6장에서는 비주기 신호에서 같은 관계를 다시 만난다.

곱

x(t)\,y(t)\ \xleftrightarrow{\ \text{FS}\ }\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n d_{k-n}

두 급수를 곱하면 $e^{jn\omega_0 t}\cdot e^{jm\omega_0 t}=e^{j(n+m)\omega_0 t}$ 이므로 $n+m=k$ 인 짝의 계수 곱이 모두 $k$ 자리로 모인다. 시간 영역의 곱이 계수열의 이산 컨볼루션이 된다. 컨볼루션과 곱이 서로 자리를 바꾼 것이다.

예를 들어 $x=y=\cos\omega_0 t$ 이면 $c_{\pm1}=d_{\pm1}=\tfrac12$ 이다. 이산 컨볼루션은 $k=0$ 에서 $c_1d_{-1}+c_{-1}d_1=\tfrac12$ , $k=\pm2$ 에서 $c_{\pm1}d_{\pm1}=\tfrac14$ 이다. 따라서 $\cos^2\omega_0 t=\tfrac12+\tfrac12\cos 2\omega_0 t$ 로 삼각함수 공식과 같다.

그림은 이 합을 한 항씩 계산한다. 출력 차수 $k$ 에서는 $d$ 를 뒤집어 $k$ 만큼 옮긴 $d_{k-n}$ 이 $c_n$ 아래에 놓이고, 같은 $n$ 자리의 두 값을 곱해 더한다.

처음 상태는 위 예제의 x = y = cos ω₀t(T = 1 s)이고, c_n은 n = −1, 0, 1 밖에서 0이므로 세 항만 더한다. ②의 회색 스템은 다른 k의 결과이다.

해 보기

$k=0$ 에서 세 항을 모두 더해 $e_0$ 를 구하고, $\cos^2\omega_0 t$ 의 평균과 비교하라.
관찰
$c_{-1}d_1+c_0d_0+c_1d_{-1}=0.25+0+0.25=0.5$ 이다. $\cos^2\omega_0 t$ 의 한 주기 평균이 1/2이다.
$y=1+\tfrac12e^{j\omega_0 t}$ 에서 $e_1$ 을 구하고, $d_{1-n}$ 줄에서 $d$ 가 어떻게 놓이는지 확인하라.
관찰
$d$ 는 $d_0=1$ , $d_1=0.5$ 인데, $d_{1-n}$ 줄에서는 1이 $n=1$ 에, 0.5가 $n=0$ 에 놓여 좌우가 바뀌었다. 이것이 뒤집기이다. $e_1=c_{-1}d_2+c_0d_1+c_1d_0=0+0+0.5=0.5$ 이다.
$x=1+\cos\omega_0 t$ , $y=\cos 2\omega_0 t$ 에서 $e_3$ 을 구하고, 이 성분이 어디에서 생기는지 생각해 보라.
관찰
$e_3=c_1d_2=0.5\times0.5=0.25$ 이다. 두 신호 어디에도 없던 $3\omega_0$ 성분이 곱에서 생긴다. 곱은 주파수를 더하고 빼서 새 성분을 만든다.

대칭

신호	계수
$x$ 가 짝함수	$c_k$ 가 짝: $c_{-k}=c_k$
$x$ 가 홀함수	$c_k$ 가 홀: $c_{-k}=-c_k$
$x$ 가 실수	켤레 대칭: $c_{-k}=\overline{c_k}$

실수 신호의 줄은 '복소 지수 푸리에 급수'에서 계수 적분에 켤레를 취해 얻은 결과이다. 세 줄을 겹쳐 쓰면 자주 쓰는 결과가 나온다. 실수이면서 짝함수인 신호는 $c_k$ 가 실수이고 짝이다(펄스열). 실수이면서 홀함수인 신호는 $c_k$ 가 순허수이고 홀이다(원점 대칭 사각파의 $c_k=-j\,2/(k\pi)$ ).

Parseval 관계

\frac{1}{T}\int_T\lvert x(t)\rvert^2\,dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\lvert c_k\rvert^2

왼쪽은 한 주기의 평균 전력(average power)이다. 주기 신호는 모든 시간에 걸친 에너지가 무한하므로 한 주기 평균으로 비교한다. 한 주기의 에너지로 쓰면 $\int_T\lvert x\rvert^2dt=T\sum\lvert c_k\rvert^2$ 이다. 기저가 직교하므로 서로 다른 성분끼리의 교차항은 평균이 0이 되고, 각 성분의 전력 $\lvert c_k\rvert^2$ 만 더해진다.

직접 유도해 보기. 이 관계를 보여라.

풀이

\lvert x(t)\rvert^2=x(t)\overline{x(t)}=\sum_k\sum_m c_k\overline{c_m}\,e^{j(k-m)\omega_0 t}

한 주기 평균을 내면 $k\ne m$ 인 항은 모두 0이고 $k=m$ 인 항만 $\lvert c_k\rvert^2$ 로 남는다.

진폭 ±1인 사각파의 평균 전력은 1이다. 기본파 한 쌍의 전력 $2\lvert c_1\rvert^2=8/\pi^2\approx0.811$ 이 전체의 81 %이고, 5차까지 더하면 93 %, 9차까지 96 %이다. 전력은 대부분 낮은 차수에 있지만, 나머지 몇 %가 높은 차수에 퍼져 있어서 날카로운 모서리를 만든다.

그림은 이 합을 차수마다 쌓는다. ③의 막대 $\lvert c_k\rvert^2$ 을 $\pm n$ 두 개씩 ②에 쌓고, ①에는 $n$ 차 부분합의 제곱 $\lvert S_n(t)\rvert^2$ 과 그 한 주기 평균(초록 가로선)을 그린다. $n$ 이 오를수록 쌓인 높이는 초록 가로선과 같은 높이로 올라가 점선( $\lvert x\rvert^2$ 의 평균)에 다가간다. 사각파는 짝수 차수의 계수가 0이라 짝수 $n$ 에서는 아무것도 쌓이지 않는다.

진폭 ±1 사각파(T = 1 s)에서 시작하며, ①의 점선은 |x(t)|², 초록 곡선은 |S_n(t)|², 두 가로선은 각각의 한 주기 평균이다. ③에서 이미 더한 막대는 초록, 이번에 더한 ±n 한 쌍은 붉은색, 아직 더하지 않은 막대는 옅은 회색이고, ②의 블록 하나가 한 차수가 더한 전력이다.

해 보기

기본파 한 쌍만의 전력이 평균 전력의 몇 %인지 확인하라.
관찰
기본파 한 쌍만으로 0.811, 평균 전력 1의 81.1 %이다. $\lvert S_1(t)\rvert^2$ 은 점프가 있는 $t=0$ 과 $\pm0.5$ s에서 0으로 떨어진다.
$n=9$ 까지 쌓은 전력이 몇 %인지, 남은 전력이 어디에 있는지 확인하라.
관찰
96.0 %이다. 남은 4 %는 10차 이상의 작은 막대들에 퍼져 있다.
삼각파를 $n=3$ 까지 쌓은 전력을 사각파와 비교하라.
관찰
평균 전력 1/3의 99.8 %이다. 점프가 없는 삼각파는 높은 차수에 남은 전력이 사각파보다 훨씬 적다.

$x(t)$ 의 계수가 $c_k$ 일 때 $x(t-T/2)$ 의 계수를 고르라.

(가) $c_k$
(나) $-c_k$
(다) $(-1)^k c_k$
(라) $c_{k-1}$

풀이

답 (다) $(-1)^k c_k$

(가) 크기는 그대로지만 위상이 $-k\pi$ 만큼 바뀐다. 홀수 $k$ 에서는 부호가 바뀐다.
(나) 위상 변화는 차수에 비례한다. 짝수 $k$ 에서는 $-2\pi$ 의 배수라 그대로이다.
(라) 계수열이 옆으로 옮겨 가는 것은 회전 $e^{j\omega_0t}$ 를 곱한 변조이다.

시간 이동 성질에서 $e^{-jk\omega_0T/2}=e^{-jk\pi}=(-1)^k$ 이다. 짝수 차수는 그대로이고 홀수 차수는 부호가 바뀐다.

주기 $T=2$ s인 두 신호의 1차 계수가 $c_1=0.5$ , $d_1=0.4$ 이다. 주기 컨볼루션 $\int_T x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau$ 의 1차 계수 $e_1$ 을 고르라.

(가) 0.4
(나) 0.2
(다) 0.9
(라) 0.1

풀이

답 (가) 0.4

(나) 한 주기에서 적분한 값이라 $T$ 가 곱해진다.
(다) 계수는 더하지 않고 곱한다.
(라) $T$ 로 나누지 않고 곱한다.

$e_k=Tc_kd_k$ 이므로 $e_1=2\times0.5\times0.4=0.4$ 이다.

$x=\cos\omega_0t$ , $y=\cos3\omega_0t$ 일 때 곱 $x(t)y(t)$ 의 계수 $e_2$ 를 구하라.

풀이

답 0.25

힌트 계수열의 이산 컨볼루션 $e_2=\sum_n c_nd_{2-n}$ 에서 두 계수가 모두 0이 아닌 짝을 찾는다.

$c_{\pm1}=\tfrac12$ , $d_{\pm3}=\tfrac12$ 이다. $e_2=c_{-1}d_3+c_1d_1=\tfrac14+0=\tfrac14$ 이다. 삼각함수 공식으로도 $\cos\omega_0t\cos3\omega_0t=\tfrac12\cos2\omega_0t+\tfrac12\cos4\omega_0t$ 라서 $e_{\pm2}=\tfrac14$ 이다.