정리·개념 확인 · 7장 이산시간 시스템의 푸리에 해석

정리

수열의 스펙트럼은 DTFT $X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,e^{-j\Omega n}$ 이고 $2\pi$ 마다 되풀이된다. 연속 주파수와는 $\Omega=\omega T_s=2\pi f/f_s$ 로 이어진다.
$e^{j\Omega n}$ 은 샘플마다 $\Omega$ 씩 도는 회전이고, $\Omega$ 는 그 회전 속도(rad/sample)이다. 이산시간 정현파는 $\Omega/2\pi$ 가 유리수일 때만 주기적이고, $\Omega$ 와 $2\pi-\Omega$ 는 같은 코사인 샘플을 만든다. 가장 빠른 진동은 $\Omega=\pi$ , 곧 $f=f_s/2$ 이다.
DFT는 입력과 회전 $e^{j2\pi kn/N}$ 의 내적 $X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}$ 이다. bin $k$ 는 $f_k=k\,f_s/N$ 에 해당하고, 입력이 실수이면 $X[N-k]=\overline{X[k]}$ 이다.
DFT 행렬 $W$ 의 서로 다른 행은 직교하므로 $W^{-1}=\overline W/N$ 이고, 역변환은 $x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]\,e^{j2\pi kn/N}$ 이다.
샘플링은 스펙트럼을 $f_s$ 마다 되풀이하고 $1/T_s$ 배 한다: $S(f)=\frac{1}{T_s}\sum_\ell X(f-\ell f_s)$ . $|f|<f_0$ 로 대역이 제한되고 $f_s>2f_0$ 이면 replica가 닿지 않는다. $f_s<2f_0$ 이면 replica가 겹쳐 aliasing이 생긴다.
주파수 간격 $\Delta f=f_s/N=1/T_{\mathrm{obs}}$ 는 관측 시간이 정한다. DFT의 곱은 원형 컨볼루션이므로, 선형 컨볼루션을 얻으려면 $N\ge L_1+L_2-1$ 로 0을 붙인다.

개념 확인

다음 문장이 참인지 거짓인지 고르라. " $\mathbf x=[1,\;j,\;-1,\;-j]$ ( $N=4$ )이면 $|X[1]|=|X[3]|$ 이다."

참
거짓

풀이

답 거짓

참 켤레 대칭 $|X[N-k]|=|X[k]|$ 는 실수 입력에서만 성립한다. 이 입력은 복소수이다.

$x[n]=j^n=e^{j2\pi\cdot1\cdot n/4}$ 은 bin 1의 회전 하나이다. 그래서 $\mathbf X=[0,\;4,\;0,\;0]$ 이고 $|X[1]|=4$ , $|X[3]|=0$ 이다.

주기적인 수열과 그 주기가 바르게 짝지어진 것을 모두 고르라.

(가) $\cos(0.5n)$ , 주기 $4\pi$
(나) $\cos(3\pi n/7)$ , 주기 14
(다) $\cos(\pi n/4)$ , 주기 8
(라) $\cos(3\pi n/7)$ , 주기 7

풀이

답 (나) $\cos(3\pi n/7)$ , 주기 14, (다) $\cos(\pi n/4)$ , 주기 8

(가) $n$ 은 정수라 $4\pi$ 뒤의 샘플이 없다. $\Omega/2\pi=1/(4\pi)$ 가 무리수라 주기적이지 않다.
(라) $\Omega/2\pi=3/14$ 이다. 주기는 기약분수의 분모 14이다. 7샘플 동안에는 $3\pi$ 만 돌아 제자리에 오지 않는다.

$x[n+N]=x[n]$ 이려면 $\Omega N$ 이 $2\pi$ 의 정수배여야 한다. $\Omega/2\pi$ 를 기약분수 $m/N$ 으로 쓸 수 있을 때만 주기적이고, 주기는 분모 $N$ 이다. $\cos(3\pi n/7)$ 은 $3/14$ , $\cos(\pi n/4)$ 는 $1/8$ 이다. $\cos(0.5n)$ 은 $1/(4\pi)$ 가 무리수라 주기가 없다.

$\mathbf x=[1,\;1,\;-1,\;-1]$ ( $N=4$ )의 $X[1]$ 을 고르라.

(가) $0.5-j0.5$
(나) $0$
(다) $2-j2$
(라) $2+j2$

풀이

답 (다) $2-j2$

(가) $1/N$ 은 역변환에만 붙는다. 이 장의 $X[k]$ 는 $N$ 으로 나누지 않은 값이다.
(나) $X[0]$ 과 $X[2]$ 가 0이다. 행 1의 원소는 $1,-j,-1,j$ 이다.
(라) 지수를 $+$ 로 계산하면 켤레가 나온다. 순변환은 회전의 켤레 $e^{-j2\pi kn/N}$ 을 곱한다. 이 값은 $X[3]$ 이다.

$W_4$ 의 행 1은 $[1,\;-j,\;-1,\;j]$ 이다. $X[1]=1+(-j)+(-1)(-1)+(-1)(j)=2-j2$ 이다. 입력이 실수라 $X[3]=\overline{X[1]}=2+j2$ 이고, $X[0]=X[2]=0$ 이다.

10 Hz와 10.5 Hz 복소 톤이 섞인 신호를 $f_s=100$ Hz로 $N=50$ 개 모았더니 스펙트럼에 피크가 하나만 보였다. 두 피크로 가르려면 어떻게 해야 하는지 고르라.

(가) $N=50$ 을 두고 $f_s$ 를 200 Hz로 올린다.
(나) 같은 $f_s$ 로 10배 길게 관측해 $N=500$ 개를 모은다.
(다) 관측 시간 0.5 s를 두고 $f_s$ 를 200 Hz로 올린다( $N=100$ ).
(라) 제로 패딩해 DFT 길이를 $16N$ 으로 늘린다.

풀이

답 (나) 같은 $f_s$ 로 10배 길게 관측해 $N=500$ 개를 모은다.

(가) 관측 시간이 0.25 s로 줄어 곡선이 오히려 넓어진다.
(다) $1/T_{\mathrm{obs}}$ 는 2 Hz 그대로이고, 볼 수 있는 최대 주파수 $f_s/2$ 만 커진다.
(라) 점은 촘촘해지지만 곡선의 폭을 정하는 $1/T_{\mathrm{obs}}=2$ Hz는 그대로라 피크가 하나로 남는다.

피크의 폭은 관측 시간 $T_{\mathrm{obs}}=N/f_s$ 가 정하고, 사각 윈도우의 메인로브 폭은 $2/T_{\mathrm{obs}}$ 이다. $N=50$ 이면 $T_{\mathrm{obs}}=0.5$ s라 메인로브 폭이 4 Hz로, 0.5 Hz 떨어진 두 톤이 한 피크에 묻힌다. $N=500$ 이면 $T_{\mathrm{obs}}=5$ s, 메인로브 폭 0.4 Hz가 간격 0.5 Hz보다 좁아 피크가 둘로 갈린다. 제로 패딩과 $f_s$ 는 관측 시간을 늘리지 않는다.

대역이 $|f|<4$ kHz로 제한된 신호를 $f_s=10$ kHz로 샘플링했다. 샘플의 스펙트럼으로 옳은 것을 고르라.

(가) replica가 5 kHz마다 선다.
(나) 원래 스펙트럼이 10 kHz마다 되풀이되고, 각 replica는 $1/T_s=10^4$ s⁻¹배가 되며, replica끼리 겹치지 않는다.
(다) replica가 겹쳐 aliasing이 생긴다.
(라) 각 replica의 높이는 $1/(2\pi T_s)$ 배이다.

풀이

답 (나) 원래 스펙트럼이 10 kHz마다 되풀이되고, 각 replica는 $1/T_s=10^4$ s⁻¹배가 되며, replica끼리 겹치지 않는다.

(가) replica 간격은 $f_s$ 이다. $f_s/2=5$ kHz는 보이는 범위의 끝이다.
(다) replica가 겹치려면 $f_s<2\times4=8$ kHz여야 한다. 10 kHz는 이보다 크다.
(라) 각주파수 $\omega$ 로 계산해도 $\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{T_s}$ 에서 $2\pi$ 가 지워져 $1/T_s$ 이다.

$S(f)=\frac{1}{T_s}\sum_\ell X(f-\ell f_s)$ 이다. replica 간격은 $f_s=10$ kHz, 높이 배율은 $1/T_s=f_s=10^4$ s⁻¹이다. 원본의 끝 4 kHz와 첫 replica의 시작 $10-4=6$ kHz 사이에 틈이 있다. replica가 서로 닿지 않으려면 $f_s>8$ kHz이면 된다.

$x(t)=\cos(2\pi\cdot700t+\pi/6)$ 을 $f_s=1000$ Hz로 샘플링했다. $x[n]=\cos(\Omega n+\phi)$ , $0\le\Omega\le\pi$ 꼴로 쓸 때의 $\Omega$ 와 $\phi$ 를 고르라.

(가) $\Omega=0.4\pi$ , $\phi=\pi/6$
(나) $\Omega=0.6\pi$ , $\phi=-\pi/6$
(다) $\Omega=0.6\pi$ , $\phi=\pi/6$
(라) $\Omega=1.4\pi$ , $\phi=\pi/6$

풀이

답 (나) $\Omega=0.6\pi$ , $\phi=-\pi/6$

(가) $1.4\pi$ 에서 $\pi$ 를 뺀 값이다. 같은 수열을 주는 것은 $2\pi$ 의 정수배 차이뿐이다.
(다) 코사인이 짝함수라 $\Omega$ 의 부호를 바꿀 때 위상의 부호도 함께 바뀐다.
(라) 같은 수열이지만 $0\le\Omega\le\pi$ 밖이다. $2\pi$ 를 빼서 범위 안으로 옮긴다.

$\Omega=2\pi\cdot700/1000=1.4\pi$ 이고 $2\pi$ 를 빼면 $-0.6\pi$ 이다. $\cos(-0.6\pi n+\pi/6)=\cos(0.6\pi n-\pi/6)$ 이므로 $\Omega=0.6\pi$ , $\phi=-\pi/6$ 이다. 샘플은 300 Hz 코사인과 같고 위상의 부호가 바뀐다.

$f_s=200$ Hz, $N=40$ 으로 진폭 1인 130 Hz 코사인을 DFT 했다. 선이 서는 bin 번호 $k$ ( $0\le k\le N-1$ )를 모두 고르라.

(가) 6
(나) 14
(다) 34
(라) 26

풀이

답 (나) 14, (라) 26

(가) $f_s/2=100$ Hz를 빼서 30 Hz로 본 것이다. 같은 샘플을 주는 주파수는 $f_s$ 의 정수배만큼 다르므로 $130-200=-70$ Hz이다.
(다) $-30$ Hz로 본 것이다. $\pm130$ Hz는 $\mp70$ Hz로 aliasing된다.

코사인은 $+130$ Hz와 $-130$ Hz 두 회전의 합이다. $+130$ Hz는 $-70$ Hz, 곧 bin 26에 서고, $-130$ Hz는 $+70$ Hz, 곧 bin 14에 선다. 주파수 간격은 $\Delta f=200/40=5$ Hz이고, 각 bin의 크기는 $N/2=20$ 이다. 같은 주파수의 복소 톤 $e^{j2\pi\cdot130t}$ 이었다면 bin 26 한 곳에만 섰을 것이다.

그림의 '행 k'와 '행 j'를 서로 다르게 골라, 켤레를 붙인 곱의 합이 0이 되게 하라.

풀이

답 서로 다른 두 행이면 어느 쌍이든 된다(예: 행 1과 행 2).

서로 다른 두 행은 모두 직교하므로 어느 쌍을 골라도 된다. 둘째 행을 $m$ 이라 하면 곱 $W[k,n]\overline{W[m,n]}=e^{-j2\pi(k-m)n/N}$ 은 $N$ 샘플 동안 $|k-m|$ 바퀴를 돌며 원 위에 고르게 놓이고, 이어 더하면 원점으로 돌아온다.

켤레를 빼고 곱하는 상태이다. 서로 다른 두 행을 골라 곱의 합이 $N=8$ 이 되게 하라.

풀이

답 행 1과 7, 행 2와 6, 행 3과 5 가운데 한 쌍.

켤레 없이 곱하면 $W[k,n]W[m,n]=e^{-j2\pi(k+m)n/N}$ 이다. $k+m$ 이 $N$ 의 배수이면 곱이 모두 1이라 합이 $N$ 이다. $N=8$ 에서는 (1, 7), (2, 6), (3, 5) 쌍이다. 다른 행인데 합이 0이 아니므로, 복소 회전의 직교를 재려면 켤레가 필요하다.

입력 $\cos(2\pi mn/8)$ 의 bin 번호 $m$ 을 바꿔 $X[3]=4$ 가 되게 하라.

풀이

답 m = 3 또는 m = 5.

진폭 1인 코사인은 bin $m$ 과 $N-m$ 에 $N/2=4$ 씩 나뉜다. $X[3]=4$ 가 되려면 $m=3$ 이거나 $N-m=3$ , 곧 $m=5$ 이다. $m$ 이 정수가 아니면 곱이 닫히지 않고 값이 모든 bin으로 번진다.

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개념 확인

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