거꾸로 가기: 역변환

$X[k]$ 만 가지고 있을 때 샘플 $x[n]$ 을 되찾을 수 있을까? $\mathbf X$ 에서 $\mathbf x$ 를 되찾으려면 $W$ 의 역행렬이 필요하다. 앞 절의 직교 덕분에 역행렬은 따로 계산하지 않아도 된다.

$\overline W$ 를 $W$ 의 원소마다 켤레를 취한 행렬, $I$ 를 단위행렬이라 하자. $W$ 가 대칭이므로 $\overline W[n,m]=\overline{W[m,n]}$ 이고, 곱 $W\overline W$ 의 $(k,m)$ 원소는 앞 절 직교 식의 왼쪽과 같다.

\begin{aligned} (W\overline W)[k,m]&=\sum_{n=0}^{N-1}W[k,n]\,\overline W[n,m]\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}W[k,n]\,\overline{W[m,n]}=N\,\delta[k-m] \end{aligned}

따라서 $W\overline W=NI$ 이고

W^{-1}=\frac{1}{N}\,\overline W

이다. 켤레를 취한 페이저는 반대 방향으로 돈다. $\mathbf x=W^{-1}\mathbf X$ 를 원소별로 쓴 것이 역 DFT(inverse DFT, IDFT)이다.

x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]\,e^{j2\pi kn/N}

순변환과 역변환은 지수의 부호와 $1/N$ 만 다르다.

직접 유도해 보기. 역변환에 $1/N$ 이 붙는 이유를 보여라.

풀이

역변환식의 합에 순변환을 넣고 합의 순서를 바꾼다.

\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}\\ &\quad=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]\sum_{k=0}^{N-1}e^{j2\pi k(n-m)/N} \end{aligned}

안쪽 합은 $n=m$ 이면 1을 $N$ 번 더해 $N$ 이다. $n\ne m$ 이면 단위원 위에 고르게 놓인 점들을 더하는 것이라 0이다. 따라서 오른쪽은 $N\,x[n]$ 이고, $x[n]$ 을 되찾으려면 $1/N$ 을 곱해야 한다.

역변환은 합성이다. 회전 $e_k$ 마다 가중치 $X[k]/N$ 을 곱해 모두 더하면 샘플이 된다.

'행렬로 쓰기'에서 구한 $X[k]$ 로 $\mathbf x=[1,2,0,-1,0,0,0,0]^{\mathsf T}$ 의 샘플 $x[1]=2$ 를 되찾을 수 있다. 행 $k$ 의 항은 $X[k]e^{j2\pi kn/8}/8$ 이고, 열 $n$ 의 항 여덟 개를 이어 더한 끝이 샘플 $x[n]$ 이다. 항 하나는 $X[k]$ 를 각 $2\pi kn/8$ 만큼 돌리고 $1/8$ 을 곱해 줄인 것이다. $kn$ 이 8의 배수이면 각이 0°라 돌릴 것이 없고, $X[4]=0$ 인 항은 0이다. 아래 그림에서 열 $n$ 의 페이저 그림은 그 항이 만들어질 때 채워지고, 계산 표에는 $k$ 마다 $X[k]$ , 각, 항, 누적합이 한 줄씩 남는다. $X[k]$ 는 셋째 자리까지 적은 값으로 이어서 계산하므로 $x[1]=2$ 가 그대로 나온다. IDFT는 샘플 사이의 값을 정하지 않는다.

N = 8이고, ①의 행 k는 X[k]e^j2πkn/8/8이라 열마다 2πk/8씩 반시계 방향으로 돌며(흐린 점선 페이저는 X[k] = 0인 행 4에서도 그 회전을 보여 준다), ②는 왼쪽 평면에서 X[k]를 돌리고 1/8로 줄여 만든 항을 오른쪽 평면에서 k = 0부터 이어 붙인 것(끝점이 x[n]), ③은 합을 마친 샘플의 스템이다. 항(주황)과 누적합(초록)은 그림, 표, 식에서 같은 색이고, 값은 반올림한 수로 이어서 계산하므로 정확한 값과 끝자리가 조금 다를 수 있다.

해 보기

$x[1]$ 의 $k=1$ 항에서 $X[1]$ 을 $45^\circ$ 돌린 값이 얼마인지 확인하라.
관찰
$X[1]=3.121-j0.707$ 은 크기 3.2, 각 $-12.8^\circ$ 이다. $45^\circ$ 돌리면 각이 $32.2^\circ$ 가 되고 크기는 그대로라 $2.707+j1.707$ 이다. 다음 단계에서 1/8을 곱하면 항 $0.338+j0.213$ 이 된다.
$x[4]$ 를 계산할 때 회전 각이 $k$ 에 따라 어떻게 되는지, 페이저 합이 어디에서 끝나는지 확인하라.
관찰
회전 각은 $k$ 가 짝수이면 $0^\circ$ 라 짧은 한 단계로 지나가고, 홀수이면 $180^\circ$ 이다. 페이저 합이 원점으로 돌아와 $x[4]=0$ 이다. 입력의 0인 샘플도 여덟 항이 서로 지워서 만들어진다.
코사인 입력의 계수 $X[1]=X[7]=4$ 로 $x[1]$ 을 계산하고, 정확한 값 $\cos(2\pi/8)$ 와 비교하라.
관찰
0이 아닌 항은 두 개뿐이고, 나머지 여섯은 짧은 0 단계로 지나간다. $X[1]=4$ 를 $45^\circ$ 돌려 1/8을 곱하면 $0.354+j0.354$ , $X[7]=4$ 를 $315^\circ$ , 곧 $-45^\circ$ 돌려 1/8을 곱하면 $0.354-j0.354$ 이다. 두 항을 더한 끝점은 실수축 위 $0.708$ 이고, 정확한 값은 $\cos(2\pi/8)=0.707$ 이다. 차이는 반올림한 수를 이어 더해서 생긴다.

예제 1의 $\mathbf X=[2,\;1-j3,\;0,\;1+j3]^{\mathsf T}$ 를 역변환하면 첫 샘플이 돌아온다. $x[0]=\frac14(2+(1-j3)+0+(1+j3))=1$ 이고, 같은 방법으로 $x[1]=2$ , $x[2]=0$ , $x[3]=-1$ 이다.